22.1.1 二次函数-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

当y=4时,x2-1=4, ∴ x3=5,x4=-5. 综上所述,原方程的解为x1=x2=0, x3=5,x4=-5. 典例5 (1) 设下降的百分率是x. 由题意,得40(1-x)2=32.4,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意, 舍去). ∴ 下降的百分率是10%. (2) ① 设每件降价y元. 由题意,得(40-y-30) 48+4× y 0.5 =504,解得y1=3,y2=1. ∵ 要尽快减少库存, ∴ 每件应降价3元. ② 不能. 理由:设每件降价z元. 由题意,得(40-z-30) 48+4× z 0.5 =520. 整理,得z2-4z+5=0. ∵ Δ=(-4)2-4×1×5=16- 20=-4<0, ∴ 方程无实数根. ∴ 不能一天获得520元的利润. [跟踪训练] 5. (1) 设每天增长的百 分率为x. 依题意,得500(1+x)2=720,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题 意,舍去). ∴ 每天增长的百分率为20%. (2) ① 设增加m 条生产线,则每条生 产线的最大产能为(1500-50m)万 个/天. 依题意,得(1+m)(1500-50m)= 6500,解得m1=4,m2=25. 又∵ 既要增加产能,又要节省投入, ∴ m=4. ∴ 应增加4条生产线. ② 不能. 理由:设增加a条生产线,则每条生产 线的最大产能为(1500-50a)万 个/天. 依题意,得(1+a)(1500-50a)= 15000. 化简,得a2-29a+270=0. ∵ Δ=(-29)2-4×1×270= -239<0, ∴ 方程无实数根. ∴ 不能增加生产线,使得每天生产口 罩15000万个. ［综合素能提升］ 1. D 2. D 3. C 4. D 5. 4 6. 25 [解析] 根据题意,得α+β= 2,α2=2α+4.∴ α3+8β+1=α· α2+8β+1=α(2α+4)+8β+1= 2α2+4α+8β+1=4α+8+4α+8β+ 1=8(α+β)+9=16+9=25. 7. (1) ∵ 道路的宽为xm, ∴ (52-2x)(28-2x)=640. 整理,得x2-40x+204=0,解得 x1=34(不合题意,舍去),x2=6. ∴ 道路的宽为6m. (2) 设每个车位的月租金上涨a元, 停车场的月租金收入为10125元. 根据题意,得(200+a)50-a5 = 10125. 整理,得a2-50a+625=0,解得a1= a2=25. ∴ 当每个车位的月租金上涨25元 时,停车场的月租金收入为10125元. 8. (1) 设八月份,甲种花篮的单价是 x元,乙种花篮的单价是y元. 根 据 题 意,得 x-y=20, x+2y=260, 解 得 x=100, y=80. ∴ 八月份,甲种花篮的单价是100元, 乙种花篮的单价是80元. (2) 设甲种花篮的单价降低y 元,则 甲种花篮的单价是(100-y)元,九月 份甲种花篮的销量是(40+3y)个,乙 种花篮的销量是 50+13×3y 个. 根据题意,得(100-y)(40+3y)+ 8050+13×3y =11100. 整理,得3y2-340y+3100=0,解得 y1=10,y2= 310 3 (不合题意,舍去). ∴ 甲种花篮的单价应降低10元. 第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象 和性质 第1课时 二次函数 1. D 2. C 3. A 4. 2 5. y= -2πx2+36πx 6. (1) 依题意,得 m2-m=0, m-1≠0, 解得 m=0. ∴ 当m=0时,这个函数是关于x的 一次函数. (2) 依题意,得m2-m≠0,解得m≠ 0且m≠1. ∴ 当m≠0且m≠1时,这个函数是 关于x的二次函数. 7. D 利用二次函数的定义求字母的 值时,易忽略二次项系数不 为0的情况 根据二次函数自变量的最高 次数是2,二次项系数不为0,列出 关于所求字母的方程(组)或不等 式(组).解方程(组)或不等式(组), 即可求出二次函数中待定字母的值. 8. B 9. S=-3x2+24x 143≤x<6 [解析] 由题意,得S=(21-3x+3)· 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 x= -3x2 +24x.由 题 意,可 得 x>1, 21-3x+3>2, 21-3x+3≤10, x<21-3x+3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得14 3 ≤x<6. ∴ S 与x 之 间 的 函 数 解 析 式 为 S=-3x2+24x,自变量x 的取值范 围是14 3≤x<6. 10. 作△ABC的高AD. ∴ ∠ADB=90°. ∵ ∠B=30°, ∴ AD=12AB= 1 2x. ∴ S=12BC ·AD=12 (12-x)· 1 2x=- 1 4x 2+3x. ∴ S 关于x 的函数解析式为S= -14x 2+3x(0<x<12). 11. 如图,∵ 四边形ABCD 是边长为 2的正方形, ∴ ∠A=∠B=90°,AB=2. ∴ ∠1+∠2=90°. ∵ 四边形EFGH 为正方形, ∴ ∠HEF=90°,EH=FE. ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. 在△AHE 和△BEF 中, ∠A=∠B, ∠2=∠3, EH=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHE≌△BEF. ∴ AE=BF=x,AH=BE=2-x. 在Rt△AHE 中,由 勾 股 定 理,得 EH2=AE2+AH2=x2+(2-x)2= 2x2-4x+4. ∴ y=2x2-4x+4(0<x<2). (第11题) 12. (1) ∵ △ABC 是等腰直角三 角形, ∴ 易得重叠部分也是等腰直角三角 形,即△AMH 是等腰直角三角形. 由题意,得AN=2tcm. ∴ AM=MN-AN=(20-2t)cm. ∴ MH=AM=(20-2t)cm. ∴ y= 1 2AM ·MH = 12 (20- 2t)2=2t2-40t+200,自变量t的取 值范围是0≤t≤10. (2) ∵ 当t=1时,y=2×12-40× 1+200=162, ∴ 重叠部分的面积为162cm2. (3) 当y=72时, 1 2 (20-2t)2=72, 解得t=4或t=16(不合题意,舍去), ∴ t=4. 13. (1) S=-t2+10t+100. (2) 由勾股定理,可得EF2=BE2+ BF2=t2+(2t)2=5t2(cm2),DF2= CD2+CF2=102+(20-2t)2= (4t2-80t+500)cm2,DE2=AE2+ AD2=(10-t)2+202=(t2-20t+ 500)cm2. ① 当 DE=DF 时,DE2=DF2,即 t2-20t+500=4t2-80t+500,解得 t1=0,t2=20,都不合题意,舍去. ② 当 DE=EF 时,DE2=EF2,即 t2-20t+500=5t2,解 得 t3 = -5-5 21 2 (不合题意,舍去),t4= -5+5 21 2 . ③ 当EF=DF 时,EF2=DF2,即 5t2=4t2 -80t+500,解 得t5 = 10 21-40,t6=-10 21-40(不合 题意,舍去). 综上所述,当△DEF 为等腰三角形 时,t=-5+5 212 或10 21-40. 第2课时 二次函数y=ax2 的 图象和性质 1. D 2. D 3. D 4. -2 5. (1) -3;y轴. (2) (-1,-1). (3) 图象如图所示. -4≤y≤0. (第5题) 6. C 7. A 8. ①②④ 9. 设直线l对应的函数解析式为y= kx+b. 把 A (3,0),B (0,3)代 入,得 3k+b=0, b=3, 解得 k=-1 , b=3. ∴ 直线l对应的函数解析式为y= -x+3. 设P(t,-t+3)(0<t<3). ∵ △AOP 的面积为3, ∴ 1 2×3 (-t+3)=3,解得t=1. ∴ 点P 的坐标为(1,2). 把P(1,2)代入y=ax2,得a=2. ∴ 二次函数的解析式为y=2x2. 10. (1) ∵ 点A,B 在函数y= 1 4x 2 的图象上,点A,B 的横坐标分别为 -2,4, ∴ 易得A(-2,1),B(4,4). 设直线AB 对应的函数解析式为y= kx+b. ∴ -2k+b=1, 4k+b=4, 解得 k= 1 2 , b=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 26 22.1　二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数 ▶ “答案与解析”见P9 1. 二次函数y=(x-3)(2x+1)的一次项系 数是 ( ) A. 2 B. -3 C. -9 D. -5 2. 若y=mx(x-1)-x2 是关于x 的二次函 数,则m 的取值范围是 ( ) A. m≠0 B. m≠-1C. m≠1 D. m≠±1 3. 小杰把500元按一年期存入银行,已知年利 率为x,一年到期后银行将本金和利息自动 按一年定期转存.设两年到期后,本利和为 y元,则y与x之间的函数解析式为 ( ) A. y=500(x+1)2 B. y=x2+500 C. y=x2+500x D. y=x2+5x 4. 已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函 数,则m 的值为 . 5. 已知矩形的周长为36m,矩形绕着它的一条 边旋转形成一个圆柱.设矩形的这条边的长 为xm,圆柱的侧面积为ym2,则y 与x 之 间的函数解析式为 (不要求 写出自变量x的取值范围). 6. 已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+ m+1. (1) 当m 为何值时,这个函数是关于x的一 次函数? (2) 当m 为何值时,这个函数是关于x的二 次函数? 7. ★(易错易混题)已知函数y=mxm 2+3m+2+ m+9是二次函数,则m 的值为 ( ) A. 0或-3 B. 0或3 C. 0 D. -3 8. 如图,在Rt△ABO 中,∠ABO=90°,AB= OB=3.设直线x=t截这个三角形所得的涂 色部分的面积为S,则S 与t(0<t≤3)之间 的函数解析式为 ( ) A. S=12t 2-1 B. S=92- 1 2t 2 C. S=t2 D. S=t (第8题) (第9题) 9. 如图,用长为21m的篱笆,一面利用10m长 的墙,围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为 便于进出,开了3道宽为1m的门.设花圃的 宽AB 为xm,面积为Sm2,则S 与x 之间 的函数解析式为 ,自变量x 的 取值范围是 . 10. 在△ABC 中,已知∠B=30°,AB+BC= 12,设AB=x,△ABC 的面积是S,求S 关 于x的函数解析式,并写出自变量x 的取 值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 第二十二章　二次函数 27 11. 如图,正方形EFGH 的顶点在边长为2的 正方形ABCD 的边上.设AE=x,正方形 EFGH 的面积为y,求y 关于x 的函数解 析式. (第11题) 答案讲解 12. 如图,等腰直角三角形ABC 的直 角边的长与正方形MNPQ 的边长 均为20cm,AC 与MN 在同一条 直 线 上,开 始 时 点 A 与 点 N 重 合,让 △ABC 以2cm/s的速度向左运动,当点A 与点M 重合时,△ABC 停止运动,AB 交 QM 于点H. (1) 求△ABC 与正方形MNPQ 重叠部分 的面积y(cm2)与点A 的运动时间t(s)之间 的函数解析式和自变量t的取值范围. (2) 当t=1时,求重叠部分的面积. (3) 当y=72时,求t的值. (第12题) 答案讲解 13. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 10cm,BC=20cm,动点E,F 同 时从点B 出发,分别沿BA,BC 的 方向向终点A,C 运动,点 E 的速度是 1cm/s,点F 的速度是2cm/s,当一点到达 终点时,两点同时停止运动.设运动时间为 ts,四边形DAEF 的面积为Scm2. (1) 请写出S 与t 之间的函数解析式: (不要求写出自变量t的取值 范围). (2) 当△DEF 为等腰三角形时,求t的值. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数