21.3.3 几何图形面积类问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

18 第3课时 几何图形面积类问题 ▶ “答案与解析”见P6 1. 将一根长20cm的铁丝剪成两段,并以每一 段铁丝的长度为周长分别做成一个正方形. 若两个正方形的面积之和为12.5cm2,则两 段铁丝的长度分别是 ( ) A. 5cm,15cm B. 12cm,8cm C. 4cm,16cm D. 10cm,10cm 2. (2023·龙东地区)如图,在长为100m、宽为 50m的矩形空地上修建四条宽度相等的小 路.若余下的部分全部种上花卉,且种植花卉 的面积是3600m2,则小路的宽是 ( ) A. 5m B. 70m C. 5m或70m D. 10m (第2题) (第3题) 3. 如图,用长为20m的篱笆,一面利用墙(墙的 最大可用长度为11m),围成中间隔有一道 篱笆的矩形花圃,为了方便进出,建造篱笆花 圃时,在BC 上用其他材料做了宽为1m的 两扇小门.若花圃的面积刚好为40m2,则此 时AB 的长为 m. 4. 如图,公园原有一块长18m、宽6m的矩形空 地.后来从这块空地中划出不同区域种植不 同品种的鲜花,中间铺设同样宽度的石子路 将各区域间隔开.如果各区域种植鲜花的面 积和为85m2,求所铺设的石子路的宽度. (第4题) 5. (易错易混题)《代数学》记载有求方程x2+ 8x=33正数解的几何方法:如图①,先构造 一个面积为x2的正方形,再以正方形的边为 一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大 正方形的面积为33+16=49,则该方程的正 数解为7-4=3.小明尝试用此方法解关于x 的方程x2+10x+c=0时,构造出如图②所 示的正方形.已知图②中涂色部分的面积和 为39,则该方程的正数解为 ( ) (第5题) A. 23 B. 2 C. 3 D. 45 6. (2022·泰州)如图,在长为50m、宽为38m 的矩形地面内的四周修建同样宽的道路, 余下的部分铺上草坪.要使草坪的面积为 1260m2,道路的宽应为 m. (第6题) 答案讲解 7. 如 图,在 矩 形 ABCD 中,AB = 10cm,AD=8cm,点P 从点A 出 发,沿AB 以2cm/s的速度向点B 运动,同时点Q从点B出发,沿BC以1cm/s 的速度向点C 运动,点P 到达终点后,P,Q 两点同时停止运动.当运动 s时, △BPQ 的面积是6cm2. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 19 8. (2023·东营)如图,李叔叔想用长为70m的 栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成 一个矩形羊圈ABCD,并在边BC 上留一个 2m宽的门(建在EF 处,另用其他材料). (1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围 成一个面积为640m2的羊圈? (2) 羊圈的面积能为650m2 吗? 如果能,请 你给出设计方案;如果不能,请说明理由. (第8题) 9. 如图①,在△ABC 中,AB=BC,BD⊥AC 于 点D(AD>BD),动点M 从点A 出发,沿折 线A-B-C 运动,运动到点C 停止.设点M 的 运动路程为x,△AMD 的面积为y,y关于x 的函数图象如图②所示,则 AC 的长为 . (第9题) 答案讲解 10. 如图,A,B,C,D 为矩形的四个顶 点,AB=16cm,AD=6cm,动点 P,Q分别以3cm/s、2cm/s的速度 从点A,C 同时出发,点Q 从点C 向点D 移动. (1) 若点P 从点A 移动到点B 停止,点Q 随点P 的停止而停止,连接PQ,经过多长 时间,PQ 的长是10cm? (2) 若点P 沿着AB,BC,CD 的方向移动, 点Q 从点C 移动到点D 停止,点P 随着点 Q 的停止而停止,经过多少时间,△PBQ 的 面积为12cm2? (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 12. (1) n+8. (2) 设这个最小的数为n,则最大的 数为n+8. 根据题意,得n(n+8)=153. 整理,得n2+8n-153=0,解得n1= 9,n2=-17(不合题意,舍去). ∴ 这个最小的数为9. 13. (1) 10;15. (2) y= 1 2x (x-1);1128. (3) 依题意,得x(x-1) 2 =190. 化简,得x2-x-380=0,解得x1= 20,x2=-19(不合题意,舍去). ∴ 该班共有20名女生. 第2课时 平均增长率 与市场营销问题 1. B 增长率(或降低率)问题的规律 (1) 增长率问题:设某数为a, 平均增长率为x,则一次增长后的 值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)2,以此类推,n 次增长后 的值为a(1+x)n. (2) 降低率问题:设某数为a, 平均降低率为x,则一次降低后的 值为a(1-x),两次降低后的值为 a(1-x)2,以此类推,n 次降低后 的值为a(1-x)n. 2. A 3. D 4. 20% 5. (1) 设2,3月参观人数的月平均增 长率为x. 根据题意,得10(1+x)2=12.1,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意,舍去). ∴ 2,3月参观人数的月平均增长率为 10%. (2) 根据题意,得12.1×(1+10%)= 13.31(万人). ∴ 估计4月该文史馆接待参观人员 的人数为13.31万. 6. C 7. 600+600(1+x)+600(1+ x)2=2850 8. 设这种水果每千克降价x元. 由题意,得(38-x-22) 160+x3× 120 =3640. 整理,得x2-12x+27=0,解得x=3 或x=9. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠, ∴ x=9. ∴ 38-9=29(元/千克). ∴ 这 种 水 果 的 销 售 价 为 每 千 克 29元. 9. (1) 设y 与x 之间的函数解析式 为y=kx+b(k≠0). 将(7,500),(12,250)代入y=kx+b, 得 7k+b=500, 12k+b=250, 解得 k=-50 , b=850. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= -50x+850. (2) 根据题意,得(x-5-1)(-50x+ 850)=900. 整理,得x2-23x+120=0,解得 x1=8,x2=15. ∵ 销售价格不高于14元/千克, ∴ x=8. ∴ 当销售价格定为每千克8元时,销 售这 种 猕 猴 桃 的 日 利 润 恰 好 为 900元. 10. (1) 设购进 A款钥匙扣x 件, B款钥匙扣y件. 依 题 意,得 x+y=30, 30x+25y=850, 解 得 x=20, y=10. ∴ 购进A款钥匙扣20件,B款钥匙 扣10件. (2) 设购进m 件A款钥匙扣,则购进 (80-m)件B款钥匙扣. 依题意,得30m+25(80-m)≤2200, 解得m≤40. 设再次购进A,B两款“冰墩墩”钥匙 扣全部售出后获得的总利润为w 元, 则w=(45-30)m+(37-25)× (80-m)=3m+960. ∵ 3>0, ∴ w 随m 的增大而增大. ∴ 当m=40时,w 取得最大值,最大 值为3×40+960=1080,此时80- m=80-40=40. ∴ 当购进40件 A款钥匙扣、40件 B款钥匙扣时,才能获得最大销售利 润,最大销售利润是1080元. (3) 设B款钥匙扣的销售价定为每件 a元,则 每 件 的 销 售 利 润 为(a- 25)元,平均每天可售出4+2(37- a)=(78-2a)件. 依题意,得(a-25)(78-2a)=90. 整理,得a2-64a+1020=0,解得 a1=30,a2=34. ∴ 将销售价定为每件30元或34元 时,才能使B款钥匙扣平均每天的销 售利润为90元. 第3课时 几何图形面积类问题 1. D 2. A 3. 4 [解析] 设AB=xm,则AD= (20-3x+2)m.依题意,得x(20- 3x+2)=40.整理,得3x2-22x+ 40=0,解得x1= 10 3 ,x2=4.当x= 10 3 时,20-3x+2=12>11,不合题 意,舍去;当x=4时,20-3x+2= 10<11,符合题意.∴ 此时AB 的长 为4m. 4. 设所铺设的石子路的宽度为xm, 则其余部分可合成长为(18-x)m、宽 为(6-x)m的矩形. 根据题意,得(18-x)(6-x)=85. 整理,得x2-24x+23=0,解得x1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 1,x2=23(不合题意,舍去). ∴ 所铺设的石子路的宽度为1m. 5. C 6. 4 7. 2或3 8. (1) 设矩形 ABCD 的边AB= xm,则边AD=70-2x+2=(72- 2x)m. 根据题意,得x(72-2x)=640. 整理,得x2-36x+320=0,解得 x1=16,x2=20. 当x=16时,72-2x=40;当x=20 时,72-2x=32. ∴ 当羊圈的长为40m、宽为16m或 长为32m、宽为20m时,能围成一个 面积为640m2 的羊圈. (2) 不能. 理由:由题意,得x(72-2x)=650. 整理,得x2-36x+325=0. ∵ Δ=(-36)2-4×325=-4<0, ∴ 一元二次方程无实数根. ∴ 羊圈的面积不能为650m2. 9. 6 [解析] 由题意,知AB+BC= 2 13.∵ AB=BC,∴ AB= 13. ∵ AB=BC,BD⊥AC,∴ AC= 2AD,∠ADB=90°.在Rt△ABD 中, AD2+BD2=AB2=13①.设点M 到 AC的距离为h.∴ S△ADM= 1 2AD · h.∵ 动点 M 从点A 出发,沿折线 A-B-C运动,∴ 当点 M 运动到点B 时,△ADM 的面积最大,即h=BD. 由题意,知△ADM 的面积的最大值 为3.∴ 1 2AD ·BD=3.∴ AD· BD=6②.①+2×②,得 AD2+ BD2+2AD·BD=13+2×6=25. ∴ (AD+BD)2=25.∴ AD+BD= 5.∴ BD=5-AD③.将③代入②,得 AD(5-AD)=6.∴ AD=3或AD= 2.∵ AD>BD,∴ AD=3.∴ AC= 2AD=6. 10. (1) 设经过xs,PQ的长是10cm. 过点Q 作QE⊥AB 于点E. 由题意,知AP=3xcm,CQ=2xcm. ∴ 易知PE=16-2x-3x=(16- 5x)cm,EQ=6cm. ∴ (16-5x)2+62=102,即(16- 5x)2=64. ∴ x1= 8 5 ,x2= 24 5. ∴ 经过8 5s 或24 5s ,P,Q 两点之间的 距离是10cm. (2) 设经过ys,△PBQ 的面积为 12cm2. ① 当0≤y< 16 3 时,PB=(16- 3y)cm, ∴ 1 2PB ·BC=12,即12× (16- 3y)×6=12,解得y=4. ② 当16 3<y≤ 22 3 时,BP=(3y- 16)cm,CQ=2ycm,则 1 2BP ·CQ= 1 2 (3y-16)×2y=12,解得y1=6, y2=- 2 3 (不合题意,舍去). ③ 当22 3<y≤8 时,QP=CQ-CP= 2y-(3y-22)=(22-y)cm,则 1 2QP ·CB=12 (22-y)×6=12,解 得y=18(不合题意,舍去). 综上所述,经过4s或6s,△PBQ 的 面积为12cm2. 专题特训（二）　一元二次 方程的实际应用 1. (1) 设每轮传染中平均每人传染 了x人. 依题意,得1+x+x(1+x)=169,即 (1+x)2=169,解得x1=12,x2= -14(不合题意,舍去). ∴ 每轮传染中平均每人传染了12人. (2) 169×(1+12)=2197(人), ∴ 按照这样的传染速度,第三轮传染 后,共有2197人成为该病毒的携带者. 2. 设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为5-x. 根据题意,得(10x+5-x)[10(5- x)+x]=736. 整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2, x2=3. 当x=2时,5-x=3;当x=3时,5- x=2. ∴ 原来的两位数为23或32. 3. 设3月到5月营业额的平均月增 长率为x. 由 题 意,得 400(1+10%)(1+ x)2=633.6. ∴ (1+x)2=1.44,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 3月到5月营业额的平均月增长率 为20%. 4. (1) 设该快递公司投递快递总件 数的月增长率为x. 根据题意,得10×(1+x)2=12.1,解 得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合 题意,舍去). ∴ 该快递公司投递快递总件数的月 增长率为10%. (2) 12.1×(1+10%)=13.31(万 件),21×0.6=12.6(万件). ∵ 12.6<13.31, ∴ 该公司现有的21名快递投递业务 员不能完成今年四月份的快递投递 任务. 设增加m 名业务员才能完成今年四 月份的快递投递任务. ∵ (21+m)×0.6≥13.31,则m≥7160 , ∴ 至少需要增加2名业务员. 5. (1) (180-2x);x(180-2x). (2) 由题意,得x(180-2x)=4000. 整理,得x2-90x+2000=0,解得 x=40或x=50. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7