21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

10 *第4课时 一元二次方程的根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P3 1. 已知关于x的一元二次方程x2-6x+7=0 的两个实数根分别为x1,x2,则x1x2-x1- x2的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 12 D. 2 2. 已知m,n是方程x2-3x-4=0的两个根, 则(m-1)(n-1)的值是 ( ) A. 8 B. -7 C. 0 D. -6 3. 已知关于x 的一元二次方程x2-2x-a=0 的两个根分别记为x1,x2.若x1=-1,则 a-x21-x22的值为 ( ) A. 7 B. -7 C. 6 D. -6 4. (2022·绥化)设x1 与x2 为一元二次方程 1 2x 2+3x+2=0的两个根,则(x1-x2)2 的 值为 . 5. 解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错 了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3; 小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1, x2=5.正确的一元二次方程为 . 6. 已知关于x的一元二次方程mx2-x+m= 0(m≠0)的两个根为x1,x2. (1) 设y= 3 x1+ 3 x2 ,用含m 的代数式表示y. (2) 当y=6时,求此时方程的根. 7. 若x1+x2=3,x21+x22=5,则以x1,x2 为根 的一元二次方程是 ( ) A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 8. 设a,b是方程x2+x-2023=0的两个实数 根,则a2+2a+b的值为 ( ) A. 2024 B. 2021 C. 2023 D. 2022 答案讲解 9. 已知2m2-5m-1=0,1n2+ 5 n-2= 0,且m≠n,则1m+ 1 n 的值为 ( ) A. 5 4 B. -54 C. 5 D. -5 10. 若关于x 的一元二次方程x2-4x+m=0 的两个实数根分别为x1,x2,且x1+3x2= 5,则m 的值为 . 11. 已知a,b满足a2+2a-1=0,b2+2b-1= 0,且a≠b,则ab+ b a= . 12. 已知方程x2-2024x+1=0的两个根分别 为x1,x2,则x21- 2024 x2 的值为 . 13. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+m- 2=0. (1) 求证:无论m 取任何实数,此方程总有 两个不等的实数根. (2) 设该方程的两个实数根为x1,x2,若 x21+x22+m(x1+x2)=m2+1,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 11 答案讲解 14. 已知关于x 的一元二次方程x2- 2(m+1)x+m2+5=0有两个不 等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若原方程的两个实数根为x1,x2,且满足 x21+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m 的值. 15. (易错易混题)(2023·德州)若x1,x2 是关 于x 的一元二次方程x2-2(m+1)x+ m2+2=0的两个实数根,且(x1+1)(x2+ 1)=8,则m 的值为 . 答案讲解 16. (2022·黄石)阅读下面的材料: 材料1:为了解方程(x2)2-13x2+ 36=0,若把x2 看成一个整体,设 y=x2,则原方程可化为y2-13y+36=0, 经过运算,原方程的解为x1=2,x2=-2, x3=3,x4=-3.我们把以上这种解决问题 的方法叫做换元法. 材料2:已知实数m,n满足m2-m-1=0, n2-n-1=0,且m≠n,显然m,n 是方程 x2-x-1=0的两个不等的实数根,由一元 二次方程根与系数的关系,可知m+n=1, mn=-1. 根据材料,解决下列问题: (1) 直接应用:方程x4-5x2+6=0的解为 . (2) 间接应用:已知实数a,b 满足2a4- 7a2+1=0,2b4-7b2+1=0,且a≠b,求 a4+b4的值. (3) 拓展应用:已知实数m,n 满足 1m4+ 1 m2=7 ,n2-n=7,且n>0,求 1m4+n 2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 16. (1) ②. (2) ∵ ax2+2cx+b=0是“勾系一 元二次方程”, ∴ a,b,c为同一直角三角形的三边 的长,且c为斜边的长. ∴ c2=a2+b2. ∵ Δ=(2c)2-4ab=2c2-4ab= 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0, ∴ 关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) ∵ x=-1是“勾系一元二次方 程”ax2+2cx+b=0的一个根, ∴ a-2c+b=0. ∴ a+b=2c. ∵ 四边形ACDE 的周长是12, ∴ 2(a+b)+2c=12. ∴ 22c+2c=12. ∴ c=22. ∴ a+b=2×22=4. ∴ (a+b)2=16. ∴ a2+2ab+b2=16. ∵ a2+b2=c2=(22)2=8, ∴ 2ab+8=16. ∴ ab=4. ∴ S△ABC= 1 2ab= 1 2×4=2. 第3课时 因式分解法 1. C 2. D 3. B 4. (1) x1=0, x2=5 (2) x1=1,x2= 2 3 5. -1或-2 6. (1) x1=3+1,x2=3-1. (2) x1= 5+ 33 4 ,x2= 5- 33 4 . (3) x1= 1 2 ,x2=-1. (4) x1=-7,x2=- 5 7. 7. D 8. A 9. 2 [解析] ∵ x2-x-1=(x+ 1)0,∴ x+1≠0,(x+1)0=1.由x+ 1≠0,得x≠-1.∴ x2-x-1=1. ∴ x2-x-2=0.∴ (x+1)(x- 2)=0.∴ x1=-1(不合题意,舍去), x2=2.∴ x的值为2. 10. 1 3 或9 5 [解析] 由2x2+3xy- 14y2=0,得(x-2y)(2x+7y)=0, 解得x=2y 或x=- 7 2y. 当x=2y 时,原式=13 ;当x=-72y 时,原 式=95. 综上所述,x-y x+y 的值为1 3 或9 5. 11. 12 [解析] ∵ x2-5x+6=0, ∴ (x-2)(x-3)=0,解得x1=2, x2=3.∵ 菱形ABCD 的一条对角线 的长为4,∴ 易得AB 的长为3.∴ 菱 形ABCD 的周长=4×3=12. 12. 设m=4x-5,n=3x-2,则m- n=x-3. ∴ 原方程可化为m2+n2=(m-n)2. ∴ mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0. ∴ 4x-5=0或3x-2=0,解得x1= 5 4 ,x2= 2 3. 13. (1) ∵ Δ=(-45)2-4×4= 64>0, ∴ x=45±82×4 = 5±2 2 . ∴ x1= 5+2 2 ,x2= 5-2 2 . ∵ x1-x2=2, ∴ 方程4x2-45x+1=0是“好根 方程”. (2) ∵ [x-(m+1)](x+1)=0, ∴ x1=m+1,x2=-1. ∵ 方程x2-mx-m-1=0(m 是常 数)是“好根方程”, ∴ m+1-(-1)=2或-1-(m+ 1)=2. ∴ m=0或m=-4. 14. 7 [解析] 将方程(a2+b2)2- 3(a2+b2)-28=0转化为(a2+b2+ 4)(a2+b2-7)=0,解得a2+b2= -4(不合题意,舍去)或a2+b2=7. 由勾股定理,知c2=a2+b2=7,∴ 斜 边长c=7. 15. (1) ∵ -b2=3 , ∴ 设方程的两个根分别为 3+p, 3-p. ∵ (3)2-p2=-4, ∴ p=±7. ∴ 方程的解为x1= 3+ 7,x2= 3-7. (2) 原方程两边同时除以3,得x2- 11 3 x+ 1 6=0. ∵ -b2= 11 6 , ∴ 设方程的两个根分别为 11 6 +p , 11 6 -p. ∵ 11 6 2 -p2= 1 6 , ∴ p=± 5 6. ∴ 方程的解为x1= 11+5 6 ,x2= 11-5 6 . *第4课时 一元二次方程的 根与系数的关系 1. B 2. D 3. B 4. 20 5. x2- 6x+6=0 6. (1) 根据根与系数的关系,得x1+ x2= 1 m ,x1x2=1, ∴ y= 3(x1+x2) x1x2 = 3×1m 1 = 3 m. (2) 当y=6时, 3 m=6 ,解得m=12 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 此时方程为1 2x 2-x+12=0. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. 7. A 8. D 9. D [解析] ∵ 1 n2+ 5 n -2=0 , ∴ 2n2-5n-1=0.∵ 2m2-5m- 1=0,m≠n,∴ m,n是一元二次方程 2x2-5x-1=0的两个根.∴ m+ n= 52 ,mn=- 12.∴ 1 m + 1 n = n+m mn = 5 2 -12 =-5. 10. 7 4 [解析] ∵ 关于x 的一元二 次方程x2-4x+m=0的两个实数根 分别 为 x1,x2,∴ x1 +x2 =4. ∵ x1+3x2=5,∴ x1+3x2=x1+ x2+2x2=4+2x2=5.∴ x2= 1 2. 把 x2= 1 2 代入 x2-4x+m=0,得 1 2 2 -4×12+m=0 ,解得m=74. 11. -6 [解析] ∵ a,b满足a2+ 2a-1=0,b2+2b-1=0,且a≠b, ∴ a,b是方程x2+2x-1=0的两个 根.∴ a+b=-2,ab=-1.∴ a2+ b2=(a+b)2-2ab=4+2=6. ∴ a b+ b a= a2+b2 ab = 6 -1=-6. 12. -1 [解析] ∵ 方程x2-2024x+ 1=0 的 两 个 根 分 别 为 x1,x2, ∴ x1x2=1,x21-2024x1+1=0. ∴ x21-2024x1=-1.∴ x21- 2024 x2 = x21- 2024x1 x1x2 =x 2 1-2024x1=-1. 13. (1) ∵ Δ=m2-4(m-2)=m2- 4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 无论m 取任何实数,此方程总有 两个不等的实数根. (2) 由根与系数的关系,得 x1+ x2=-m,x1x2=m-2. ∵ x21+x22+m(x1+x2)=m2+1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2+m (x1+ x2)=m2+1. ∴ m2-2(m-2)-m2=m2+1. 整理,得m2+2m-3=0,解得m= -3或m=1. 14. (1) ∵ 方程x2-2(m+1)x+ m2+5=0有两个不等的实数根, ∴ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)= 8m-16>0,解得m>2. (2) ∵ 原方程的两个实数根为x1,x2, ∴ x1+x2=2(m +1),x1x2= m2+5. ∵ m>2, ∴ x1+x2=2(m+1)>0,x1x2= m2+5>0. ∴ x1>0,x2>0. ∵ x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= |x1|+|x2|+2x1x2, ∴ 4(m+1)2-2(m2+5)=2(m+ 1)+2(m2+5),即6m-18=0,解得 m=3. 15. 1 [解析] ∵ x1,x2是关于x的 一元二次方程x2-2(m+1)x+ m2+2=0的两个实数根,∴ x1+ x2=2(m +1),x1x2 =m2 +2. ∵ (x1+1)(x2+1)=8,即x1x2+ x1+x2+1=8,∴ m2+2+2(m+ 1)+1=8,解得m=1或m=-3. ∵ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+2)= 8m-4≥0,解得m≥12 ,∴ m=1. 16. (1) x1=2,x2=- 2,x3= 3, x4=- 3. [解析] 令y=x2,则有 y2-5y+6=0,∴ (y-2)(y-3)= 0.∴ y1=2,y2=3.∴ x2=2或x2= 3.∴ x1= 2,x2=- 2,x3= 3, x4=-3. (2) ∵ a≠b, ∴ a2≠b2或a2=b2(a=-b). ① 当a2≠b2时,令a2=m,b2=n. ∴ m≠n,则2m2-7m+1=0,2n2- 7n+1=0. ∴ m,n是方程2x2-7x+1=0的两 个不等的实数根. ∴ m+n=72 ,mn=12. ∴ a4+b4=m2+n2=(m+n)2- 2mn=454. ② 当a2=b2(a=-b)时,易得a2= b2=7± 414 ,此时a4+b4=2a4= 2(a2)2=45±7 414 . 综 上 所 述,a4 +b4 的 值 为454 或 45+7 41 4 或45-7 41 4 . (3) 令 1 m2=a ,-n=b,则a2+a- 7=0,b2+b-7=0. ∵ n>0, ∴ 1 m2 ≠-n,即a≠b. ∴ a,b是方程x2+x-7=0的两个 不等的实数根. ∴ a+b=-1,ab=-7. ∴ 1 m4+n 2=a2+b2=(a+b)2- 2ab=15. 专题特训（一）　根的判别式 及根与系数的关系 1. A 2. C 3. -2 [解析] ∵ Δ=(-2)2-4× (a+1)×3≥0,解 得a≤- 23 , ∴ a≤-23 且a≠-1.又∵ a 为整 数,∴ a的最大值是-2. 4. 6-2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4