21.2.3 因式分解法-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

8 第3课时 因式分解法 ▶ “答案与解析”见P3 1. 一元二次方程x(x+1)=3(x+1)的根是 ( ) A. x1=x2=3 B. x1=x2=-1 C. x1=3,x2=-1 D. x1=3,x2=0 2. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是 ( ) A. x(x-4)=0化为x-4=0 B. (x-3)(x+4)=-3×4化为x-3=-3 或x+4=4 C. (x+5)(x-1)=1化为x+5=1或x- 1=1 D. (2x-5)(3x+2)=0化为2x-5=0或 3x+2=0 3. 解下列方程x2-4x-7=0,2x2-50=0, 3(4x-1)2=1-4x,3x2-5x-6=0,较简便 的方法依次是 ( ) A. 因式分解法、公式法、配方法、公式法 B. 配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法 C. 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 D. 公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法 4. (1) 一元二次方程-x2+ 5x=0的根为 . (2) 一元二次方程(3x-2)2-3x+2=0的 根为 . 5. 已知x=2是关于x 的一元二次方程kx2+ (k2-2)x+2k+8=0的一个根,则k的值为 . 6. 用适当方法解下列方程: (1) x2-23x+2=0. (2) 2x2-5x-1=0. (3) (2x-1)2=3(1-2x). (4) (3x-1)2=4(2x+3)2. 7. 对于实数a,b定义运算“※”为a※b=a+ b2,例如3※2=3+22=7,则关于x 的方程 x※(x+1)=5的解是 ( ) A. x1=x2=-4 B. x1=x2=-1 C. x1=-1,x2=4 D. x1=1,x2=-4 8. 定义:若两个一元二次方程有且只有一个相 同的实数根,则称这两个方程为“同伴方程”. 例如x2=4和(x-2)(x+3)=0有且仅有一 个相同的实数根x=2,因此这两个方程为 “同伴方程”.若关于x的方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的参数同时满足a+b+c=0和a- b+c=0,且该方程与(x+2)(x-n)=0互 为“同伴方程”,则n的值为 ( ) A. 1或-1 B. -1 C. 1 D. 2 9. (易错易混题)如果x2-x-1=(x+1)0,那 么x= . 答案讲解 10. 已知2x2+3xy-14y2=0,则 x-y x+y 的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 9 11. 已知菱形ABCD 的一条对角线的长为4,边 AB 的长是x2-5x+6=0的一个根,则菱 形ABCD 的周长为 . 12. 阅读下面的解题过程,并解答问题. 解方程:(2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2. 解:设m=2x-5,n=3x+7,则m+n= 5x+2.∴ 原方程可化为m2+n2=(m+ n)2.∴ mn=0,即(2x-5)(3x+7)=0,解 得x1= 5 2 ,x2=- 7 3. 请利用上述方法解方程:(4x-5)2+(3x- 2)2=(x-3)2. 13. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另 一个根大2,那么称这样的方程为“好根方 程”.例如一元二次方程x2+2x=0的两个 根是x1=0,x2=-2,则方程x2+2x=0是 “好根方程”. (1) 请通过计算判断方程4x2-45x+1= 0是否为“好根方程”. (2) 已知关于x的方程x2-mx-m-1=0 (m 是常数)是“好根方程”,求m 的值. 答案讲解 14. 已知直角三角形的三边长为a,b, c,且两直角边长a,b 满足等式 (a2+b2)2-3(a2+b2)-28=0,则 斜边长c的值为 . 答案讲解 15. (核心素养·模型建构)阅读下面 的材料: 对于x2+bx+c=0,将等式左边 进行因式分解,得到以下形式:x2+bx+ c=(x-m)(x-n)(从这里可以看出方程 的解为x1=m,x2=n),即x2+bx+c= x2-(m+n)x+mn.∵ m+n=-b,∴ m, n的平均数为-b2. 不妨设m=-b2+p , n=-b2-p ,利用x1x2=mn,得 - b 2+ p -b2-p =c,∴ -b2 2 -p2=c,即可 求出p 的值. 举例如下:解一元二次方程x2-2x-4=0. ∵ -b2=1 ,∴ 设方程的两个根分别为1+ p,1-p.∵ 12-p2=-4,∴ p=± 5. ∴ 方程的解为x1=1+5,x2=1-5. 请运用以上方法解方程: (1) x2-23x-4=0. (2) 3x2- 11x+12=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 16. (1) ②. (2) ∵ ax2+2cx+b=0是“勾系一 元二次方程”, ∴ a,b,c为同一直角三角形的三边 的长,且c为斜边的长. ∴ c2=a2+b2. ∵ Δ=(2c)2-4ab=2c2-4ab= 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0, ∴ 关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) ∵ x=-1是“勾系一元二次方 程”ax2+2cx+b=0的一个根, ∴ a-2c+b=0. ∴ a+b=2c. ∵ 四边形ACDE 的周长是12, ∴ 2(a+b)+2c=12. ∴ 22c+2c=12. ∴ c=22. ∴ a+b=2×22=4. ∴ (a+b)2=16. ∴ a2+2ab+b2=16. ∵ a2+b2=c2=(22)2=8, ∴ 2ab+8=16. ∴ ab=4. ∴ S△ABC= 1 2ab= 1 2×4=2. 第3课时 因式分解法 1. C 2. D 3. B 4. (1) x1=0, x2=5 (2) x1=1,x2= 2 3 5. -1或-2 6. (1) x1=3+1,x2=3-1. (2) x1= 5+ 33 4 ,x2= 5- 33 4 . (3) x1= 1 2 ,x2=-1. (4) x1=-7,x2=- 5 7. 7. D 8. A 9. 2 [解析] ∵ x2-x-1=(x+ 1)0,∴ x+1≠0,(x+1)0=1.由x+ 1≠0,得x≠-1.∴ x2-x-1=1. ∴ x2-x-2=0.∴ (x+1)(x- 2)=0.∴ x1=-1(不合题意,舍去), x2=2.∴ x的值为2. 10. 1 3 或9 5 [解析] 由2x2+3xy- 14y2=0,得(x-2y)(2x+7y)=0, 解得x=2y 或x=- 7 2y. 当x=2y 时,原式=13 ;当x=-72y 时,原 式=95. 综上所述,x-y x+y 的值为1 3 或9 5. 11. 12 [解析] ∵ x2-5x+6=0, ∴ (x-2)(x-3)=0,解得x1=2, x2=3.∵ 菱形ABCD 的一条对角线 的长为4,∴ 易得AB 的长为3.∴ 菱 形ABCD 的周长=4×3=12. 12. 设m=4x-5,n=3x-2,则m- n=x-3. ∴ 原方程可化为m2+n2=(m-n)2. ∴ mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0. ∴ 4x-5=0或3x-2=0,解得x1= 5 4 ,x2= 2 3. 13. (1) ∵ Δ=(-45)2-4×4= 64>0, ∴ x=45±82×4 = 5±2 2 . ∴ x1= 5+2 2 ,x2= 5-2 2 . ∵ x1-x2=2, ∴ 方程4x2-45x+1=0是“好根 方程”. (2) ∵ [x-(m+1)](x+1)=0, ∴ x1=m+1,x2=-1. ∵ 方程x2-mx-m-1=0(m 是常 数)是“好根方程”, ∴ m+1-(-1)=2或-1-(m+ 1)=2. ∴ m=0或m=-4. 14. 7 [解析] 将方程(a2+b2)2- 3(a2+b2)-28=0转化为(a2+b2+ 4)(a2+b2-7)=0,解得a2+b2= -4(不合题意,舍去)或a2+b2=7. 由勾股定理,知c2=a2+b2=7,∴ 斜 边长c=7. 15. (1) ∵ -b2=3 , ∴ 设方程的两个根分别为 3+p, 3-p. ∵ (3)2-p2=-4, ∴ p=±7. ∴ 方程的解为x1= 3+ 7,x2= 3-7. (2) 原方程两边同时除以3,得x2- 11 3 x+ 1 6=0. ∵ -b2= 11 6 , ∴ 设方程的两个根分别为 11 6 +p , 11 6 -p. ∵ 11 6 2 -p2= 1 6 , ∴ p=± 5 6. ∴ 方程的解为x1= 11+5 6 ,x2= 11-5 6 . *第4课时 一元二次方程的 根与系数的关系 1. B 2. D 3. B 4. 20 5. x2- 6x+6=0 6. (1) 根据根与系数的关系,得x1+ x2= 1 m ,x1x2=1, ∴ y= 3(x1+x2) x1x2 = 3×1m 1 = 3 m. (2) 当y=6时, 3 m=6 ,解得m=12 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3