21.2.2 根的判别式与公式法-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

22,∴ a2 -10a+25+b-4- 2 b-4+1+| c-1-2|=(a- 5)2+(b-4-1)2+| c-1- 2|=0.∴ a-5=0,b-4-1=0, | c-1-2|=0,解得a=5,b=5, c=5.∴ a=b=c.∴ △ABC 为等边 三角形. 16. (1) 1 2m 2+2m+3=12 (m+ 2)2+1. ∵ 1 2 (m+2)2≥0, ∴ 1 2 (m+2)2+1≥1. ∴ 代数式1 2m 2+2m+3的最小值是1. (2) -m2+3m+34=- m- 3 2 2 +3. ∵ - m-32 2 ≤0, ∴ - m-32 2 +3≤3,则代数式 -m2+3m+34 的最大值为3. (3) 由题意,得花园的面积是y(20- 2y)=(-2y2+20y)m2. ∵ -2y2+20y=-2(y-5)2+50, 而-2(y-5)2≤0, ∴ -2(y-5)2+50≤50. ∴ -2y2+20y 的最大值是50,则 -2y2+20y=50,解得y1=y2=5. ∴ 20-2y=10<15,符合题意. ∴ 当y=5时,花园的面积最大,最大 面积是50m2. 第2课时 根的判别式与公式法 1. A 2. C 3. -1或25 4. k>12 且k≠1 运用根的判别式求字母的取值 范围时,忽视一元二次方程的 限制条件 运用根的判别式时,若二次项 系数中含有字母,则要加上二次项 系数不为0这个限制条件;若未指 明方程类型,则需分情况讨论. 5. 24或25 6. (1) x1=2,x2=-22. (2) x1=3+3,x2=-2+3. 7. B 8. A 9. D [解析] ∵ 一元二次方程(a+ 1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的 实数根,∴ Δ=(2b)2-4(a+1)2=0, 且a+1≠0,则b2=(a+1)2,即b= a+1或b=-a-1.∵ a+1≠0, ∴ a+1≠-a-1.∴ a-b+1=0或 a+b+1=0,则1和-1不都是方程 x2+bx+a=0的根. 10. 有两个相等的实数根 [解析] 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得c2= a2+b2.∴ Δ=(-2b)2-4(a+c)· (c-a)=4(a2+b2-c2)=0.∴ 方程 有两个相等的实数根. 11. -2 [解析] ∵ 关于x的一元二 次方程kx2+3x-4k+6=0有两个 相等的实数根,∴ k≠0,Δ=32- 4k(6-4k)=0.∴ k1=k2= 3 4.∴ 原 方程化为x2+4x+4=0,即(x+ 2)2=0,解得x1=x2=-2. 12. 0 [解析] 根据题意,得 Δ= (-2k)2-4(k-1)(k+3)=-8k+ 12>0,且k-1≠0,解得k<32 ,且 k≠1.∴ k的最大整数值为0. 13. (1) ∵ Δ=(2-3m)2-4m(2m- 4)=4-12m+9m2-8m2+16m= m2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴ 方程总有两个实数根. (2) ∵ mx2+(2-3m)x+2m-4=0, ∴ x=- (2-3m)±(m+2) 2m ,则x1= m-2 m ,x2=2. ∵ m 为整数,且原方程有两个互不相 等的正整数根, ∴ m=-1. 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=AD. ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程 x2-mx+m2+ 3 4=0 的两个实数根, ∴ Δ=(-m)2-4× m2+ 3 4 = (m-1)2-4=0. ∴ m=-1或m=3. 当m=-1时,原方程为x2+x+ 1 4=0 ,解得x1=x2=- 1 2 ,不合题 意,舍去. 当m=3时,原方程为x2-3x+94= 0,解得x1=x2= 3 2. ∴ 当m=3时,四边形ABCD 是菱 形,边长是3 2. (2) 把x=2代入原方程,得4-2m+ m 2+ 3 4=0 ,解得m=196. 将m=196 代入原方程,得x2-196x+ 7 3=0 ,解得x1=2,x2= 7 6. ∴ 方程的另一个根为7 6. ∴ ▱ABCD的周长是2×2+76 =193. 15. x1=-1,x2= 1 4 [解析] ∵ 关 于x的一元二次方程x2-ax+1=0 有两 个 相 等 的 实 数 根,∴ Δ = (-a)2-4×1×1=0,解得a=±2. ∵ 关于x 的方程(a-2)x2+bx+ 1=0是一元二次方程,∴ a=-2. ∴ 关于x的一元二次方程x2-ax+ 1=0为x2+2x+1=0,解得x1= x2=-1.由题意,得x=-1是关于 x的一元二次方程-4x2+bx+1=0 的根.∴ -4×(-1)2-b+1=0. ∴ b=-3.∴ 关于x的方程(a-2)· x2+bx+1=0为-4x2-3x+1=0, 解得x1=-1,x2= 1 4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 16. (1) ②. (2) ∵ ax2+2cx+b=0是“勾系一 元二次方程”, ∴ a,b,c为同一直角三角形的三边 的长,且c为斜边的长. ∴ c2=a2+b2. ∵ Δ=(2c)2-4ab=2c2-4ab= 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0, ∴ 关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) ∵ x=-1是“勾系一元二次方 程”ax2+2cx+b=0的一个根, ∴ a-2c+b=0. ∴ a+b=2c. ∵ 四边形ACDE 的周长是12, ∴ 2(a+b)+2c=12. ∴ 22c+2c=12. ∴ c=22. ∴ a+b=2×22=4. ∴ (a+b)2=16. ∴ a2+2ab+b2=16. ∵ a2+b2=c2=(22)2=8, ∴ 2ab+8=16. ∴ ab=4. ∴ S△ABC= 1 2ab= 1 2×4=2. 第3课时 因式分解法 1. C 2. D 3. B 4. (1) x1=0, x2=5 (2) x1=1,x2= 2 3 5. -1或-2 6. (1) x1=3+1,x2=3-1. (2) x1= 5+ 33 4 ,x2= 5- 33 4 . (3) x1= 1 2 ,x2=-1. (4) x1=-7,x2=- 5 7. 7. D 8. A 9. 2 [解析] ∵ x2-x-1=(x+ 1)0,∴ x+1≠0,(x+1)0=1.由x+ 1≠0,得x≠-1.∴ x2-x-1=1. ∴ x2-x-2=0.∴ (x+1)(x- 2)=0.∴ x1=-1(不合题意,舍去), x2=2.∴ x的值为2. 10. 1 3 或9 5 [解析] 由2x2+3xy- 14y2=0,得(x-2y)(2x+7y)=0, 解得x=2y 或x=- 7 2y. 当x=2y 时,原式=13 ;当x=-72y 时,原 式=95. 综上所述,x-y x+y 的值为1 3 或9 5. 11. 12 [解析] ∵ x2-5x+6=0, ∴ (x-2)(x-3)=0,解得x1=2, x2=3.∵ 菱形ABCD 的一条对角线 的长为4,∴ 易得AB 的长为3.∴ 菱 形ABCD 的周长=4×3=12. 12. 设m=4x-5,n=3x-2,则m- n=x-3. ∴ 原方程可化为m2+n2=(m-n)2. ∴ mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0. ∴ 4x-5=0或3x-2=0,解得x1= 5 4 ,x2= 2 3. 13. (1) ∵ Δ=(-45)2-4×4= 64>0, ∴ x=45±82×4 = 5±2 2 . ∴ x1= 5+2 2 ,x2= 5-2 2 . ∵ x1-x2=2, ∴ 方程4x2-45x+1=0是“好根 方程”. (2) ∵ [x-(m+1)](x+1)=0, ∴ x1=m+1,x2=-1. ∵ 方程x2-mx-m-1=0(m 是常 数)是“好根方程”, ∴ m+1-(-1)=2或-1-(m+ 1)=2. ∴ m=0或m=-4. 14. 7 [解析] 将方程(a2+b2)2- 3(a2+b2)-28=0转化为(a2+b2+ 4)(a2+b2-7)=0,解得a2+b2= -4(不合题意,舍去)或a2+b2=7. 由勾股定理,知c2=a2+b2=7,∴ 斜 边长c=7. 15. (1) ∵ -b2=3 , ∴ 设方程的两个根分别为 3+p, 3-p. ∵ (3)2-p2=-4, ∴ p=±7. ∴ 方程的解为x1= 3+ 7,x2= 3-7. (2) 原方程两边同时除以3,得x2- 11 3 x+ 1 6=0. ∵ -b2= 11 6 , ∴ 设方程的两个根分别为 11 6 +p , 11 6 -p. ∵ 11 6 2 -p2= 1 6 , ∴ p=± 5 6. ∴ 方程的解为x1= 11+5 6 ,x2= 11-5 6 . *第4课时 一元二次方程的 根与系数的关系 1. B 2. D 3. B 4. 20 5. x2- 6x+6=0 6. (1) 根据根与系数的关系,得x1+ x2= 1 m ,x1x2=1, ∴ y= 3(x1+x2) x1x2 = 3×1m 1 = 3 m. (2) 当y=6时, 3 m=6 ,解得m=12 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 6 第2课时 根的判别式与公式法 ▶ “答案与解析”见P2 1. 已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小 的根,则下列有关a的估值,正确的是 ( ) A. -1.5<a<-1 B. 2<a<3 C. -4<a<-3 D. 4<a<5 2. (2023·泸州)下列关于x 的一元二次方程 x2+2ax+a2-1=0的根的说法,正确的是 ( ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关 3. 当x= 时,代数式5x2-x 的值与 4x-2的值互为相反数. 4. ★(易错易混题)(2023·朝阳)若关于x 的一 元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不 等的实数根,则k的取值范围是 . 5. 在等腰三角形ABC 中,BC=6,AB,AC 的 长是关于x 的方程x2-10x+m=0的两个 根,则m 的值为 . 6. 用公式法解方程: (1) x2+2x-4=0. (2) x2-(1+23)x-3+3=0. 7. (2023·绵阳)若x=3是关于x的一元二次 方程x2-53ax-a 2=0(a>0)的一个根,则 下列有关a的估值,正确的是 ( ) A. 1 2<a<1 B. 1<a<32 C. 3 2<a<2 D. 2<a<52 8. 若一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图象 经过第一、第二、第四象限,则关于x 的一元 二次方程x2-4kx+kb+4k2=0的根的情 况是 ( ) A. 有两个不等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 9. 已知一元二次方程(a+1)x2+2bx+a+1= 0有两个相等的实数根,则下列说法中,正确 的是 ( ) A. 1一定不是方程x2+bx+a=0的根 B. 0一定不是方程x2+bx+a=0的根 C. 1和-1都是方程x2+bx+a=0的根 D. 1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根 10. 已知a,b为Rt△ABC 的直角边长,c是斜 边长,则关于x 的方程(a+c)x2-2bx+ (c-a)=0的根的情况是 . 11. 已知关于x 的一元二次方程kx2+3x- 4k+6=0有两个相等的实数根,则该实数 根是 . 12. 若关于x 的一元二次方程(k-1)x2- 2kx+k+3=0有两个不等的实数根,则k 的最大整数值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 7 13. 已知关于x 的一元二次方程mx2+(2- 3m)x+2m-4=0. (1) 求证:方程总有两个实数根. (2) 若m 为整数,当此方程有两个互不相等 的正整数根时,求m 的值. 答案讲解 14. 已知▱ABCD 的两边AB,AD 的 长是关于x的方程x2-mx+m2+ 3 4=0 的两个实数根. (1) 当m 为何值时,四边形ABCD 是菱形? 求出这时菱形的边长. (2) 若AB 的长为2,则▱ABCD 的周长是 多少? 15. 若关于x 的一元二次方程x2-ax+1=0 有两个相等的实数根,该实数也是关于x的 一元二次方程(a-2)x2+bx+1=0的根, 则关于x 的方程(a-2)x2+bx+1=0的 根为 . 答案讲解 16. (核心素养·模型建构)如图,四 边形ACDE 是证明勾股定理时用 到的 一 个 图 形,a,b,c 分 别 是 Rt△ABC 和 Rt△BED 三 边 的 长,易 知 AE=2c,这时我们把关于x的形如ax2+ 2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一 元二次方程”.请解决下列问题: (1) 有下列方程:① 2x2+ 5x+1=0; ② 3x2+52x+4=0.其中,是“勾系一元 二次方程”的为 (填序号). (2) 求证:关于x 的“勾系一元二次方程” ax2+2cx+b=0必有实数根. (3) 若x=-1是“勾系一元二次方程” ax2+ 2cx+b=0的一个根,且四边形 ACDE 的周长是12,求△ABC 的面积. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程