第03讲 解一元二次方程-公式法（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第03讲 公式法 课程标准 学习目标 ①一元二次方程根的判别式 ②用公式法解一元二次方程 1. 掌握一元二次方程根的判别式，能够判断一元二次方程根的情况以及根据根的情况求值。 2. 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练的运用该方法解一元二次方程。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 根的判别式： 用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若 方程有两个不相等的实数根 。 ②若 方程有两个相等的实数根 。 ③若 方程没有实数根 。 【即学即练1】 1．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【分析】根据判别式的符号进行判断即可． 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0； ∴方程没有实数根； 故选：D． 【即学即练2】 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 【分析】先求出Δ的值，进而可得出结论． 【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0中， ∵Δ＝[﹣（8+k）]2﹣32k ＝64+k2+16k﹣32k ＝64+k2﹣16k ＝（8﹣k）2≥0， ∴方程必有实数根． 故选：C． 【即学即练3】 3．关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：Δ＝62﹣4k•（﹣2）≥0且k≠0， 解得：且k≠0， 故选：C． 知识点02 公式法解一元二次方程 1. 求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2. 公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 【即学即练1】 4．一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值． 【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5． 所以一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值是5． 故选：D． 【即学即练2】 5．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣4， ∴这个方程是x2+2x﹣4＝0， 故选：C． 【即学即练3】 6．用公式法解方程：﹣2x2+3x﹣1＝0． 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【解答】解：﹣2x2+3x﹣1＝0， ∵a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝1＞0， ∴， ∴x1＝1，． 题型01 利用根的判别式判断根的情况 【典例1】一元二次方程4x2+4x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：∵Δ＝42﹣4×4×1＝0， ∴一元二次方程4x2+4x+1＝0的根的情况是有两个相等的实数根． 故选：B． 【变式1】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【分析】计算出方程的判别式为Δ＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况． 【解答】解： 方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2＝0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【分析】计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣k2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4k2＞0 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式3】已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【分析】利用第二象限和y轴上点的坐标特征得到a＜0，c＞0，b＞0，所以ac＜0，从而可判断Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上， ∴a＜0，c＞0，b＞0， ∴ac＜0， ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式4】定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】先根据新定义得到x2﹣x﹣1＝0，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵1☆x＝0， ∴x2﹣x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式5】定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】先根据新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到Δ＝4k2+5＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 题型02 根据根的情况求未知字母的值或范围 【典例1】若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4c＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4c＝0， ∴c＝4， 故选：B． 【变式1】 已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＞2且a≠1 【分析】根据一元二次方程根的分布与系数的关系，求出实数a的取值范围． 【解答】解：根据一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， 可得它的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，且a﹣1≠0， 解得a＜2且a≠1． 故选：C． 【变式2】若一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥ 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：k﹣1≠0， ∴Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+3） ＝12﹣8k≥0， ∴k≤且k≠1， 故选：C． 【变式3】对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A． B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣且k≠0 D． 【分析】根据新定义把已知化为一元二次方程，再由Δ＞0，k≠0可得答案． 【解答】解：∵k※x＝1， ∴kx2﹣x＝1，即kx2﹣x﹣1＝0， ∵关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根， ∴1﹣4k×（﹣1）＞0且k≠0， 解得k＞﹣且k≠0， 故选：B． 【变式4】关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】关于x的方程x2﹣2x+a＝0无实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0， 解得：a＞1， ∴点（a，a+1）在第一象限， 故选：A． 题型03 根据求根公式确定方程 【典例1】若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0 【分析】根据公式法解答，即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2， ∴这个方程为x2﹣4x﹣2＝0． 故选：D． 【变式1】用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　5x2+3x﹣2＝0　． 【分析】根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：a＝5，b＝3，c＝﹣2， 则该一元二次方程是5x2+3x﹣2＝0， 故答案为：5x2+3x﹣2＝0． 【变式2】若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 【分析】利用求根公式判断即可． 【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0， 故选：D． 题型04 利用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7 【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出a、b、c的值即可． 【解答】解：3x2+x＝7， 移项，得3x2+x﹣7＝0， 这里a＝3，b＝1，c＝﹣7， 故选：B． 【变式1】用公式法解方程4x2+12x+3＝0，得（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：4x2+12x+3＝0， ∵a＝4，b＝12，c＝3， ∴Δ＝122﹣4×4×3＝144﹣48＝96＞0， ∴x＝＝＝， 故选：A． 【变式2】解下列一元二次方程 （1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法） 【分析】首先确定a，b，c的值，然后计算△的值，确定是否能用公式计算，若△≥0，即可代入公式计算即可． 【解答】解：（1）a＝1，b＝3，c＝﹣4， Δ＝9+4×1×4＝25＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝﹣4，x2＝1． （2）a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， Δ＝16+4×2＝24＞0， ∴x＝＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【变式3】利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2． 【分析】先整理成一般式，再利用公式法求解即可． 【解答】解：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2， 整理得，x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣4）＝17， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝ 题型04 根的判别式与一元二次方程的根的综合应用 【典例1】关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根． （1）求解m的取值范围． （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【分析】（1）根据根的判别式的值≥0，构建不等式求解； （2）判断出m＝1，代入求解． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2m﹣1）≥0， ∴m≤1； （2）∵m≤1，m是正整数， ∴m＝1， 方程为：x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， ∴x1＝x2＝1． 【变式1】已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0． （1）若方程的一个实根是3．求实数m的值． （2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根． 【分析】（1）将x＝3代入列出关于m的方程，解关于m的方程求得m的值； （2）若方程有相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况； 【解答】（1）解：当x＝3时，9﹣6（3﹣m）+5﹣2m＝0． 解得m＝1， ∴m的值为1． （2）证明：∵Δ＝[﹣2（3﹣m）]2﹣4（5﹣2m）＝4（m﹣2）2≥0， ∴无论实数m取何值，方程总有实数根． 【变式2】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长． 【分析】（1）根据判别式的意义可得； （2）分类讨论：若x1＝7，把x1＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0，求得m的长，再利用根与系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）﹣4（m2+10）≥0， 解得； （2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的一个解， 把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0， 整理得m2﹣14m+45＝0， 解得m1＝9，m2＝5， 当m＝9时，x1+x2＝2（m+1）＝20，解得x2＝13， 则三角形周长为13+7+7＝27； 当m＝5时，x1+x2＝2（m+1）＝12，解得x2＝5， 则三角形周长为5+7+7＝19； 当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以，方程化为4x2﹣44x+121＝0， 解得，三边长为， 其周长为， 综上所述，m的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18． 【变式3】已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0；方程②：+（k+2）x﹣1＝0． （1）证明方程①总有实数根， （2）若方程②有两个相等的实数根，求k的值． （3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值． 【分析】（1）根据题意证明Δ＞0即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于k的方程则可求得k的值； （3）把x＝a分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【解答】解：（1）∵Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3） ＝4k2+4k+1+8k+12 ＝4k2+12k+13 ＝（2k+3）2+4＞0， ∴无论k为何值时，方程总①有实数根； （2）∵方程②有两个相等的实数根， ∴且Δ＝0， 则， 则（k+2）（k+4）＝0， ∴k＝﹣2，k＝﹣4， ∵k≠﹣2， ∴k＝﹣4； （3）根据a是方程①和②的公共根， ∴a2+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0③，④， ∴④×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2＝0⑤， ⑤+③得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5， 代数式＝（a2+4a﹣2）k+3a2+5a＝（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5． 故代数式的值为5． 1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1， ∴Δ＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答． 【解答】解：若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为2x2+3x+1＝0， 故选：A． 3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m2﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【分析】根据Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0，分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【解答】解：∵x2+mx﹣m2﹣1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m）2﹣4×1×（﹣m2﹣1）＝5m2+4＞0， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A．1﹣ B． C．﹣1+ D． 【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x＝， 所以x1＝，x2＝． 故选：D． 5．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．且m≠0 D．且m≠0 【分析】根据一元二次方程有实数根，即Δ≥0，得出关于m的一元一次不等式，进行求解即可． 【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 故选：B． 6．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q， ∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解， 故选：A． 7．问题：“解方程﹣2x2+3x＝8﹣x”，嘉嘉解得x1＝1.5，x2＝﹣2.5，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解 D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【分析】根据根的判别式求得Δ＜0，于是得到结论． 【解答】解：原方程可化为x2﹣2x+4＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0， ∴原方程无实数根， 故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解， 故选：C． 8．定义新运算a⊗b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3⊗4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程1⊗x＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数股 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【分析】先根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解． 【解答】解：根据题意，可得1⊗x＝x2﹣x﹣1， ∴方程1⊗x＝0可变形为x2﹣x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 9．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1 【分析】根据题意列得一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：由题意可得x2﹣2x＝﹣1， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 则（x﹣1）2＝0， 解得：x1＝x2＝1， 故选：A． 10．若关于x的方程有唯一解，则该解应在（　　） A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间 【分析】由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得＝0，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择． 【解答】解：∵关于x的方程有唯一解， ∴能配成完全平方式， ∵＝， ∴＝＝， ∴＝0， ∴关于x的方程的唯一解为x＝， ∵， ∴该解在7和8之间． 故选：A． 11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是　x1＝，x2＝　． 【分析】a＝1，b＝1，c＝﹣1，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，然后代入求根公式进行计算即可． 【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x＝， 所以x1＝，x2＝． 故答案为x1＝，x2＝． 12．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝，那么a＝　1　． 【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案． 【解答】解：由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝3， 故答案为：1 13．若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　±　． 【分析】根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：∵a2+5ab﹣b2＝0， ∴+﹣1＝0， 令t＝， ∴t2+5t﹣1＝0， ∴t2+5t+＝， ∴（t+）2＝， ∴t＝±， 故答案为：±． 14．我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为 　﹣3+　． 【分析】利用题中的新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可求出x的值． 【解答】解：根据题意知：a•b＝（x﹣1）（x+3）+4（x+1）＝x2+6x+1＝7， x2+6x﹣6＝0， Δ＝36+24＝60＞0， ∴x＝＝﹣3±， ∵﹣2≤x≤3， ∴x＝﹣3+． 故答案为：﹣3+． 15．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为 　x1＝﹣1，x2＝　． 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有唯一实数根和一元二次方程的定义求出得a＝﹣2，进而求出唯一解为x1＝x2＝﹣1，根据方程解的定义求出b＝3，解方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有唯一实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×1＝0，解得a＝±2， ∵关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0是一元二次方程， ∴a＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0为x2+2x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1， ∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根， ∴x＝﹣1是x的一元二次方程4x2+bx+1＝0的根， ∴﹣4×（﹣1）2﹣b+1＝0， ∴b＝﹣3， ∴关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0为﹣4x2﹣3x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝． 16．解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0；（用配方法） （2）（x+5）（x+1）＝12；（用配方法） （3）5x+2＝3x2；（用公式法） （4）x（x﹣3）﹣4＝0．（用公式法） 【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x+7＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可； （3）（4）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， x﹣1＝±， 所以x1＝1+，x2＝1﹣； （2）（x+5）（x+1）＝12， x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， x+7＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝1； （3）3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0， ∴x＝， 所以x1＝2，x2＝﹣； （4）x（x﹣3）﹣4＝0， x2﹣3x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0， ∴x＝， 所以x1＝4，x2＝﹣1． 17．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 【分析】（1）把m＝3代入方程，得x2﹣3x+2＝0，运用因式分解法解答即可； （2）根据判别式的意义列不等式求解即可． 【解答】解：（1）当m＝3时，得方程为： x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2； （2）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）×2＝0， 解得m＝， 即m的值为． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【分析】（1）根据一元二次方程解的定义把x＝2代入原方程求出m的值即可； （2）求出Δ＝4（m﹣1）2≥0即可证明结论． 【解答】（1）解：把x＝2代入x2﹣2mx+2m﹣2＝0中得：22﹣4m+2m﹣2＝0， 解得m＝1； （2）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣2） ＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2≥0， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 19．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由Δ＝1＞0可知AB≠AC，代入x＝5可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵Δ＝1＞0， ∴AB≠AC， ∴AB、AC中有一个数为5． 将x＝5代入原方程，得：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣9k+20＝0， 解得：k1＝4，k2＝5． 当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0， ∴x1＝4，x2＝5． ∵4、5、5能围成等腰三角形， ∴k＝4符合题意； 当k＝5时，原方程为x2﹣11x+30＝0， 解得：x1＝5，x2＝6． ∵5、5、6能围成等腰三角形， ∴k＝5符合题意． 综上所述：k的值为4或5． 20．【综合与实践】 [问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． [操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． [实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣q的值． 【分析】[操作判断]根据判断结论的真假，将x＝±1代入方程即可判断； [实践探究]先利用因式分解法分别解两个一元二次方程得到p和q的值，然后计算它们的差即可． 【解答】解：[操作判断] 两个结论是真命题； （1）将x＝1代入方程可得a+b+c＝0，故当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）将x＝﹣1代入方程可得a﹣b+c＝0，即a+c＝b，故当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． [实践探究]∵（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0， ∴（20232x+1）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣，x2＝1，则p＝1， x2+2023x﹣2024＝0， （x+2024）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣2024，x2＝1，则q＝﹣2024， ∴p﹣q＝1+2024＝2025． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 公式法 课程标准 学习目标 ①一元二次方程根的判别式 ②用公式法解一元二次方程 1. 掌握一元二次方程根的判别式，能够判断一元二次方程根的情况以及根据根的情况求值。 2. 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练的运用该方法解一元二次方程。 知识点01 一元二次方程根的判别式 1. 根的判别式： 用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若 。 ②若 。 ③若 。 【即学即练1】 1．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【即学即练2】 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 【即学即练3】 3．关于x的一元二次方程kx2+6x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 知识点02 公式法解一元二次方程 1. 求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2. 公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 【即学即练1】 4．一元二次方程x2+x﹣1＝0根的判别式的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【即学即练2】 5．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0 【即学即练3】 6．用公式法解方程：﹣2x2+3x﹣1＝0． 题型01 利用根的判别式判断根的情况 【典例1】一元二次方程4x2+4x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2＝0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【变式3】已知a，b，c为常数，点A（a，c）在第二象限，点B（0，b）在y轴的正半轴上，则关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式4】定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式5】定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 题型02 根据根的情况求未知字母的值或范围 【典例1】若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】 已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＞2且a≠1 【变式2】若一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥ 【变式3】对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A． B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣且k≠0 D． 【变式4】关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型03 根据求根公式确定方程 【典例1】若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0 【变式1】用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 【变式2】若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．﹣2 B．4 C．2 D．0 题型04 利用公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（　　） A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7 C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7 【变式1】用公式法解方程4x2+12x+3＝0，得（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【变式2】解下列一元二次方程 （1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法） 【变式3】利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2． 题型04 根的判别式与一元二次方程的根的综合应用 【典例1】关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根． （1）求解m的取值范围． （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【变式1】已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0． （1）若方程的一个实根是3．求实数m的值． （2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根． 【变式2】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长． 【变式3】已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0；方程②：+（k+2）x﹣1＝0． （1）证明方程①总有实数根， （2）若方程②有两个相等的实数根，求k的值． （3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值． 1．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0 3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m2﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 4．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（　　） A．1﹣ B． C．﹣1+ D． 5．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．且m≠0 D．且m≠0 6．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 7．问题：“解方程﹣2x2+3x＝8﹣x”，嘉嘉解得x1＝1.5，x2＝﹣2.5，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为b2﹣4ac＝0 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为b2﹣4ac＜0，该方程无解 D．由b2﹣4ac＞0可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 8．定义新运算a⊗b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3⊗4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程1⊗x＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数股 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 9．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1 10．若关于x的方程有唯一解，则该解应在（　　） A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间 11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是　 　． 12．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝，那么a＝　 　． 13．若a2+5ab﹣b2＝0，则的值为　 　． 14．我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为 　 　． 15．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为 　 　． 16．解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0；（用配方法） （2）（x+5）（x+1）＝12；（用配方法） （3）5x+2＝3x2；（用公式法） （4）x（x﹣3）﹣4＝0．（用公式法） 17．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 19．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 20．【综合与实践】 [问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． [操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． [实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣q的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$