21.2.1 配方法-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

4 21.2　解一元二次方程 第1课时 配 方 法 ▶ “答案与解析”见P1 1. 用配方法解一元二次方程x2-x-1=0,变 形正确的是 ( ) A. (x-1)2=2 B. (x+1)2=2 C. x-12 2 =34 D. x-12 2 =54 2. 如图所示为一个简单的程序计算器,若输出 的数值为-10,则输入x的值为 ( ) (第2题) A. -8 B. 25-1或-25-1 C. 5-1或-5-1D. 5-1 3. 若x+4与x-4互为倒数,则x= . 4. 完成下列配方过程: (1) x2-3x+ =(x- )2. (2) 3x2+24x+ =3(x+ )2. 5. 已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根为 a,b,且a>b,则2a+b的值为 . 6. ★用指定方法解下列方程: (1) x2-12x+36=9(x-1)2(直接开平 方法). (2) (易错题)2x2-4x=15(配方法). 7. 若关于x 的一元二次方程 a(x-b)2=7的 两个根为1 2± 1 27 ,则a+b的值为 ( ) A. 5 2 B. 9 2 C. 3 D. 5 8. 用配方法解一元二次方程-3x2+12x-2= 0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则b的 值为 ( ) A. 14 3 B. 10 3 C. 2 D. 4 3 9. 若关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是 x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则 方程a(x+m+3)2+b=0的解是 ( ) A. -1或-4 B. -2或1 C. 1或3 D. -5或-2 答案讲解 10. 已知m=a2+b2-1,n=2a-4b- 6,则m 与n之间的大小关系是 ( ) A. m≥n B. m>n C. m≤n D. m<n 11. (易错易混题)若(x2+y2-2)2=9,则x2+ y2的值为 . 12. 定义新运算:对于任意实数m,n都有m􀱋 n=m2n+n,等式的右边是常用的加法、乘 法及乘方运算.例如-3􀱋2=(-3)2×2+ 2=20.根据定义,解决问题:若x􀱋4=20, 则x的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 5 13. 已知a是不等式5(m-2)+8<6(m-1)+ 7的最小整数解,请用配方法解关于x 的方 程x2+2ax+a+1=0. 答案讲解 14. 先阅读下面的材料,再解决问题. 例题:若 m2+2mn+2n2-6n+ 9=0,求m 和n的值. 解:∵ m2+2mn+2n2-6n+9=0,∴ m2+ 2mn+n2+n2-6n+9=0.∴ (m+n)2+ (n-3)2=0.∴ m+n=0,n-3=0. ∴ m=-3,n=3. (1) 若x2+2xy+5y2+4y+1=0,求xy 的值. (2) 已知a,b,c是等腰三角形ABC 的三边 的长,且a,b满足a2+b2=10a+8b-41, 求△ABC 的周长. 15. 若△ABC 的三边的长a,b,c满足a2+b+ |c-1-2|=10a +2b-4 -22,则 △ABC 的形状为 . 答案讲解 16. 先阅读下面的材料,再按要求解答 问题. 例题:求代数式2x2+4x+8的最 小值. 解:∵ 2x2+4x+8=2(x2+2x+1)+6= 2(x+1)2+6≥6,∴ 代数式2x2+4x+8的 最小值是6. (1) 仿照例题求代数式1 2m 2+2m+3的最 小值. (2) 拓展:求代数式-m2+3m+34 的最 大值. (3) 应用:某居民小区要在一块一边靠墙(墙 长15m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花 园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏 围成.如图,设AB=ym.当y取何值时,花 园的面积最大? 最大面积是多少? (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 第二十一章　一元二次 方程 21.1　一元二次方程 1. D 2. B 3. 1 4. 15x(10- x)=360 5. -4 6. 5y2+6y-15=0,二次项系数为 5,一次项系数为6,常数项为-15 7. C [解析] ∵ 关于x 的一元二次 方程(3a+6)x2+3(a2-4)x=2没 有一次项,∴ 3(a2-4)=0,3a+6≠ 0.∴ a=2. 忽略一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方 程中待定字母的值时,要保证二次 项的系数不为0. 8. C [解析] ∵ m 是方程2x2- 5x-8=0的一个根,∴ 2m2-5m- 8=0.∴ 2m2-5m=8.∴ -4m2+ 10m+9=-2(2m2-5m)+9=-2× 8+9=-7. 9. D [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程x2+bx+a=0有一个根是-a, ∴ (-a)2-ab+a=0,即a2-ab+ a=0.∵ a≠0,∴ a-b=-1.∴ a- b的值恒为常数. 10. C [解析] 根据题意,得a+b+ c=0,a-b+c=0.两式相加,得 2(a+c)=0.∴ a=-c.两式相减,得 2b=0.∴ b=0. 11. m≥0且m≠1 [解析] 由题意, 得m≥0且m-1≠0,解得m≥0且 m≠1. 12. 8 13. x=-1 14. 6 [解析] ∵ m 是方程x2- 2x-1=0的根,∴ m2-2m-1=0, 即 m2 -1=2m.∴ m2 + 1m2 = m-1m 2 +2= m 2-1 m 2 +2= 22+2=6. 15. ∵ a 是方程x2-2023x+1=0 的一个根, ∴ a2-2023a+1=0. ∴ a2+1=2023a,a2-2023a=-1. ∴ a2-2024a+a 2+1 2023=-1-a+ 2023a 2023=-1-a+a=-1. 16. (1) 设所求方程的根为y,则 y=-x. ∴ x=-y. 把x=-y 代入已知方程,得y2- 3y-2=0. ∴ 所求方程为y2-3y-2=0. (2) 设所求方程的根为y,则y= 1 x (x≠0). ∴ x=1y (y≠0). 把x=1y 代入已知方程,得a 1 y 2 + b·1y+c=0. 去分母,得a+by+cy2=0. 若c=0,则ax2+bx=0,即x(ax+ b)=0,可得有一个根为x=0,不符合 题意. ∵ 方程ax2+bx+c=0有两个不为 0的实数根, ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cy2+by+a=0(c≠ 0,a≠0). 21.2　解一元二次方程 第1课时 配 方 法 1. D 2. C 3. ± 17 4. (1) 9 4 3 2 (2) 48 4 5. 6+3 6. (1) x1=- 3 2 ,x2= 9 4. (2) x1= 2+ 34 2 ,x2= 2- 34 2 . 配方时易出现的错误 (1) 移项时忘记变号. (2) 系数化为1时漏项. (3) 方程两边没有同时加上一 次项系数一半的平方. 7. B 8. B 9. D 10. A 11. 5 12. ±2 [解析] ∵ x􀱋4=20, ∴ 4x2+4=20.∴ 4x2=16.∴ x2= 4,解得x=±2. 13. 解不等式5(m-2)+8<6(m- 1)+7,得m>-3, ∴ m 的最小整数解为-2,即a=-2. 将a=-2代入方程x2+2ax+a+ 1=0,得x2-4x-1=0. 配方,得(x-2)2=5. 直接开平方,得x-2=± 5,解得 x1=2+5,x2=2-5. 14. (1) ∵ x2+2xy+5y2+4y+1=0, ∴ x2+2xy+y2+4y2+4y+1=0. ∴ (x+y)2+(2y+1)2=0. ∴ x+y=0,2y+1=0. ∴ x=12 ,y=- 1 2. ∴ xy= 1 2× - 1 2 =-14. ∴ xy的值为- 1 4. (2) ∵ a2+b2=10a+8b-41, ∴ a2-10a+25+b2-8b+16=0. ∴ (a-5)2+(b-4)2=0. ∴ a-5=0,b-4=0. ∴ a=5,b=4. ∵ △ABC是等腰三角形, ∴ c=5或4. 分两种情况讨论:当c=5时,△ABC 的周长为5+5+4=14;当c=4时, △ABC的周长为5+4+4=13. ∴ △ABC的周长为13或14. 15. 等边三角形 [解析] ∵ a2+ b+| c-1-2|=10a+2 b-4- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 22,∴ a2 -10a+25+b-4- 2 b-4+1+| c-1-2|=(a- 5)2+(b-4-1)2+| c-1- 2|=0.∴ a-5=0,b-4-1=0, | c-1-2|=0,解得a=5,b=5, c=5.∴ a=b=c.∴ △ABC 为等边 三角形. 16. (1) 1 2m 2+2m+3=12 (m+ 2)2+1. ∵ 1 2 (m+2)2≥0, ∴ 1 2 (m+2)2+1≥1. ∴ 代数式1 2m 2+2m+3的最小值是1. (2) -m2+3m+34=- m- 3 2 2 +3. ∵ - m-32 2 ≤0, ∴ - m-32 2 +3≤3,则代数式 -m2+3m+34 的最大值为3. (3) 由题意,得花园的面积是y(20- 2y)=(-2y2+20y)m2. ∵ -2y2+20y=-2(y-5)2+50, 而-2(y-5)2≤0, ∴ -2(y-5)2+50≤50. ∴ -2y2+20y 的最大值是50,则 -2y2+20y=50,解得y1=y2=5. ∴ 20-2y=10<15,符合题意. ∴ 当y=5时,花园的面积最大,最大 面积是50m2. 第2课时 根的判别式与公式法 1. A 2. C 3. -1或25 4. k>12 且k≠1 运用根的判别式求字母的取值 范围时,忽视一元二次方程的 限制条件 运用根的判别式时,若二次项 系数中含有字母,则要加上二次项 系数不为0这个限制条件;若未指 明方程类型,则需分情况讨论. 5. 24或25 6. (1) x1=2,x2=-22. (2) x1=3+3,x2=-2+3. 7. B 8. A 9. D [解析] ∵ 一元二次方程(a+ 1)x2+2bx+a+1=0有两个相等的 实数根,∴ Δ=(2b)2-4(a+1)2=0, 且a+1≠0,则b2=(a+1)2,即b= a+1或b=-a-1.∵ a+1≠0, ∴ a+1≠-a-1.∴ a-b+1=0或 a+b+1=0,则1和-1不都是方程 x2+bx+a=0的根. 10. 有两个相等的实数根 [解析] 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得c2= a2+b2.∴ Δ=(-2b)2-4(a+c)· (c-a)=4(a2+b2-c2)=0.∴ 方程 有两个相等的实数根. 11. -2 [解析] ∵ 关于x的一元二 次方程kx2+3x-4k+6=0有两个 相等的实数根,∴ k≠0,Δ=32- 4k(6-4k)=0.∴ k1=k2= 3 4.∴ 原 方程化为x2+4x+4=0,即(x+ 2)2=0,解得x1=x2=-2. 12. 0 [解析] 根据题意,得 Δ= (-2k)2-4(k-1)(k+3)=-8k+ 12>0,且k-1≠0,解得k<32 ,且 k≠1.∴ k的最大整数值为0. 13. (1) ∵ Δ=(2-3m)2-4m(2m- 4)=4-12m+9m2-8m2+16m= m2+4m+4=(m+2)2≥0, ∴ 方程总有两个实数根. (2) ∵ mx2+(2-3m)x+2m-4=0, ∴ x=- (2-3m)±(m+2) 2m ,则x1= m-2 m ,x2=2. ∵ m 为整数,且原方程有两个互不相 等的正整数根, ∴ m=-1. 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=AD. ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程 x2-mx+m2+ 3 4=0 的两个实数根, ∴ Δ=(-m)2-4× m2+ 3 4 = (m-1)2-4=0. ∴ m=-1或m=3. 当m=-1时,原方程为x2+x+ 1 4=0 ,解得x1=x2=- 1 2 ,不合题 意,舍去. 当m=3时,原方程为x2-3x+94= 0,解得x1=x2= 3 2. ∴ 当m=3时,四边形ABCD 是菱 形,边长是3 2. (2) 把x=2代入原方程,得4-2m+ m 2+ 3 4=0 ,解得m=196. 将m=196 代入原方程,得x2-196x+ 7 3=0 ,解得x1=2,x2= 7 6. ∴ 方程的另一个根为7 6. ∴ ▱ABCD的周长是2×2+76 =193. 15. x1=-1,x2= 1 4 [解析] ∵ 关 于x的一元二次方程x2-ax+1=0 有两 个 相 等 的 实 数 根,∴ Δ = (-a)2-4×1×1=0,解得a=±2. ∵ 关于x 的方程(a-2)x2+bx+ 1=0是一元二次方程,∴ a=-2. ∴ 关于x的一元二次方程x2-ax+ 1=0为x2+2x+1=0,解得x1= x2=-1.由题意,得x=-1是关于 x的一元二次方程-4x2+bx+1=0 的根.∴ -4×(-1)2-b+1=0. ∴ b=-3.∴ 关于x的方程(a-2)· x2+bx+1=0为-4x2-3x+1=0, 解得x1=-1,x2= 1 4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2