21.1 一元二次方程-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

2 21.1　一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P1 1. (易错易混题)若方程(a-2)x2+ax-3=0 是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是 ( ) A. a>2 B. a≥0且a≠2 C. a≥2 D. a≠2 2. 把一元二次方程-2x(x+1)+4=x 化成一 般形式后,若二次项系数为2,则一次项系数 和常数项分别是 ( ) A. 3,4 B. 3,-4 C. -3,4 D. -3,-4 3. 若xm+1+6x-1=0是关于x的一元二次方 程,则m 的值是 . (第4题) 4. (2022·衢州)一个容积为360cm3 的包装盒剪开铺平后的形状如 图所示(单位:cm).由容积列 出图中x 满足的一元二次方 程: (不必化简). 5. 若关于x的一元二次方程(m-4)x2-3x+ m2=16的常数项为0,则m 的值为 . 6. 把方程2(y+3)(3-y)=3(y+1)2 化成一 般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数 和常数项(要求二次项系数为正整数). 7. ★(易错易混题)若关于x 的一元二次方程 (3a+6)x2+3(a2-4)x=2没有一次项,则 a的值为 ( ) A. -2或2 B. -2 C. 2 D. 0 8. 已知m 是方程2x2-5x-8=0的一个根, 则-4m2+10m+9的值为 ( ) A. -16 B. 16 C. -7 D. 7 9. 若关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有 一个根是-a(a≠0),则下列代数式的值恒 为常数的是 ( ) A. ab B. a b C. a+b D. a-b 10. 定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个 方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0 (a≠0)是“凤凰”方程,且有一个根为-1,则 下列结论中,正确的是 ( ) A. a=c,b=1 B. a=b,c=0 C. a=-c,b=0 D. a=b=c 11. 如果方程(m-1)x2+ mx-2=0是关于 x的一元二次方程,那么m 的取值范围是 . 12. 如果关于x 的方程(m+3)xm 2-7+(m- 4)x+3=0是一元二次方程,那么这个方程 的二次项系数、一次项系数及常数项的和为 . 13. 若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为x=3,则一元二次方程 a(2x+5)2+b(2x+5)+c=0(a≠0)必有 一个根为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 第二十一章　一元二次方程 3 答案讲解 14. (2023·娄底)如果m 是方程x2- 2x-1=0的根,那么m2+1m2= . 15. 若a是方程x2-2023x+1=0的一个根, 求代数式a2-2024a+a 2+1 2023 的值. 答案讲解 16. (核心素养·模型建构)请阅读下 面的材料: 问题:已知方程x2+x-1=0,求 一个一元二次方程,使它的根分别是已知方 程根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则y=2x.∴ x= y 2. 把x=y2 代入已知方程,得 y 2 2 +y2- 1=0.化简,得y2+2y-4=0.∴ 所求方程 为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我 们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”求新方程(要求把 所求方程化为一般形式): (1) 已知方程x2+3x-2=0,求一个一元 二次方程,使它的根分别为已知方程根的相 反数. (2) 已知关于x 的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个不为0的实数根,求 一个一元二次方程,使它的根分别是已知方 程根的倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 第二十一章　一元二次 方程 21.1　一元二次方程 1. D 2. B 3. 1 4. 15x(10- x)=360 5. -4 6. 5y2+6y-15=0,二次项系数为 5,一次项系数为6,常数项为-15 7. C [解析] ∵ 关于x 的一元二次 方程(3a+6)x2+3(a2-4)x=2没 有一次项,∴ 3(a2-4)=0,3a+6≠ 0.∴ a=2. 忽略一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方 程中待定字母的值时,要保证二次 项的系数不为0. 8. C [解析] ∵ m 是方程2x2- 5x-8=0的一个根,∴ 2m2-5m- 8=0.∴ 2m2-5m=8.∴ -4m2+ 10m+9=-2(2m2-5m)+9=-2× 8+9=-7. 9. D [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程x2+bx+a=0有一个根是-a, ∴ (-a)2-ab+a=0,即a2-ab+ a=0.∵ a≠0,∴ a-b=-1.∴ a- b的值恒为常数. 10. C [解析] 根据题意,得a+b+ c=0,a-b+c=0.两式相加,得 2(a+c)=0.∴ a=-c.两式相减,得 2b=0.∴ b=0. 11. m≥0且m≠1 [解析] 由题意, 得m≥0且m-1≠0,解得m≥0且 m≠1. 12. 8 13. x=-1 14. 6 [解析] ∵ m 是方程x2- 2x-1=0的根,∴ m2-2m-1=0, 即 m2 -1=2m.∴ m2 + 1m2 = m-1m 2 +2= m 2-1 m 2 +2= 22+2=6. 15. ∵ a 是方程x2-2023x+1=0 的一个根, ∴ a2-2023a+1=0. ∴ a2+1=2023a,a2-2023a=-1. ∴ a2-2024a+a 2+1 2023=-1-a+ 2023a 2023=-1-a+a=-1. 16. (1) 设所求方程的根为y,则 y=-x. ∴ x=-y. 把x=-y 代入已知方程,得y2- 3y-2=0. ∴ 所求方程为y2-3y-2=0. (2) 设所求方程的根为y,则y= 1 x (x≠0). ∴ x=1y (y≠0). 把x=1y 代入已知方程,得a 1 y 2 + b·1y+c=0. 去分母,得a+by+cy2=0. 若c=0,则ax2+bx=0,即x(ax+ b)=0,可得有一个根为x=0,不符合 题意. ∵ 方程ax2+bx+c=0有两个不为 0的实数根, ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cy2+by+a=0(c≠ 0,a≠0). 21.2　解一元二次方程 第1课时 配 方 法 1. D 2. C 3. ± 17 4. (1) 9 4 3 2 (2) 48 4 5. 6+3 6. (1) x1=- 3 2 ,x2= 9 4. (2) x1= 2+ 34 2 ,x2= 2- 34 2 . 配方时易出现的错误 (1) 移项时忘记变号. (2) 系数化为1时漏项. (3) 方程两边没有同时加上一 次项系数一半的平方. 7. B 8. B 9. D 10. A 11. 5 12. ±2 [解析] ∵ x􀱋4=20, ∴ 4x2+4=20.∴ 4x2=16.∴ x2= 4,解得x=±2. 13. 解不等式5(m-2)+8<6(m- 1)+7,得m>-3, ∴ m 的最小整数解为-2,即a=-2. 将a=-2代入方程x2+2ax+a+ 1=0,得x2-4x-1=0. 配方,得(x-2)2=5. 直接开平方,得x-2=± 5,解得 x1=2+5,x2=2-5. 14. (1) ∵ x2+2xy+5y2+4y+1=0, ∴ x2+2xy+y2+4y2+4y+1=0. ∴ (x+y)2+(2y+1)2=0. ∴ x+y=0,2y+1=0. ∴ x=12 ,y=- 1 2. ∴ xy= 1 2× - 1 2 =-14. ∴ xy的值为- 1 4. (2) ∵ a2+b2=10a+8b-41, ∴ a2-10a+25+b2-8b+16=0. ∴ (a-5)2+(b-4)2=0. ∴ a-5=0,b-4=0. ∴ a=5,b=4. ∵ △ABC是等腰三角形, ∴ c=5或4. 分两种情况讨论:当c=5时,△ABC 的周长为5+5+4=14;当c=4时, △ABC的周长为5+4+4=13. ∴ △ABC的周长为13或14. 15. 等边三角形 [解析] ∵ a2+ b+| c-1-2|=10a+2 b-4- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1