高一上学期期中模拟测试卷（二）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一上册期中模拟测试卷（二） 【人教A版2019】范围：第一章～第三章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 6．已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，，且．则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 10．已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 11．已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为 ． 13．已知函数，则 . 14．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 . 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．（15分）已知函数满足. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断当时函数的单调性，并用定义证明； (3)若定义域为，解不等式． 18．（17分）某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？ 19．（17分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)记. （i）讨论在上的单调性，并说明理由.再请直接写出在上的单调区间； （ii）是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是.若存在，求出区间；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一上册期中模拟测试卷（二） 【人教A版2019】范围：第一章～第三章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，， 所以 . 故选：A. 2．下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得各选项函数的定义域再化简其解析式，进而由同一个函数的定义得到正确选项. 【详解】函数，其定义域为， 的定义域为，两函数定义域不同，A不符合； ，两函数解析式不同，B不符合； ，其定义域为，两函数定义域不同，C不符合； ，其定义域为，两函数是同一个函数，D符合. 故选：D. 3．设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得A，根据集合的基本关系确定a的范围结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由集合， 又，所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：D. 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据基本不等式求最小值． 【详解】， ， 当且仅当，即时等号成立，因此所求最小值为， 故选：B． 6．已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在单调递减，时，, 即, 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 7．已知函数是减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数是减函数，则有， 解得，则a的取值范围为. 故选：B. 8．已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的是（   ） A．若，，且．则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 【答案】AC 【分析】反证法判断A选项；检验充分性和必要性判断选项B ；举特例验证存在性判断选项C；举特例否定任意性判断选项D. 【详解】对于A选项，假设中没有一个大于1，即且，则，与矛盾，故命题正确； 对于B选项，当时，若，有，得，充分性不成立； 当，时，满足，此时，必要性不成立，故命题错误； 对于C选项，当时，成立，故命题正确； 对于D选项，当时，，故命题错误. 故选：AC 10．已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，， 当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确； 故选：AD. 11．已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD.      【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据求定义域的法则求解. 【详解】要使函数有意义， 需满足，即， 则函数的定义域为， 故答案为：. 13．已知函数，则 . 【答案】 【分析】采用换元法令，先求得的表达式，则可知. 【详解】令，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14．已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】由题意可知：函数为偶函数，且在上单调递减，所以函数在上单调递增. 所以 . 若，上式恒成立； 若，则恒成立. 又（当且仅当即时取“”）. 所以 . 故答案为： 【点睛】结论点睛：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；②47 【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果； （2）①由求解出结果；②由求解出结果. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②由①知，两边平方得，. 16．（15分）已知函数满足. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）应用换元法求函数解析式即可； （2）由题设由，分类讨论解一元二次不等式求解集； （3）问题化为在上恒成立，分类讨论并结合二次函数性质求参数范围. 【详解】（1）令，则，故， 所以. （2）由题设， 当时，解集为； 当时，解集为R； 当时，解集为. （3）由题设，即在上恒成立， 当时，，显然恒成立； 当时，只需； 当时，只需，此时； 综上，. 17．（15分）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断当时函数的单调性，并用定义证明； (3)若定义域为，解不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）判断函数的奇偶性只要用定义的方法即可； （2）用定义法，作差即可； （3）解函数不等式，必须要用函数的基本性质即单调性和奇偶性. 【详解】（1）函数为奇函数．证明如下： 定义域为， 又， 为奇函数； （2）函数在为单调增函数．证明如下： 任取，则 ， ，即，，， ∴ ，， ， 即， 故在上为增函数； （3）由（1）、（2）可得， 则，解得：， 所以，原不等式的解集为. 18．（17分）某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？ 【答案】(1)， (2)20，最大年利润10万元 【分析】（1）结合所给的年利润的计算方法可得函数解析式. （2）利用基本（均值）不等式，求和的最小值. 【详解】（1）   ，. （2）因为，所以 当且仅当，即时，等号成立 故 答：为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片，最大年利润是10万元． 19．（17分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)记. （i）讨论在上的单调性，并说明理由.再请直接写出在上的单调区间； （ii）是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是.若存在，求出区间；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)（i）在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，；（ii）存在，. 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明. （2）（i）利用单调性定义求出的单调区间，进而求出的单调区间；（ii）假定存在，分类讨论并结合单调性求值域建立方程求解即得. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，， 所以函数是奇函数. （2）（i），， 由，得， 当时，，则，函数在上单调递减； 当时，，则，函数在上单调递增， 当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增. （ii）由（i）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 假设存在区间符合条件， ①当时，在上单调递减，则，即， 化简得，而， 因此不成立，即无解，不存在； ②当时，在上单调递增，则，即， 是方程，即的两个实根， 解得，符合题意，区间为； ③当时，在上单调递减，则， 化简得，而，则，即， 由，得，，无解，不存在； ④当时，在上单调递增，则， 是方程，即的两个实根，此方程在无解，不存在， 所以存在区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是，该区间为. 【点睛】关键点点睛：求出函数在上的单调区间，再按单调性分类讨论是求解问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$