期中各名校真题-压轴解答题必刷（40题）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

期中各名校真题-压轴解答题必刷（40题） 范围：第一章～第三章 1．设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 2．已知全集，集合，或. (1)求 (2)求 3．已知全集，集合，集合． (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围． 4．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 5．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 6．已知，，或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 7．设，已知集合，． (1)当时，求和； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 8．已知集合. (1)判断是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； (3)求所有满足集合的偶数，并说明理由. 9．已知函数． (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解不等式． 10．已知，； (1)解关于x的不等式； (2)若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 11．已知，求证： (1)； (2)． 12．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集． 13．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 14．（1）已知，且，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知都是正数，若，求的最小值． 15．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 16．设函数. (1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； (2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围. 17．设不等式的解集为，关于的不等式的解集为． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 19．设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 20．已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围 (2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 21．已知函数. (1)证明：为奇函数； (2)用定义证明：在区间上是减函数； (3)解不等式. 22．已知函数. (1)求函数的值域； (2)试判断在区间的单调性，并证明； (3)对，总有，使成立，求实数的取值范围. 23．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)当时，求函数的最小值 24．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 (1)把商品的利润表示为生产量的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 25．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 26．已知定义在R上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 27．已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 28．已知函数． (1)求函数的解析式． (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于的不等式． 29．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)设，求证：． 30．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 31．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 32．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域 . 33．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 34．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数，，求函数的最大值. 35．若是定义在上的奇函数，当时， (1)求时，的解析式 (2)若，求满足不等式的取值范围. 36．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数a的取值范围. 37．已知是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 38．设函数是增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数a的取值范围． 39．已知函数 (1)解关于x的不等式． (2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域． 40．设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中各名校真题-压轴解答题必刷（40题） 范围：第一章～第三章 1．设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 2．已知全集，集合，或. (1)求 (2)求 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据集合的并集运算，即可得答案； （2）求出集合B的补集，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】（1）由集合，或， 可得或； （2），故. 3．已知全集，集合，集合． (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据并集，交集，补集的定义计算即可； （2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可. 【详解】（1）由解得或，所以或， 所以或； ，所以； （2）由得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 4．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件以及对是否为空集进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）由于“”是“”的充分不必要条件，所以是真子集的, 若，即，，满足是真子集的. 若，即，，要使是的真子集， 则需（且等号不同时成立），解得. 综上所述，的取值范围是. 5．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）根据交集为空集，得到不等式，求出或，从而得到当时，实数的取值范围为. 【详解】（1）因为， 若，则，解得，满足题意； 若，则， 解得， 综上，实数的取值范围为. （2）若， 当时，，解得； 当时，或， 解得， 所以或， 故当时，实数的取值范围为. 6．已知，，或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则， 因为命题是命题的充分不必要条件，所以⫋或 则有，所以实数的取值范围是. 7．设，已知集合，． (1)当时，求和； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】(1) ，或； (2) 【分析】（1）求出，根据并集，补集和交集的概念求出答案； （2）由必要不充分条件得到是的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， ， ， 故或； （2）由题可得是的真子集， 当，则； 当， 则或，解得， 综上，. 8．已知集合. (1)判断是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； (3)求所有满足集合的偶数，并说明理由. 【答案】(1)8，9属于，10不属于； (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）利用任何奇数总可以化为两个连续自然数的平方差，所以满足集合中元素特征，再通过举反例，如偶数8是集合中的元素，这样就可以判断充要条件了； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【详解】（1）由于，满足集合中元素特征，所以， 由于，满足集合中元素特征，所以， 假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； （2）证明：集合，则恒有， 即满足集合中元素特征，所以，即一切奇数都属于； 反之满足这个集合中的元素不一定全是奇数，如， 所以是的必要非充分条件， （3）集合而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合中元素特征， 所以满足集合的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合的偶数为. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分式即可得解. 9．已知函数． (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，解出即可； （2）先由开口方向分，和三种情形，再由的不同情况分类求解不等式. 【详解】（1）根据题意，等价于，恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （ⅰ），即时，方程无解，不等式解集为； （ⅱ），即时，方程有唯一解， 不等式解集为； （ⅲ），即时，方程有两解， ，，且， 则不等式解集为或． ③时，开口向下，此时， 显然，方程有两解， ，，且， 不等式解集为． 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【点睛】关键点点睛：求解不等式，要先由开口方向分，和三种情形，再由的不同情况分类求解不等式. 10．已知，； (1)解关于x的不等式； (2)若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对分类讨论即可求解； （2）原不等式等价于对任意实数恒成立，当时，不等式恒成立；当时，分与两种情况讨论，当时，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1），则，即， 令，解得或， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为. （2）由题知对任意实数恒成立， 当时，由得，满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，可变形为， 即在上恒成立， 当时，， 当时，即在上恒成立， 所以，解得， 所以满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，令，， 当，即，，显然不满足题意； 当时，由，得， 即，显然在上不恒成立， 当时，由，得， 即，即在上恒成立， 所以，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：一元二次含参不等式的解法（二次项系数不含参数）： （1）利用十字相乘法等因式分解，不能因式分解则利用求根公式求根； （2）比较两根的大小，由于根含参数，则需分类讨论，先让两根相等，找分界点，分成：①小于分界点；②等于分界点；③大于分界点来讨论即可. 11．已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到 ，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． （2）， ， 当且仅当时，即时等号成立． 12．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可； （2）当时，不等式等价于，从而分类讨论即可求出不等式所对应的解集． 【详解】（1）若关于的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式， 解得或， 所以不等式的解集为． （2）若，则， 1）当时，由解得； 2）当时，方程的两根为， 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得或； 当时，，解不等式得或； 当时，由得． 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 13．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 【答案】(1)答案见解析 (2)能，理由见解析 【分析】（1）由贮水池的容积可求得，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论； （2）由题意可知对任意的、，不等式恒成立，可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围，结合题意判断可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可知，水池的容积为，可得， 甲工程队的造价为 （元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元. （2）解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、， 不等式恒成立， 即对任意的、，恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 令，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，， 所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则， 又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功. 14．（1）已知，且，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知都是正数，若，求的最小值． 【答案】（1）16；（2）；（3） 【分析】利用基本不等式一一计算即可. 【详解】（1）因为，， 由题意可知， 当且仅当，即时取得最小值16； （2）因为，所以， 由基本不等式可知， 当且仅当，即时取得最大值； （3）因为，所以 ， 当且仅当，即时取得最小值. 15．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)左面墙的长度为10米 (2) 【分析】（1）设甲工程队的总报价为元，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论； （2）根据题意可得出，可知，对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当时，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. （2）解：由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当时，即时，取最小值， 则，即的取值范围是. 16．设函数. (1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； (2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； （2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答. 【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解， 当且仅当，从而得， 综上，，所以实数a的取值范围是. （2）不等式对于实数时恒成立，即，， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数x的取值范围是. 17．设不等式的解集为，关于的不等式的解集为． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分式不等式的解法求解即可； （2）由题意可得是的真子集，再结合含参数的一元二次不等式的解法分类讨论即可； 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以集合. （2）由可得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，解得； 当，不符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 18．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】(1)； (2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式； （2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可. 【详解】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时， ； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 19．设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式和其对应一元二次方程根的关系确定，解得答案. （2）变换得到，根据均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）不等式的解集为，则，解得. （2）若，则， 对任意，都有恒成立，即， （当且仅当时等号成立），故， 即. 20．已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围 (2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案； （2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得是的真子集，列出不等式组即可得出答案. 【详解】（1）命题为假命题， 则，解得， 所以实数x的取值范围为； （2）由题意，命题或， 设其对应的集合为，则或， 命题或， 设其对应的集合为，则或， 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 21．已知函数. (1)证明：为奇函数； (2)用定义证明：在区间上是减函数； (3)解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）证明即可； （2）根据减函数的定义证明； （3）利用奇偶性变形不等式，再由单调性化简即可得． 【详解】（1）任取，则， ，所以是奇函数； （2）设，且是上的任意两个实数， ，，，， 则， 即， 所以在区间上是减函数； （3）不等式化为， 是奇函数，则， 又在区间上是减函数， 所以，解得． 22．已知函数. (1)求函数的值域； (2)试判断在区间的单调性，并证明； (3)对，总有，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）求出函数的解析式，再借助二次函数求出值域. （2）由（1）求出，再利用函数单调性定义推理得证. （3）求出函数在上的值域，函数在上的值域，再结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）函数， 因此，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. （2）由（1）知，，函数在区间是增函数， ，则 ，由，得，， 则，即， 所以在区间上是增函数. （3）当时，，因此， 由（2）知在区间上单调递增，则 由对，总有，使成立，得， 则，又，则，即，则， 所以实数的取值范围是. 23．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)当时，求函数的最小值 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)8 【分析】（1）根据分式的意义求函数定义域； （2）利用函数单调性定义，推理论证即可； （3）利用配凑思想，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由有意义可得，， 解得， 所以函数的定义域为. （2）函数， 对， 则， 当时，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）当时，则， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 24．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 (1)把商品的利润表示为生产量的函数； (2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】(1) (2)5千件 【分析】（1）利润=销售收入-生产成本，据此列出关系式即可； （2）当时，利用配凑法及均值不等式，即可求出最大值；当时，由一次函数的图象性质即可得到最大值，比较两个最大值即可得到结论. 【详解】（1）设商品的利润为（万元）， 依题意得 （2）当时， ． 所以 ，    当且仅当，即时取等号， 所以，当时，有最大值（万元）． 当时，．   综上，当时，取得最大值（万元）．   因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值万元． 25．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，解得； （2）当时，， 当时，， 综上所述，； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 26．已知定义在R上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）整理不等式为，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可； （3）转化问题为在上恒成立，即，进而结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由， 得， 两式联立解得，. （2）由（1）知，， 则不等式，即为， 整理得，，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式解得； 当时，不等式解得. 综上所述，当时，不等式的解集， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）由（1）知，， 由不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以时，，即，解得， 所以实数a的取值范围为． 27．已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)在区间上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）结合奇函数性质与计算即可得解； （2）结合函数单调性定义，令，得到的正负即可得； （3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解. 【详解】（1）由函数是定义在区间上的奇函数， 可得，即， 由，则，解得，故， 检验：当时，有， 函数是定义在区间上的奇函数，符合要求， 故，； （2）在区间上单调递增，证明如下： 由（1）得，令， 则 ， 由，故、、、， 故， 即当时，， 故在区间上单调递增； （3）由，即， 由在区间上单调递增， 故有，解得. 28．已知函数． (1)求函数的解析式． (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知，代入函数，可求得，即可求得函数的解析式； （2）利用函数单调性定义即可证明； （3）易得恒成立，恒成立，由在上单调递增，可得，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，， 得， 从而可得， 则函数的解析式为． （2）任取，设， 则 ， 当时，， 则，即， 则在上单调递减； 当时，， 则，即， 则在上单调递增； （3）不等式等价于， 注意到恒成立，恒成立． 由（2）问可知在上单调递增， 即可得，等价于， 解得或， 所以该不等式的解集为． 29．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)设，求证：． 【答案】(1) (2)最大值为5，最小值为 (3)证明见解析 【分析】（1），即，解一元二次不等式即可； （2）求出二次函数的对称轴，利用单调性及二次函数的性质即可求解； （3）利用作差法即可得证. 【详解】（1）由，可知， 即，解得或， 所以的解集为. （2）因为的对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，. （3）因为， ， 所以， 即. 30．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接画出图形，结合图形即可得出的增区间； （2）利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可； （3）由题意可得，对称轴为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求出当、、时的即可. 【详解】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 31．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 32．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域 . 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验. （2）利用定义法证明函数单调性； （3）根据函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有， 且，则，解得， 则函数的解析式：，， 因为满足，所以是奇函数， 即. （2）证明：设任意满足， 则， 由于，则，，即， 又， 则有，即， 则在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上是增函数， 所以，即， 所以函数在上的值域为. 33．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 34．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数，，求函数的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数定义求出的函数关系式即可. （2）探讨函数的单调性，结合奇函数求解不等式即得. （3）求出给定区间上函数解析式，再分类求出在该区间上的最大值即得. 【详解】（1）因为函数是定义域为上的奇函数，则，当时，， 设，有，则， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，函数，函数在上单调递增， 在上单调递增，因此函数在上为单调递增， 由函数为奇函数，不等式，化为， 于是，解得， 即实数的取值范围是. （3）当时，由（1）知函数， 当，即时，函数在上单调递减， 则当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即，函数在上单调递增， 则当时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数的最大值. 35．若是定义在上的奇函数，当时， (1)求时，的解析式 (2)若，求满足不等式的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由奇函数的性质求时的解析式； （2）由奇偶性定义判断为偶函数，进而判断函数的单调性，利用奇偶、单调性解不等式求取值范围. 【详解】（1）令，则，又是定义在上的奇函数，且时， 所以. （2）由且定义域为，故为偶函数， 上且递增，则， 根据偶函数的对称性，上且递减，则， 故，即，可得或， 所以或. 36．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数定义直接可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性转化不等式，再考虑到定义域即可求出a的范围． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则， 且当时，， 设，则， ， 又，满足， 则； （2）当时， ，其在上单调递增， 则由奇函数的性质知函数在上单调递增， 又因为， 所以， 则，解得， 即a的取值范围是. 37．已知是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)在R上单调递增，证明见详解 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值； （2）根据函数单调性的定义判断即可； （3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最大值即可． 【详解】（1）是R上的奇函数， ，对任意，即， 即，对任意恒成立， ，即. （2）为R上的增函数，证明如下： 任取，，且， ， ，， ，即， 所以函数为R上的增函数. （3）不等式在R上恒成立， ， 又为R上的增函数， 在R上恒成立， 即，令，， 上式等价于对恒成立， 即，令，只需即可， 又，开口向下，对称轴为，， ， . 所以实数的取值范围为. 38．设函数是增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先用赋值法求出，再根据奇函数定义可证明； （2）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可． 【详解】（1）∵对于任意都有， 令，则；再令，则 ∴， 所以函数是奇函数． （2）令，则， ∴不等式可化为， 即，又函数在上是增函数， ∴，即， 又该不等式的解集中恰有3个正整数， ∴. 39．已知函数 (1)解关于x的不等式． (2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）考虑，和三种情况，解得，即，解不等式得到答案. （2）确定，令，，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】（1）， 当时，解集为； 当时，，当，即时，对应方程的解为， ①当时，解集为； ②时，解集为； ③时，解集为； ④时，解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）的解集为，故，则，， 则，令，则， . 在上单调递减，在上单调递增， 故，， ，，故. 40．设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据对称中心的定义，证明：对任意的，都有成立，即可得结论； （2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则．根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出答案. 【详解】（1）∵，∴. ∴. 即对任意的，都有成立. ∴函数的图像关于点对称； （2）若对任意的，总存在，使得成立，则. ∵，易知在上单调递增，∴． ∵时，， ∴，即函数的图象过对称中心. 当，即时，函数在上单调递增. 由对称性知，在上单调递增，∴函数在上单调递增. ∴，∴，又，则， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∴或. ∵，∴， 易知，即时符合条件. 当，即时，函数在上单调递减. 由对称性，知在上单调递减，∴函数在上单调递减. ∴，∴，又，则， 综上，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$