期中复习（易错题50题26个考点）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

期中复习（易错题50题26个考点） 范围：第一章～第三章 一．集合的含义（共1小题） 1．已知集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}． （1）若m＝2，求A∩B，A∪B； （2）若A⊆B，求实数m的取值范围； （3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当m＝2时：B＝{x|2≤x≤5}， ∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，A∪B＝{x|2≤x≤6}； （2）若A⊆B，即（3，6]⊆[m，2m+1]，解得≤m≤3； （3）若A∩B＝∅， ①B为空集，则m＞2m+1，m＜﹣1， ②B不为空集，则m＞6或2m+1≤3且2m+1≥m， 即m＞6或﹣1≤m≤1， 综上，m的范围是{m|m＞6或m≤1}． 二．集合的确定性、互异性、无序性（共2小题） 2．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 【答案】C 【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3， ∴a2﹣a+2＝14， ∴A＝{2，4，14}； 若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1， a＝2时，1﹣a＝﹣1， ∴A＝{2，﹣1，4}； a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍）， 故选：C． 3．已知集合{b}＝{x∈R|ax2﹣4x+1＝0，a，b∈R}，则a+b＝（　　） A．0或1 B． C． D．或 【答案】D 【解答】解：∵集合{b}＝{x∈R|ax2﹣4x+1＝0，a，b∈R}， ∴a＝0，或Δ＝16﹣4a＝0． 当a＝0时，{b}＝{x|﹣4x+1＝0}＝{}，即b＝，a+b＝； 当Δ＝16﹣4a＝0时，a＝4， {b}＝{x|4x2﹣4x+1＝0}＝{}，即b＝，a+b＝． 故选：D． 三．集合的表示法（共2小题） 4．已知集合M＝{a|∈N+，且a∈Z}，则M等于（　　） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{﹣1，2，3，4} 【答案】D 【解答】解：因为集合M＝{a|∈N+，且a∈Z}， 所以5﹣a可能为1，2，3，6， 所以a可取4，3，2，﹣1 所以M＝{﹣1，2，3，4}； 故选：D． 5．如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，则（　　） A．S⫋T B．T⊆S C．S＝T D．S⊈T 【答案】A 【解答】解：由 T＝{x|x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z}＝{x|x＝3（k﹣1）+1，k﹣1∈Z}， 令 t＝k﹣1，则 t∈Z，所以 T＝{x|x＝3t+1，t∈Z}， 通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N⫋Z，故S⫋T． 故选：A． 四．元素与集合关系的判断（共1小题） 6．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1）若A是空集， 则方程ax2﹣3x+2＝0无解 此时Δ＝9﹣8a＜0 即a＞ 2）若A中只有一个元素 则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根 当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件 当a≠0，此时Δ＝9﹣8a＝0，解得：a＝ ∴a＝0或a＝ 若a＝0，则有A＝{}；若a＝，则有A＝{}； 3）若A中至多只有一个元素， 则A为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a＝0或a≥ 五．子集与真子集（共1小题） 7．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为（　　） A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．∅ 【答案】B 【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集； ②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以Δ＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1； 所以实数m的λ构成的集合为：{0，1，﹣1}； 故选：B． 六．空集及空集的性质（共1小题） 8．下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+3＝3} B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R} 【答案】D 【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x＝0； 对于选项B，（0，0）是集合中的元素； 对于选项C，由于x＝0成立； 对于选项D，方程无解． 故选：D． 七．并集及其运算（共1小题） 9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∪B＝{1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 八．交、并、补集的混合运算（共3小题） 10．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}． （1）当a＝3时，求A∩B，A∪（∁RB）； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝{x|﹣1≤x≤5}， B＝{x|x2﹣5x+4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}， A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}； 又∁RB＝{x|1＜x＜4}， ∴A∪（∁RB）＝{x|﹣1≤x≤5}； （2）A∩B＝∅， 当2﹣a＞2+a，即a＜0时，A＝∅，满足题意； 当a≥0时，应满足，此时得0≤a＜1； 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1）． 11．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}． （1）当m＝﹣1时，求A∪B； （2）若A⊆B，求实数m的取值范围； （3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当m＝﹣1时，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}＝{x|﹣2＜x＜2}，且A＝{x|1＜x＜3}， ∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}； （2）∵A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}． 由A⊆B知：， 解得m≤﹣2， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]； （3）由A∩B＝∅得： ①若2m≥1﹣m，则，此时B＝∅，符合题意， ②若2m＜1﹣m，则，需，或； 解得，或∅，即； 综上知：m≥0； 即实数m的取值范围是[0，+∞）． 12．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}． （1）分别求A∩B，（∁RB）∪A； （2）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}…（1分） B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}…（1分） A∩B＝{x|2＜x≤3}…（1分） （∁RB）∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}…（2分） （2）当a≤1时，C＝∅， 此时C⊆A…（1分） 当a＞1时， C⊆A，则1＜a≤3…（1分） 综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…（1分） 九．集合交并补混合关系的应用（共1小题） 13．集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是　0或1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当a＝0时，A＝{x|4x+4＝0}＝{﹣1}满足题意 当a≠0时，要集合A仅含一个元素需满足 Δ＝16﹣16a＝0解得a＝1 故a的值为0；1 故答案为：0或1 一十．全称量词和全称量词命题（共1小题） 14．已知函数f（x）＝x+，g（x）＝2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 【答案】A 【解答】解：当x1∈[，1]时，由f（x）＝x+得，f′（x）＝， 令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2， ∴f（x）在[，1]单调递减， ∴f（1）＝5是函数的最小值， 当x2∈[2，3]时，g（x）＝2x+a为增函数， ∴g（2）＝a+4是函数的最小值， 又∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2）， 可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值， 即5≥a+4，解得：a≤1， 故选：A． 一十一．基本不等式及其应用（共3小题） 15．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1）， ∴+＝1（a＞0，b＞0）， 所以a+b＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4， 当且仅当＝即a＝b＝2时取等号， ∴a+b最小值是4， 故选：C． 16．若正数a，b满足，的最小值为（　　） A．1 B．6 C．9 D．16 【答案】B 【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1； 变形为＝1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，∴a﹣1＝； ∴a﹣1＞0，∴＝+9（a﹣1）≥2＝6， 当且仅当＝9（a﹣1），即a＝1±时取“＝”（由于a＞1，故取a＝）， ∴的最小值为6； 故选：B． 17．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 【答案】D 【解答】解：≥2＝8 若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立， ∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2 故选：D． 一十二．二次函数的性质与图象（共2小题） 18．如果函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，5] D．[3，+∞） 【答案】B 【解答】解：∵f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x＝1﹣a， ∵f（x）在区间（﹣∞，4]上是减函数，开口向上， 则只需1﹣a≥4， 即a≤﹣3． 故选：B． 19．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1和f（x+1）﹣f（x）＝2x． （1）求f（x）； （2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c， 则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b ∴由题恒成立 ∴ ∴f（x）＝x2﹣x+1 （2）f（x）＝x2﹣x+1＝在[﹣1，]单调递减，在[，1]单调递增 ∴，f（x）max＝f（﹣1）＝3 一十三．一元二次不等式及其应用（共6小题） 20．设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（　　） A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3） 【答案】A 【解答】解：f（1）＝3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3 如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0． 如果 x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或 0≤x＜1 综上，不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选：A． 21．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A． B．{x|x＜﹣1，或x＞} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1} 【答案】A 【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}， ∴ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0 即﹣1+2＝﹣ （﹣1）×2＝ 解得a＝﹣1，b＝1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0 解得 故选：A． 22．若不等式ax2+2x+c＜0的解集是（）∪（），则不等式cx2﹣2x+a≤0的解集是（　　） A．[﹣] B．[﹣] C．[﹣2，3] D．[﹣3，2] 【答案】C 【解答】解：不等式ax2+2x+c＜0的解集是（）∪（）， ∴﹣和是方程ax2+2x+c＝0的两个实数根，由， 解得：a＝﹣12，c＝2， 故不等式cx2﹣2x+a≤0即2x2﹣2x﹣12≤0， 即x2﹣x﹣6≤0，解得：﹣2≤x≤3， 所以所求不等式的解集是：[﹣2，3]， 故选：C． 23．若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（　　） A．（6，7] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0）∪（6，7] D．[﹣1，7] 【答案】C 【解答】解：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可化为（x﹣3）（x﹣m）＜0， 当m＞3时，不等式的解集为（3，m）， 要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7； 当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意； 当m＜3时，不等式的解集为（m，3）， 要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，所以﹣1≤m＜0； 综上知，m的取值范围是{m|﹣1≤m＜0或6＜m≤7}， 即为[﹣1，0）∪（6，7]． 故选：C． 24．若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣，+∞） B．[﹣，1] C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 【答案】A 【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解， ∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解， 即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立； 设函数f（x）＝﹣x，x∈[1，5]， ∴f′（x）＝﹣﹣1＜0恒成立， ∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数， 且f（x）的值域为[﹣，1]， 要a＞﹣x在x∈[1，5]上有解，则a＞﹣， 即实数a的取值范围为（﹣，+∞）． 故选：A． 25．不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1）， 则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a＜0； 由根与系数的关系知，， ∴， ∴不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0化为 3a（x2+1）﹣a（x+3）﹣4a＞0， 即3（x2+1）﹣（x+3）﹣4＜0， 解得﹣1＜x＜， ∴该不等式的解集为（﹣1，）． 故选：B． 一十四．函数的图象与图象的变换（共1小题） 26．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B满足函数定义，故符合； 对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B． 一十五．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共2小题） 27．已知，则f（log23）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意的，∵2＝log24＞log23＞log22＝1， ∴f（log23）＝f（1+log23）＝f（2+log23）＝f（3+log23）＝（）3+log23＝ 故选：B． 28．若f（x）＝，则f（﹣2）的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵f（x）＝ ∴当x＜1时，f（﹣2）＝f（0）＝f（2）， ∴当x＝2时即f（2）＝log22＝1 故选：B． 一十六．函数的单调性（共1小题） 29．若是R上的增函数，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题题意： 有 解得a∈ 故选：A． 一十七．求函数的单调区间（共1小题） （多选）30．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．函数与函数是相同函数 C．函数的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．若x+y＝4，则x2+y2的最小值是8 【答案】BD 【解答】解：对于A，令a＝﹣2，b＝﹣3，则满足a＞b，但不满足，选项A错误； 对于B，由1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，f（x）＝的定义域为[﹣1，1]， 由，解得﹣1≤x≤1，g（x）＝•＝的定义域为[﹣1，1]， 两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，选项B正确； 对于C，函数的单调减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），两个单调区间不能用“∪”连接，选项C错误； 对于D，由x+y＝4，得（x+y）2＝16，所以x2+y2+2xy＝16，所以2xy＝16﹣（x2+y2）， 又因为x2+y2≥2xy（当且仅当x＝y时取“＝”）， 所以2xy＝16﹣（x2+y2）≤x2+y2，所以x2+y2≥8（当且仅当x＝y＝2时取“＝”），选项D正确． 故选：BD． 一十八．由函数的单调性求解函数或参数（共4小题） 31．已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[15，+∞） B．（﹣∞，15] C．（12，30] D．（﹣12，15] 【答案】A 【解答】解：∵的几何意义为： 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率， ∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内． 不等式＞1恒成立， ∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1， 故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立． 由函数的定义域知，x＞﹣1， ∴f′（x）＝＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立． 由于二次函数y＝2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数， 故 x＝2时，y＝2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15， ∴a≥15 ∴a∈[15，+∞）． 故选：A． 32．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（　　） A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞） D． 【答案】D 【解答】解：由题意得： ，解得：≤a＜3， 故选：D． 33．若函数f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，2） B． C．[1，2] D．[0，1] 【答案】B 【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数， 则函数只能是单调递减函数， 则满足， 即， 解得＜a＜2， 故选：B． 34．函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x． （Ⅰ）求函数g（x）的解析式； （Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|； （Ⅲ）若h（x）＝g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）设函数y＝f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y）， 则即 ∵点Q（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上 ∴﹣y＝x2﹣2x，即y＝﹣x2+2x，故g（x）＝﹣x2+2x （Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0 当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解． 当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得． 因此，原不等式的解集为． （Ⅲ）h（x）＝﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1 ①当λ＝﹣1时，h（x）＝4x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ＝﹣1 ②当λ≠﹣1时，对称轴的方程为x＝． ⅰ）当λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1． ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0．综上，λ≤0． 一十九．函数的最值（共2小题） 35．设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　） A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2] 【答案】D 【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值， 当a≥0时，f（0）＝a2， 由题意得：a2≤x++a， 解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2， 故选：D． 36．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2] 【答案】D 【解答】解：∵f（0）是函数f（x）的最小值， ∴f（x）＝（x﹣a）2在（﹣∞，0]上单调递减， ∴a≥0， 当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+3+a在x＝1处有最小值， 即f（x）min＝f（1）＝1﹣2+3+a＝a+2， 故f（0）≤f（1）， 即a2≤a+2， 解得，﹣1≤a≤2， 综上所述，0≤a≤2， 故实数a的取值范围是[0，2]， 故选：D． 二十．函数的奇偶性（共1小题） 37．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】D 【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数， ∴设g（x）＝f（x+2）， 则g（﹣x）＝g（x）， 即f（﹣x+2）＝f（x+2）， ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝f（x+4+4）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 则f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1， ∴f（8）+f（9）＝0+1＝1， 故选：D． 二十一．奇函数偶函数的判断（共3小题） 38．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0] 【答案】D 【解答】解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x 对恒成立， 从而且对恒成立， ∴a≥﹣2且a≤0， 即a∈[﹣2，0]， 故选：D． 39．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则f（3），f（﹣2），f（1）的大小顺序是　f（1）＞f（﹣2）＞f（3）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣2）＝f（2）， 又∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有， ∴f（x）在[0，+∞）上是减函数， 又∵1＜2＜3， ∴f（1）＞f（2）＞f（3）， 故答案为：f（1）＞f（﹣2）＞f（3）． 40．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是　﹣3＜a＜1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数f（x）＝x2+2x（x≥0），是增函数， 且f（0）＝0，f（x）是奇函数 f（x）是R上的增函数． 由f（3﹣a2）＞f（2a）， 于是3﹣a2＞2a， 因此，解得﹣3＜a＜1． 故答案为：﹣3＜a＜1． 二十二．奇偶函数图象的对称性（共1小题） 41．已知函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，，且f（x）与g（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6＝（　　） A．0 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【解答】解：因为函数y＝f（x+1）﹣2为奇函数， 所以函数f（x）的图象关于点（1，2）对称， 关于点（1，2）对称， 所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称， 则（x1+x2+…+x6）+（y1+y2+…+y6）＝2×3+4×3＝18， 故选：D． 二十三．奇偶性与单调性的综合（共1小题） 42．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝． （1）确定函数f（x）的解析式． （2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数． （3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数， 则f（0）＝0，即有b＝0， 且f（）＝，则，解得，a＝1， 则函数f（x）的解析式：f（x）＝（﹣1＜x＜1）； （2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）＝ ＝，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0， （1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0， 则f（x）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数， 则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t）， 即有，解得， 则有0＜t＜， 即解集为（0，）． 二十四．抽象函数的周期性（共1小题） （多选）43．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）是偶函数 B．f（x）的周期T＝4 C．f（2022）＝0 D．f（x）在（﹣4，﹣2）单调递减 【答案】ABC 【解答】解：因为y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，所以将y＝f（x﹣1）的图象向左平移一个单位，得y＝f（x）的图象，关于y轴对称，故y＝f（x）是偶函数，故A正确； 则再令“任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），”中的x＝﹣2，可得f（﹣2）＝﹣f（2）＝f（2），故f（2）＝0，所以f（x+4）﹣f（x）＝2f（2）＝0，故f（x+4）＝f（x）对任意的x恒成立，故y＝f（x）的周期为T＝4，故B正确； 所以f（2022）＝f（4×505+2）＝f（2）＝0，故C正确； 因为任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有＞0，故f（x）在（0，2）上是单调增函数，根据周期为4，故该函数在（﹣4，﹣2）上也是增函数，故D错误． 故选：ABC． 二十五．幂函数的单调性与最值（共1小题） 44．若，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】D 【解答】解：∵在第一象限内是增函数， ∴， ∵是减函数， ∴， 所以b＜a＜c． 故选：D． 二十六．分段函数的应用（共6小题） 45．已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　） A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{} 【答案】C 【解答】解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1， 函数f（x）在R上单调递减，则： ； 解得，； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解， 故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解， 当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x， 则Δ＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0， 解得a＝或1（舍去）， 当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为[，]∪{}， 故选：C． 46．若函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 【答案】C 【解答】解：由题意． 故选：C． 47．已知函数f（x）＝|lnx|，若关于x的方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　） A．[0，ln2] B．（﹣2﹣ln2，0） C．（﹣2﹣ln2，0] D．[0，2+ln2） 【答案】C 【解答】解：设h（x）＝f（x）+m， 作出函数f（x）和g（x）的图象如图 则h（x）是f（x）的图象沿着x＝1上下平移得到， 由图象知B点的纵坐标为h（1）＝f（1）+m＝ln1+m＝m， A点的纵坐标为g（2）＝﹣2， 当x＝2时，h（2）＝ln2+m，g（1）＝0， 要使方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解， 则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点， 则满足， 即得， 即﹣2﹣ln2＜m≤0， 即实数m的取值范围是（﹣2﹣ln2，0]， 故选：C． 48．设函数g（x）＝x2﹣2（x∈R），f（x）＝，则f（x）的值域是（　　） A．[﹣，0]∪（1，+∞） B．[0，+∞） C．[，+∞） D．[﹣，0]∪（2，+∞） 【答案】D 【解答】解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1， f（x）＝g（x）+x+4＝x2﹣2+x+4＝x2+x+2＝（x+0.5）2+1.75， ∴其最小值趋向于f（﹣1）即2，无最大值， 因此这个区间的值域为：（2，+∞）． 当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2， f（x）＝g（x）﹣x＝x2﹣2﹣x＝（x﹣0.5）2﹣2.25 其最小值为f（0.5）＝﹣2.25，其最大值为f（2）＝0 因此这区间的值域为：[﹣2.25，0]． 综合得：函数值域为：[﹣2.25，0]∪（2，+∞）， 故选：D． 49．已知a＞0，函数f（x）＝．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　（4，8）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax， 得x2+ax+a＝0， 得a（x+1）＝﹣x2， 得a＝﹣， 设g（x）＝﹣，则g′（x）＝﹣＝﹣， 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增， 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4， 当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax， 得x2﹣ax+2a＝0， 得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立， 当x≠2时，a＝ 设h（x）＝，则h′（x）＝＝， 由h′（x）＞0得x＞4，此时递增， 由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8， 要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解， 则由图象知4＜a＜8， 故答案为：（4，8） 50．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义． 【答案】见试题解答内容 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）＝2x+﹣90＞40， 即x2﹣65x+900＞0， 解得x＜20或x＞45， ∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x≤30时， g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣； 当30＜x＜100时， g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58； ∴g（x）＝； 当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增； 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数所占比为32.5%时，人均通勤时间最少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题50题26个考点） 范围：第一章～第三章 一．集合的含义（共1小题） 1．已知集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}． （1）若m＝2，求A∩B，A∪B； （2）若A⊆B，求实数m的取值范围； （3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 二．集合的确定性、互异性、无序性（共2小题） 2．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（　　） A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2 3．已知集合{b}＝{x∈R|ax2﹣4x+1＝0，a，b∈R}，则a+b＝（　　） A．0或1 B． C． D．或 三．集合的表示法（共2小题） 4．已知集合M＝{a|∈N+，且a∈Z}，则M等于（　　） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{﹣1，2，3，4} 5．如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，则（　　） A．S⫋T B．T⊆S C．S＝T D．S⊈T 四．元素与集合关系的判断（共1小题） 6．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 五．子集与真子集（共1小题） 7．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为（　　） A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．∅ 六．空集及空集的性质（共1小题） 8．下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+3＝3} B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R} 七．并集及其运算（共1小题） 9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为　 　． 八．交、并、补集的混合运算（共3小题） 10．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}． （1）当a＝3时，求A∩B，A∪（∁RB）； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 11．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1﹣m}． （1）当m＝﹣1时，求A∪B； （2）若A⊆B，求实数m的取值范围； （3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 12．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}． （1）分别求A∩B，（∁RB）∪A； （2）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合． 九．集合交并补混合关系的应用（共1小题） 13．集合P＝{x|ax2+4x+4＝0，x∈R}中只含有1个元素，则实数a的取值是　 　． 一十．全称量词和全称量词命题（共1小题） 14．已知函数f（x）＝x+，g（x）＝2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 一十一．基本不等式及其应用（共3小题） 15．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 16．若正数a，b满足，的最小值为（　　） A．1 B．6 C．9 D．16 17．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 一十二．二次函数的性质与图象（共2小题） 18．如果函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，5] D．[3，+∞） 19．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1和f（x+1）﹣f（x）＝2x． （1）求f（x）； （2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值． 一十三．一元二次不等式及其应用（共6小题） 20．设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（　　） A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3） 21．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A． B．{x|x＜﹣1，或x＞} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1} 22．若不等式ax2+2x+c＜0的解集是（）∪（），则不等式cx2﹣2x+a≤0的解集是（　　） A．[﹣] B．[﹣] C．[﹣2，3] D．[﹣3，2] 23．若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（　　） A．（6，7] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0）∪（6，7] D．[﹣1，7] 24．若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣，+∞） B．[﹣，1] C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 25．不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 一十四．函数的图象与图象的变换（共1小题） 26．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 一十五．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共2小题） 27．已知，则f（log23）＝（　　） A． B． C． D． 28．若f（x）＝，则f（﹣2）的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 一十六．函数的单调性（共1小题） 29．若是R上的增函数，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 一十七．求函数的单调区间（共1小题） （多选）30．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．函数与函数是相同函数 C．函数的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．若x+y＝4，则x2+y2的最小值是8 一十八．由函数的单调性求解函数或参数（共4小题） 31．已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[15，+∞） B．（﹣∞，15] C．（12，30] D．（﹣12，15] 32．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（　　） A．（0，3） B．（1，3） C．（1，+∞） D． 33．若函数f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，2） B． C．[1，2] D．[0，1] 34．函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x． （Ⅰ）求函数g（x）的解析式； （Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|； （Ⅲ）若h（x）＝g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 一十九．函数的最值（共2小题） 35．设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　） A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2] 36．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2] 二十．函数的奇偶性（共1小题） 37．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 二十一．奇函数偶函数的判断（共3小题） 38．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0] 39．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则f（3），f（﹣2），f（1）的大小顺序是　 　． 40．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是　 　． 二十二．奇偶函数图象的对称性（共1小题） 41．已知函数y＝f（x+1）﹣2是奇函数，，且f（x）与g（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6＝（　　） A．0 B．6 C．12 D．18 二十三．奇偶性与单调性的综合（共1小题） 42．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝． （1）确定函数f（x）的解析式． （2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数． （3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0． 二十四．抽象函数的周期性（共1小题） （多选）43．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）是偶函数 B．f（x）的周期T＝4 C．f（2022）＝0 D．f（x）在（﹣4，﹣2）单调递减 二十五．幂函数的单调性与最值（共1小题） 44．若，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 二十六．分段函数的应用（共6小题） 45．已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　） A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{} 46．若函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 47．已知函数f（x）＝|lnx|，若关于x的方程f（x）+m＝g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　） A．[0，ln2] B．（﹣2﹣ln2，0） C．（﹣2﹣ln2，0] D．[0，2+ln2） 48．设函数g（x）＝x2﹣2（x∈R），f（x）＝，则f（x）的值域是（　　） A．[﹣，0]∪（1，+∞） B．[0，+∞） C．[，+∞） D．[﹣，0]∪（2，+∞） 49．已知a＞0，函数f（x）＝．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　 　． 50．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$