专题特训(一)一元二次方程解法的灵活应用&1.3 一元二次方程的根与系数的关&专题特训(二)根的判别式及根与系数的关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

12 　　　 专题特训（一）　一元二次方程解法的灵活应用 ▶ “答案与解析”见P5 类型一 缺“一”选“直” 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中一次 项系数b=0时,往往采用直接开平方法比较简便. 1. 解方程: (1) 3x2-108=0. (2) x-2x2=(x-3)(x+4). 类型二 遇“大”选“配” 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中常数 项c较大时,往往采用配方法比较简便. 2. 解方程:x2+6x-8091=0. 类型三 遇“小”选“公” 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中系数 a、b、c相对不大时,往往采用公式法比较简便. 3. 解方程:2x2+3x=22. 类型四 有“公”选“因” 当一元二次方程各部分中含有公因式时,往往采 用因式分解法比较简便. 4. 解方程: (1) ★2x(x-3)=3-x. (2) 2(4-x)2=x2-16. 类型五 整体换元法 当一元二次方程中具有共同特征的部分时,常常 把这个部分看成是一个整体,并设定一个新的未知 数,从而建立新的一元二次方程,进而先求得这个新 的未知数,再求得原方程的解. 答案讲解 5. 阅读材料,解答问题: 解方程:(x-1)2-5(x-1)+4=0. 解:设x-1=y,则原方程可化为 y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1, 即x-1=1时,解得x=2;当y=4,即x- 1=4时,解得x=5.∴ 原方程的解为x1=2, x2=5. 上述解法称为“整体换元法”.请运用“整体换 元法”解方程:(2x-5)2-(2x-5)-2=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 13 *1.3　一元二次方程的根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P5 1. 若方程x2+5x-4=0的两个根为x1和x2, 则x1+x2-x1x2的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 2. 若关于x 的方程x2-4x+m+2=0有一个 根为-1,则另一个根为 ( ) A. 2 B. -2 C. 5 D. -5 3. (1) 已知方程x2-3x+2=0的两个根是 x1、x2,则 1 x1+ 1 x2= . (2) 已知x1、x2是方程x2-2x-1=0的两 个根,则x21+x22= . 4. (1) 已知关于x的方程x2-2x+n=0的一 个根为1+5,则它的另一个根为 . (2) 若x=1是关于x的一元二次方程x2+ (k+1)x+2=0的一个实数根,则另一个实 数根为 . 5. (易错题)已知关于x 的一元二次方程x2- 4x+m+1=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个实数根为x1、x2,且 (x1-1)(x2-1)=-4,求m 的值. 6. 若a、b是方程x2+x-2023=0的两个实数 根,则a2+2a+b的值为 ( ) A. 2024 B. 2021 C. 2023 D. 2022 7. (学科内综合)已知菱形ABCD 的边长是5, 两条对角线交于点O,且AO、BO 的长分别 是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0 的两个根,则m 的值为 ( ) A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 8. 若a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两 个实数根,则a2+2b-ab的值是 . 9. 已知一元二次方程x2-14x+48=0的两个 根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的周 长为 . 10. 已知关于x 的一元二次方程x2-3x+ 2m=0有两个不相等的实数根x1、x2.如果 x1-2x2=6,那么实数m 的值为 . 11. 如果关于x 的一元二次方程x2-2kx+ k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2,且 x21+x22=4,那么x21-x1x2+x22 的值是 . 12. 已知关于x 的一元二次方程x2-5x+ m=0. (1) 若方程有实数根,求实数m的取值范围. (2) 若方程的两个实数根为x1、x2,且满足 3x1-2x2=5,求实数m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 14 13. 已知关于x的方程x2+(8-4m)x+4m2=0. (1) 若方程有两个相等的实数根,求m 的 值,并求出此时方程的根. (2) 是否存在正数m,使方程的两个实数根 的平方和等于136? 若存在,请求出m 的 值;若不存在,请说明理由. 答案讲解 14. 若m、n是一元二次方程x2+3x- 1=0的两个实数根,则m 3+m2n 3m-1 的值为 . 答案讲解 15. 在关于x的分式方程k-1x-1=2① 和 一元二次方程(2-k)x2+3mx+ (3-k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程① 的根为非负数. (1) 求k的取值范围. (2) 若方程②有两个实数根x1、x2,且满足 x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2- k),当k为负整数时,试判断m2≤4是否成 立,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 15 　　专题特训（二）　根的判别式及根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 运用根的判别式确定根的情况 先求得根的判别式与0的大小关系,再确定一元 二次方程根的情况. 1. (2023·广安)已知a、b、c为常数,点P(a,c) 在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c= 0的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. 已知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+ 6+2k=0. (1) 求证:此方程总有两个实数根. (2) 若此方程恰有一个根小于-2,求k的取 值范围. 类型二 根据根的情况确定待定系数的值 或取值范围 根据所给一元二次方程根的情况,确定该方程的 根的判别式与0的大小关系,进而求得方程中待定系 数的值或取值范围. 3. (2023·广州)已知关于x的方程x2-(2k- 2)x+k2-1=0有两个实数根,则 (k-1)2- (2-k)2的化简结果是 ( ) A. -1 B. 1 C. -1-2k D. 2k-3 类型三 运用根与系数的关系求值 根据一元二次方程中有实数根存在时根与系数 之间的数量关系,进而求得待求代数式的值. 答案讲解 4. 若方程x2+3x+1=0的两个根为 α、β,则 α β + βα 的值为 . 类型四 综合运用根的判别式及根与系数的 关系解题 综合运用一元二次方程根的判别式及根与系数 之间的关系,进行解题. 5. 已知关于x 的一元二次方程mx2+2(m+ 1)x+m-1=0有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 若该方程的两个实数根分别为x1、x2,且 x21+x22=8,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 5,∴ 2x2-4px+6q=2(x2-2px+ 3q)=2(x+3)(x-5). 11. 12 [解析] 解x2-4x+3=0,得 x1=1,x2=3.由题意,得a=1或3. 当a=1时,三边长为1、3、4.∵ 1+ 3=4,∴ 长为1、3、4的三条线段不能 组成三角形.当a=3时,三边长为3、 5、4.∵ 3+4>5,∴ 长为3、5、4的三 条线段能组成三角形.∴ 三角形的周 长为3+4+5=12. 12. 当x+3≥0,即x≥-3时,原方 程可化为x2+(x+3)-9=0,即 x2+x-6=0. 分解因式,得(x-2)(x+3)=0,解得 x1=-3,x2=2. 当x+3<0,即x<-3时,原方程可 化为x2-(x+3)-9=0,即x2-x- 12=0. 分解因式,得(x-4)(x+3)=0,解得 x3=4,x4=-3. 两个解都不符合x<-3,舍去. 综上所述,原方程的解为x1=-3, x2=2. 13. D [解析] ∵ m 满 足 等 式 (1-m)2=(1-m)2,∴ 1-m≥ 0,解得m≤1.由(m+1)y2-3my- 9=0,即(y-3)[(m+1)y+3]=0, 解得y1=3,y2=- 3 m+1.∵ m 是整 数,且关于y的一元二次方程(m+1)· y2-3my-9=0的根都是整数, ∴ m=0、-2、-4.∴ 满足条件的所 有整数m 的和是0-2-4=-6. 14. (1) 设 x=t(t≥0), ∴ 原方程化为t2+2t-8=0,解得 t1=2,t2=-4,而t=2>0. ∴ x=2. ∴ x=4. (2) 设 x-4=t(t≥0), ∴ 原方程化为t2+t-2=0,解得 t1=1,t2=-2,而t=1>0. ∴ x-4=1. ∴ x=5. 专题特训（一）　一元二次 方程解法的灵活应用 1. (1) 由原方程,得x2=36,解得 x1=6,x2=-6. (2) 整理,得x2=4,解得x1=2, x2=-2. 2. 由原方程,得x2+6x=8091. ∴ x2+6x+32=8091+32,即(x+ 3)2=8100. ∴ x+3=90或x+3=-90,解得 x1=87,x2=-93. 3. 原方程可变形为 2x2+3x- 22=0. ∵ a=2,b=3,c=-22, ∴ b2-4ac=32-4×2×(-22)= 25>0. ∴ x=-3± 25 22 . ∴ x1 = -3+5 22 = 22 ,x2 = -3-5 22 =-22. 4. (1) 原方程可变形为2x(x-3)+ (x-3)=0,得(x-3)(2x+1)=0. ∴ x1=3,x2=- 1 2. 未正确理解等式的基本性质 导致错误 解一 元 二 次 方 程 ax2=bx (a≠0)时,有的同学往往会直接将 方程变形为ax=b,得到方程的解 为x=ba ,没有考虑到在方程两边 同时除以的整式x必须是不等于0 的整式,从而导致出现失根(x=0) 的错误结果. (2) ∵ 2(4-x)2=x2-16, ∴ 2(x-4)2-(x+4)(x-4)=0. 分解因式,得(x-4)(x-12)=0. ∴ x-4=0或x-12=0,解得x1= 4,x2=12. 5. 设2x-5=y,则原方程可化为 y2-y-2=0,解得y1=2,y2=-1. 当y=2,即2x-5=2时,解得x= 3.5. 当y=-1,即2x-5=-1时,解得 x=2. ∴ 原方程的解为x1=3.5,x2=2. *1.3　一元二次方程的根 与系数的关系 1. A 2. C [解析] 设方程的另一个根为 a,根据题意,得-1+a=4,解得 a=5. 3. (1) 3 2 (2) 6 4. (1) 1- 5 (2) x=2 5. (1) ∵ 方程有两个不相等的实 数根, ∴ b2-4ac=(-4)2-4(m+1)= 16-4m-4=12-4m>0. ∴ m<3. (2) 由根与系数的关系,得x1+x2= 4,x1x2=m+1. 又∵ (x1-1)(x2-1)=-4, ∴ x1x2-(x1+x2)+1=-4. ∴ m+1-4+1=-4. ∴ m=-2. 6. D [解析] ∵ a是方程x2+x- 2023=0的 实 数 根,∴ a2+a- 2023=0.∴ a2 = -a+2023. ∴ a2+2a+b=-a+2023+2a+ b=2023+a+b.∵ a、b是方程x2+ x-2023=0的两个实数根,∴ a+ b=-1.∴ a2+2a+b=2023+ (-1)=2022. 7. A [解析] 由勾股定理,可得 AO2+BO2=25.由根与系数的关系, 得AO+BO=-2m+1,AO·BO= m2+3.∴ AO2+BO2=(AO+ BO)2-2AO·BO=(-2m+1)2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 2(m2+3)=25.整理,得m2-2m- 15=0,解得 m1=-3,m2=5.又 ∵ b2-4ac>0,∴ (2m-1)2- 4(m2+3)>0,解 得 m < -114. ∴ m=-3. 8. 6 [解析] ∵ a是一元二次方程 x2-2x-1=0的实数根,∴ a2- 2a-1=0.∴ a2=2a+1.∵ a、b是 一元二次方程x2-2x-1=0的两个 实数 根,∴ a+b=2,ab= -1. ∴ a2+2b-ab=2a+1+2b-ab= 1+2(a+b)-ab=1+2×2- (-1)=6. 9. 20 [解析] 设菱形的对角线长分 别为x1、x2.∵ 一元二次方程x2- 14x+48=0的两个根是菱形的两条 对角线长,∴ x1+x2=14,x1x2= 48.∵ 菱形的对角线互相垂直平分, ∴ 菱形的边长为 x1 2 2 + x22 2 = x21+x22 4 = (x1+x2)2-2x1x2 4 = 142-2×48 4 = 196-96 4 = 5. ∴ 菱形的周长为4×5=20. 10. -2 [解析] 由题意,知x1+ x2=3.∵ x1-2x2=6,即x1+x2- 3x2=6,∴ 3-3x2=6,解得x2= -1.代入方程,得1+3+2m=0,解得 m=-2. 11. 4 [解析] 由方程有两个实数根 x1、x2,得(-2k)2-4(k2-k)≥0,即 k≥0,且x1+x2=2k,x1x2=k2-k. ∵ x21+x22=4,∴ (x1+x2)2- 2x1x2=4,即(2k)2-2(k2-k)=4. 整理,得k2+k-2=0,解得k1=1, k2=-2(不合题意,舍去).∴ x21- x1x2+x22=4-(k2-k)=4-k2+ k=4-1+1=4. 12. (1) ∵ 方程有实数根, ∴ b2-4ac=25-4m ≥0,解 得 m≤254. (2) 由根与系数的关系,可知x1+ x2=5,x1x2=m. ∵ 3x1-2x2=5, ∴ 3x1+3x2-5x2=5. ∴ -5x2=-10,解得x2=2. 把x=2代入原方程,得m=6. 13. (1) 若方程有两个相等的实数根, 则有b2-4ac=(8-4m)2-16m2= 64-64m=0,解得m=1. 当 m=1时,原方程为x2+4x+ 4=0, ∴ x1=x2=-2. (2) 不存在. 理由:假设存在,设方程的两个根为 x1、x2,则有x21+x22=136. ∵ x1+x2=4m-8,x1x2=4m2, ∴ (x1+x2)2-2x1x2=136,即 (4m-8)2-2×4m2=136. ∴ m2-8m-9=0. ∴ m1=9,m2=-1. ∵ b2-4ac=(8-4m)2-16m2= 64-64m≥0,且m 为整数, ∴ 0<m≤1. ∴ m1=9,m2=-1都不符合题意. ∴ 不存在正数m,使方程的两个实数 根的平方和等于136. 14. 3 [解析] ∵ m、n是一元二次方 程x2+3x-1=0的两个实数根, ∴ m2+3m-1=0,m+n=-3. ∴ 3m-1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 15. (1) ∵ 关 于 x 的 分 式 方 程 k-1 x-1=2 的根为非负数, ∴ x≥0,且x≠1. 解这个分式方程,得x=k+12 . ∴ k+1 2 ≥0 ,且k+1 2 ≠1 ,解得k≥ -1,且k≠1. 又∵ (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 为一元二次方程, ∴ 2-k≠0. ∴ k≠2. 综上所述,k≥-1,且k≠1,k≠2. (2) 成立. 理由:由(1),知k≥-1,且k≠1, k≠2. ∵ k为负整数, ∴ k=-1. ∴ 原一元二次方程可化为3x2+ 3mx+4n=0. ∴ x1+x2=-m,x1x2= 4 3n. ∵ x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1- k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+ 1)=(x1+1)(x2+1), ∴ x21+x22+(x1+x2)=x1x2+ (x1+x2)+1,即x21+x22-x1x2=1. ∴ (x1+x2)2-3x1x2=1. ∴ (-m)2-3×43n=1 ,即 m2- 4n=1. ∴ n=m 2-1 4 ③. 又∵ b2-4ac=(3m)2-4×3×4n= 9m2-48n≥0④, ∴ 把 ③ 代 入 ④,得 9m2 -48× m2-1 4 ≥0. 整理,得m2≤4. 专题特训（二）　根的判别式 及根与系数的关系 1. A [解析] ∵ 点P(a,c)在第四 象限,∴ a>0,c<0.∴ ac<0. ∴ b2-4ac>0.∴ 关于x 的方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 数根. 2. (1) ∵ x2-(k+5)x+6+2k=0 是关于x的一元二次方程, ∴ a=1,b=-(k+5),c=6+2k. ∵ b2-4ac=[-(k+5)]2-4×1× (6+2k)=k2+10k+25-24-8k= k2+2k+1=(k+1)2≥0, ∴ 此方程总有两个实数根. (2) 由(1),知b2-4ac=(k+1)2. ∴ x=k+5± (k+1) 2 ,解得x1=2, x2=k+3. ∵ 此方程恰有一个根小于-2, ∴ k+3<-2,解得k<-5. 3. A [解析] ∵ 关于x的方程x2- (2k-2)x+k2-1=0有两个实数根, ∴ b2-4ac=[-(2k-2)]2-4×1× (k2-1)=-8k+8≥0.∴ k≤1. ∴ k - 1 ≤ 0,2 - k > 0. ∴ (k-1)2-(2-k)2=-(k- 1)-(2-k)=-1. 4. 3 [解析] ∵ 方程x2+3x+1=0 的两个根为α、β,∴ α+β=-3,αβ= 1.∴ (α+β)2=9,即α2+2αβ+β2= 9.∴ α2+2αβ+β2 αβ =9,即α β +2+ β α=9.∵ αβ>0,∴ α β >0,βα >0. ∴ αβ 2 +2 α β · β α + βα 2 =9.∴ αβ + βα 2 = 9.∴ α β + βα =3. 5. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 mx2+2(m+1)x+m-1=0有两个 不相等的实数根, ∴ b2-4ac=[2(m+1)]2-4m(m- 1)>0,解得m>-13. 又∵ m≠0, ∴ m 的 取 值 范 围 是 m>-13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1、x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . 又∵ x21+x22=8,即(x1+x2)2- 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原分式 方程的解. 又∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 1.4　用一元二次方程 解决问题 第1课时 面积问题 与平均增长率问题 1. A 2. D 3. 13 [解析] 设参赛的队伍 有 x支.根据题意,得x (x-1) 2 =78 ,解 得x1=13,x2=-12(不合题意,舍 去).∴ 参赛的队伍有13支. 4. 2 [解析] 设道路的宽为x 米. ∵ 种植草坪的部分可合成长为(32- x)米、宽为(20-x)米的矩形,∴ 由 题意,得(32-x)(20-x)=540,解得 x1=2,x2=50(不合题意,舍去). ∴ 道路的宽为2米. 5. (1) ∵ 平行于墙的一边长为xm, ∴ 垂直于墙的一边长为60-x 2 m. ∴ x·60-x2 =250 ,解得x1=10, x2=50. ∵ x≤40, ∴ x=10. ∴ 60-x 2 =25. ∴ 当垂直于墙的一边长为25m,平行 于墙的一边长为10m时,饲养室的占 地面积为250m2. (2) 画出设计示意图如图所示(画法 不唯一). 方案一:AB 的长为30m,AC 的长为 11m;方案二:AB 的长为33m,AC 的长为10m(任选一种方案即可). 由题意,得AC的长为60- (x-2)+1 3 = 63-x 3 m. ∴ x·63-x3 =330 ,解得x1=30, x2=33. 当x=30时,即AB 的长为30m,AC 的长为11m; 当x=33时,即AB 的长为33m,AC 的长为10m. ∴ 两种方案均可行. (第5题) 6. B [解析] 设2月到4月该厂家自 行车产量的月增长率为x.由题意,得 200(1+x)2=288,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 3月自行车产量为200×(1+ 20%)=240(辆). 7. B [解析] 设这种植物每个支干 长出的小分支的个数是x.由题意,得 1+x+x2=57.整理,得x2+x- 56=0,解得x1=7,x2=-8(不合题 意,舍去).∴ 这种植物每个支干长出 的小分支的个数是7. 8. 342.95 [解析] 设该公司1月到 4月每个月生产成本的下降率为x. 根据题意,得400(1-x)2=361,解得 x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题 意,舍去).∴ 4月该公司的生产成本 为361×(1-5%)=342.95(万元). 9. 54 [解析] 由题意,得长减少 3m,矩形菜地变成正方形菜地.∴ 设 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7