专题特训(三)一元二次方程的应用-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

22 专题特训（三）　一元二次方程的应用 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 数字问题 根据数字中存在的相等关系式,建立适当的一元 二次方程解决问题. 1. 一个两位数的个位上的数字与十位上的数字 的和为6,而个位与十位上的数字的积等于 这个两位数的三分之一,求这个两位数. 类型二 信息传递问题 根据实际问题中信息传递的方式,把握其中蕴含 的相等关系式,建立适当的一元二次方程解决问题. 2. 有人利用手机编辑一条短信并向若干人发 送,收到短信的人也按他的发送人数向没收 到该条短信的人转发该条短信,经过两轮短 信的发送,共有56人的手机上收到该条短 信,则每轮1人要向几人发送短信? 类型三 工程问题 根据隐含于工程问题中的工作总量、工作时间与 工作效率之间的相等关系式,建立恰当的一元二次方 程解决问题. 3. 某工程队采用A、B两种型号的设备同时对 长度为4800米的公路进行施工改造.原计 划A型设备每小时铺设路面比B型设备的 2倍多30米,则32小时恰好完成改造任务. (1) A型设备每小时铺设路面多少米? (2) 通过勘察,此工程的实际施工里程比最 初的4800米多了1000米.在实际施工中, B型设备在铺路效率不变的情况下,时间比 原计划增加了(m+25)小时,同时,A型设备 的铺路效率比原计划每小时下降了3m 米, 而铺路时间增加了m 小时,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 23 类型四 图表信息问题 利用图表中数据间隐含的数量关系,进而建立相 等关系式,并构造一元二次方程解决实际问题. 答案讲解 4. 为了节约用水,某水厂规定:某单元 居民如果一个月的用水量不超过 x吨,那么这个月该单元居民只缴 10元水费.如果超过x 吨,那么这个月除了 仍要缴10元水费外,超过那部分按每吨 x 100 元缴费. (1) 该单元居民8月用水80吨,超过了“规定 的x吨”,则超过的用水量为 吨,超 过部分应缴水费 元(用含x 的式 子表示). (2) 下表是该单元居民9月、10月的用水情 况和缴费情况: 月 份 用水量/吨 缴费总数/元 9月 85 25 10月 50 10 根据上表数据,求x的值. 答案讲解 类型五 动态几何问题 5. 如图,AC 是正方形ABCD 的对角 线,AD=8,E 是AC 的中点,动点 P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒 1个单位长度的速度向终点B 运动,同时动 点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速 度先沿BC 方向运动到点C,再沿CD 方向向 终点D 运动,以EP、EQ 为邻边作▱PEQF, 设点P 运动的时间为t秒(0<t<8). (1) 当t=1时,试求PE 的长. (2) 当点F 恰好落在线段AB 上时,求BF 的长. (3) 在整个运动过程中,当▱PEQF 为菱形 时,求t的值. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 (第9题) 10. (1) 当0<t<10时,点P 在线段 AB 上,此时CQ=tcm,PB=(10- t)cm. ∴ S=12×t (10-t)=12 (10t-t2). 当t=10时,易得无法构成△PCQ. 当t>10时,点P 在AB 的延长线上, 此时CQ=tcm,PB=(t-10)cm. ∴ S=12×t (t-10)=12 (t2-10t). 综 上 所 述, S = 1 2 (10t-t2)(0<t<10), 1 2 (t2-10t)(t>10). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) ∵ △ABC 的面积= 12AB · BC=50cm2, ∴ 当t<10时,12 (10t-t2)=50. 整理,得t2-10t+100=0,此方程 无解. 当t>10时,12 (t2-10t)=50. 整理,得t2-10t-100=0,解得t1= 5+55,t2=5-55(不合题意,舍去). ∴ 当点P 运动(5+55)s时,△PCQ 的面积等于△ABC的面积. (3) 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 如图,当点P 在点B 的左侧时,过点 Q 作QM⊥AC,交直线AC 于点M, 连 接 QE、PM,易 证 △APE ≌ △QCM. ∴ 易得 AE=PE=CM =QM = 2 2tcm ,四边形PEQM 是平行四边 形,且DE=12EM. 又∵ EM=EC+CM=EC+AE= AC=102cm, ∴ DE=52cm. ∴ 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 同理,当点P 在点B 右侧时,DE= 52cm. 综上所述,当点P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会改变. (第10题) 专题特训（三）　一元二次 方程的应用 1. 设这个两位数的个位上的数字为 x,则十位上的数字为6-x. 由题意,得x(6-x)= 13 [10(6- x)+x],解得x1=4,x2=5. 当x=4时,十位上的数字为2; 当x=5时,十位上的数字为1. ∴ 这个两位数是15或24. 2. 设每轮1人要向x人发送短信. 根据题意,得x(1+x)=56,解得 x1=7,x2=-8(不合题意,舍去). ∴ 每轮1人要向7人发送短信. 3. (1) 设B型设备每小时铺设路面 x米,则A型设备每小时铺设路面 (2x+30)米. 由题意,得32x+32(2x+30)= 4800,解得x=40. ∴ 2x+30=110. ∴ A型设备每小时铺设路面110米. (2) 根据题意,得40(32+m+25)+ (110-3m)(m+32)=4800+1000, 解得 m1=18,m2=0(不合题意, 舍去). ∴ m 的值是18. 4. (1) (80-x);x100 (80-x). (2) 根据表格提供的数据,可以知道 x≥50. 根据9月用水情况,可以列出方程: 10+x100 (85-x)=25,解得x1=60, x2=25. ∵ x≥50, ∴ x=60. ∴ x的值是60. 5. (1) 如图①,取AB 的中点M,连接 EM. ∵ 四边形ABCD 是正方形,E 是对 角线AC的中点, ∴ AB=BC=CD=AD=8,EM 是 △ABC的中位线. ∴ AM=12AB=4 ,EM=12BC=4 , EM∥BC. ∴ ∠AME=∠B=90°. 当t=1时,AP=1, ∴ PM=AM-AP=3. ∴ PE = PM2+EM2 = 32+42=5. (2) ∵ 四边形PEQF 是平行四边形, ∴ PF=EQ,PF∥EQ. 当点F 恰好落在线段AB 上时,PF⊥ BC, ∴ EQ⊥BC. ∴ 易知此时Q 为BC的中点. ∴ EQ 是△ABC的中位线. ∴ BQ=12BC=4 ,EQ=12AB=4. ∴ PF=4. ∵ 动点Q 从点B 出发,以每秒2个 单位长度的速度先沿BC 方向运动到 点C, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ∴ t=4÷2=2. ∴ 易得AP=2. ∴ BF=AB-AP-PF=2. (3) 当▱PEQF 为菱形时,PE=EQ. 分四种情况讨论:① 当0<t≤2时, 如图②,过点E 作EM⊥AB 于点M, EN⊥BC于点N. 易 知 EM = 12 BC =4 ,EN = 1 2AB=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(4-t)2+42=(4-2t)2+42, 解得t1=0(不合题意,舍去),t2= 8 3 (不合题意,舍去). ② 当2<t≤4时,同①,得(4-t)2+ 42=(2t-4)2+42,解得t1=0(不合 题意,舍去),t2= 8 3. ∴ t=83. ③ 当4<t≤6时,如图③,过点E 作 EM⊥AB 于点M,EN⊥CD 于点N. 易知EM=4,EN=12AD=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(t-4)2+42=(12-2t)2+ 42,解得t1= 16 3 ,t2=8(不合题意,舍去). ∴ t=163. ④ 当6<t<8时,同③,得(t-4)2+ 42=(2t-12)2+42,解得t1= 16 3 (不 合题意,舍去),t2=8(不合题意,舍去). 综上所述,在整个运动过程中,当 ▱PEQF 为菱形时,t的值为83 或16 3. (第5题) 第1章复习 ［知识体系构建］ -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) -ba c a ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] ∵ m、n 是方程 x2-3x-1=0的两个根,∴ 将x=m 和x=n分别代入,得m2-3m-1= 0,n2-3n-1=0.∴ m2-3m=1, n2-3n=1.∴ 2m2-6m=2,3n2- 9n=3.∵ (2m2-6m+a)(3n2- 9n-5)=10,∴ (2+a)(3-5)=10. ∴ a=-7. [跟踪训练] 1. -4046 [解析] ∵ m 为 方 程x2+3x- 2023=0的根,∴ m2+3m-2023= 0.∴ m2=-3m+2023.∴ m3= m(-3m + 2023)= -3m2 + 2023m = -3(-3m +2023)+ 2023m=2032m-6069.∴ m3+ 2m2-2026m-2023=2032m- 6069+2(-3m+2023)-2026m- 2023=2032m-6069-6m+4046- 2026m-2023=-4046. 典例2 (1) ∵ (2x-3)2=5(2x-3), ∴ (2x-3)2-5(2x-3)=0. ∴ (2x-3)(2x-8)=0. ∴ 2x-3=0或2x-8=0. ∴ x1= 3 2 ,x2=4. (2) ∵ (x+8)(x+1)=-12, ∴ x2+9x+20=0. ∴ (x+4)(x+5)=0. ∴ x+4=0或x+5=0. ∴ x1=-4,x2=-5. [跟踪训练] 2. (1) x1=2,x2= 8 3. (2) x1=2,x2=-1. (3) x1=0,x2=-5. 典例3 (1) ∵ a=1,b=-(2m+ 2),c=m2+2m, ∴ b2-4ac=[-(2m+2)]2-4×1× (m2+2m)=4>0. ∴ 无论m 取何值,方程总有两个不 相等的实数根. (2) ∵ 方程有一个根为1, ∴ 12-(2m+2)×1+m2+2m=0, 即m2-1=0. ∴ m1=1,m2=-1. [跟踪训练] 3. (1) ∵ a=1,b= m-6,c=-6m, ∴ b2 -4ac= (m -6)2 -4× (-6m)=m2+12m+36=(m+ 6)2≥0. ∴ 该方程总有两个实数根. (2) 解该方程,得x1=-m,x2=6. ∵ 方程有一个实数根小于2, ∴ -m<2. ∴ m>-2. 典例4 (1) ∵ a=1,b=-(2m+ 1),c=m2+m, ∴ b2 -4ac= [- (2m +1)]2 - 4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2- 4m=1>0. ∴ 无论m 取何值,方程总有两个不 相等的实数根. (2) ∵ 该方程的两个实数根为a、b, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11