专题特训(六)与切线有关的证明与计算-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

56 　 　　专题特训（六）　与切线有关的证明与计算 ▶ “答案与解析”见P36 类型一 无已知点证切线———作垂直,证半径 1. 如图,O 为正方形ABCD 的对角线上一点, 以点O 为圆心、OA 长为半径的☉O 与BC 相切于点E.求证:CD 是☉O 的切线. (第1题) 类型二 有已知点证切线———连半径,证垂直 2. 如图,AB 是☉O 的直径,C 为☉O 上一点, AD 和过点C 的直线互相垂直,垂足为D, ∠AEC=90°,CD=CE,连接AC.求证:直线 CD 是☉O 的切线. (第2题) 3. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, AC 是☉O 的直径,延长AC 与过点D 的直 线相交于点E,已知∠E=2∠BAC,∠DAB= 45°.求证:DE 与☉O 相切. (第3题) 答案讲解 4. 如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB 于点E,点F在CD上,且AF=DF, 连接AD、BC. (1) 求证:∠FAD=∠B. (2) 延长FA 到点P,使FP=FC,连接CP. 如果 AF∥BC,求证:直线CP 是☉O 的 切线. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 57 类型三 连切点,构造垂直求值 5. 如图,C 是AB ︵ 的中点,直线EF 与☉O 相切 于点C,直线AO 与切线EF 相交于点E,与 ☉O 相交于另一点D,连接AB、CD. (1) 求证:AB∥EF. (2) 若∠DEF=3∠D,求∠DAB 的度数. (第5题) 答案讲解 (第6题) 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的☉O 交BC 于点D,过 点D 的切线交AC 于点E,交AB 的延长线于点F. (1) 求证:EF⊥AC. (2) 当AB=5,BC=6时,求DE 的长. 类型四 连半径,证切线,再求值 7. (2023·无锡)如图,四边形ABCD 是平行四 边形,以AB 为直径的☉O 经过点D,与DC 交于点E,连接 AE,∠EAB=∠EAD.过 点E作EF⊥AD,与AD 的延长线交于点F. (1) 求证:EF 是☉O 的切线. (2) 求∠C 的度数. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 1 2BC ·P2M - 1 2AC ·P2N = 1 2 (AB+BC-AC)·R.∴ R= 2S△ABC AB+BC-AC= 2×12×3×4 5+3-4 =3. 综上所述,☉P 的半径为1或3. (第9题) 专题特训（六）　与切线 有关的证明与计算 1. 如图,连接OE,过点O 作OF⊥ CD 于点F. ∵ BC切☉O 于点E, ∴ OE⊥BC,OE=OA. ∵ AC为正方形ABCD 的对角线, ∴ ∠ACB=∠ACD=45°. 又∵ OF⊥CD,OE⊥BC, ∴ 易得四边形OECF 是正方形. ∴ OE=OF. ∴ OF 是☉O 的半径. 又∵ OF⊥CD, ∴ CD 是☉O 的切线. (第1题) 2. 连接OC. ∵ AD⊥CD,∠AEC=90°, ∴ ∠ADC=∠AEC=90°. 在Rt△ADC和Rt△AEC中, ∵ AC=AC,CD=CE, ∴ Rt△ADC≌Rt△AEC. ∴ ∠DAC=∠EAC. ∵ AO=OC, ∴ ∠OAC=∠OCA. ∴ ∠DAC=∠OCA. ∴ AD∥OC. ∴ OC⊥CD. ∵ OC是☉O 的半径, ∴ 直线CD 是☉O 的切线. 3. 如图,连接OD、OB. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA. ∴ ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠BAC. ∵ ∠E=2∠BAC, ∴ ∠E=∠BOC. ∴ DE∥OB. ∴ ∠ODE+∠DOB=180°. ∵ ∠DAB=45°, ∴ ∠DOB=2∠DAB=90°. ∴ ∠ODE=90°. ∴ OD⊥DE. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 与☉O 相切. (第3题) 4. (1) ∵ AC︵=AC︵, ∴ ∠ADC=∠B. ∵ AF=DF, ∴ ∠FAD=∠FDA. ∴ ∠FAD=∠B. (2) 如图,连接OC. ∵ AF∥BC, ∴ ∠FAB=∠B. ∴ ∠FAB=∠FAD=∠FDA. ∵ AB⊥CD, ∴ ∠AED=90°. ∴ 易得∠FAB=∠FAD=∠FDA= ∠B=30°. ∴ ∠CFP=60°. ∵ FP=FC, ∴ △CFP 是等边三角形. ∴ ∠PCF=60°. ∵ OB=OC, ∴ ∠B=∠OCB=30°. ∴ ∠AOC=60°. ∴ ∠OCD=30°. ∴ ∠PCO =60°+30°=90°,即 OC⊥CP. ∵ OC是☉O 的半径, ∴ 直线CP 是☉O 的切线. (第4题) 5. (1) 如图,连接OC. ∵ 直线EF 与☉O 相切于点C, ∴ OC⊥EF. ∵ C是AB︵ 的中点, ∴ 易得OC⊥AB. ∴ AB∥EF. (2) 由(1),知OC⊥EF. ∴ ∠OCE=∠OCF=90°. ∴ ∠DEF+∠EOC=90°. ∵ OC=OD, ∴ ∠OCD=∠D. ∴ ∠EOC=2∠D. ∵ ∠DEF=3∠D, ∴ 5∠D=90°. ∴ ∠OCD=∠D=18°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 ∴ ∠DCF=90°-∠OCD=72°. ∵ AB∥EF, ∴ ∠DAB=∠DEF. ∴ ∠DAB = ∠DEF = ∠DCF - ∠D=72°-18°=54°. (第5题) 6. (1) 如图,连接OD. ∵ AB=AC, ∴ ∠C=∠OBD. ∵ OD=OB, ∴ ∠ODB=∠OBD. ∴ ∠ODB=∠C. ∴ OD∥AC. ∵ EF 是☉O 的切线, ∴ EF⊥OD. ∴ EF⊥AC. (2) 如图,连接AD. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. 又∵ AB=AC,且BC=6, ∴ CD=BD=12BC=3. 在Rt△ACD 中,AC=AB=5,CD= 3,根 据 勾 股 定 理,得 AD = AC2-CD2=4. 又∵ S△ACD= 1 2AC ·DE=12AD · CD,即12×5×DE= 1 2×4×3 , ∴ DE=125. (第6题) 7. (1) 如图,连接OE. ∵ OA=OE, ∴ ∠OAE=∠OEA. ∵ ∠EAB=∠EAD, ∴ ∠EAD=∠OEA. ∴ OE∥AF. ∵ EF⊥AD, ∴ EF⊥OE. ∵ OE 是☉O 的半径, ∴ EF 是☉O 的切线. (2) 如图,连接OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, OE∥AF, ∴ ∠DAB = ∠C,AB ∥CD,即 AO∥DE. ∴ 四边形AOED 是平行四边形. ∵ AO=OE, ∴ 四边形AOED 是菱形. ∴ AD=AO=OD. ∴ △AOD 为等边三角形. ∴ ∠DAB=60°. ∴ ∠C=60°. (第7题) 专题特训（七）　圆中 常用的辅助线作法 1. 84° 14° [解析] ∵ AB=AC= AD,∴ 点B、C、D 在以点A 为圆心、 AB 长 为 半 径 的 圆 上 (如 图). ∵ ∠DBC = 42°,∴ ∠CAD = 2∠DBC=84°.∵ ∠CAD=3∠BAC, ∴ ∠BAC = 13 ∠CAD = 28°. ∵ ∠BDC=12∠BAC ,∴ ∠BDC= 1 2×28°=14°. (第1题) 2. (1) DM=MN;DM⊥MN. (2) 连接AE. ∵ M 是AF 的中点,N 是EF 的 中点, ∴ MN 是△AEF 的中位线. ∴ MN=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADF=∠B=90°,AD=AB= BC=CD. ∵ 在Rt△ADF中,M 是AF的中点, ∴ DM=12AF=AM=MF. 由题 意,知△ECF 是 等 腰 直 角 三 角形, ∴ FC=EC. ∴ CD-FC=BC-EC,即 DF= BE. 在△ADF 和△ABE 中, AD=AB, ∠ADF=∠B, DF=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADF≌△ABE. ∴ AF=AE. ∴ MN=12AF. ∴ MN=DM=AM=MF. ∴ 点A、N、F、D 在以点M 为圆心、 1 2AF 的长为半径的圆上. 连 接 AN,则 易 得 ∠NAD + ∠DFN=180°. 又∵ ∠DFN+∠NFC=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73