第1章拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

数学(苏科版)九年级上 1 第1章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列方程中,属于一元二次方程的是 ( ) A. x2=2y-3 B. 2(x+1)=3 C. x2+3x-1=x2+11 D. x2+1=0 2. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数 项是0,则m 的值为 ( ) A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 1或-1 3. 若关于x的方程4x2+(a2-3a-10)x+4a=0的两个根互为相反 数,则a的值是 ( ) A. 5或-2 B. 5 C. -2 D. -5或2 4. 关于x的一元二次方程x2-x=m2的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是 ( ) A. k>-1 B. k<1 C. k>-1且k≠0 D. k<1且k≠0 6. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根, 设两个根为x1、x2,则x1x2的值是 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 7. 将一块矩形桌布铺在长为3m、宽为2m的矩形桌面上.如果各边下 垂的长度相同,并且桌布的面积是桌面面积的2倍,那么桌布各边 下垂的长度为 ( ) A. 3m B. 2.5m C. 0.5m D. 1.5m 8. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中 一个根为另一个根的两倍,那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列 说法中,不正确的是 ( ) A. 方程x2-3x+2=0是“2倍根方程” B. 若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0(m≠0)是“2倍根方程”, 则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0,则关于x 的方程(x-2)(mx+n)=0是 “2倍根方程” D. 若2m+n=0且m≠0,则关于x的方程x2+(m-n)x-mn=0 是“2倍根方程” 9. 某商店以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据 市场调查,该商品的售价与销售量的关系如下:如果每件的售价为 a元,那么可卖出(320-10a)件,但物价部门规定每件商品的加价 不能超过进货价的25%.若商店计划获利400元,则每件商品的售 价应定为 ( ) A. 22元 B. 24元 C. 26元 D. 28元 10. 已知4是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,并 且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边的长, 则等腰三角形ABC 的周长为 ( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 若把一元二次方程x2-4x-8=0化成(x-m)2=n 的形式,则 m+n的值为 . 12. 已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0的两根为x1=-2, x2=3,则多项式2x2+bx+c可分解因式为 . 13. 如果恰好只有一个实数a是关于x的方程(k2-9)x2-2(k+1)x+ 1=0的根,那么k的值为 . 14. 如果关于x的方程(x-1) x2-2x+k4 =0的三个根可以作为 一个三角形的三边长,那么实数k的取值范围是 . 15. 如图,用长为20m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为 11m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为了方便出入,在建造 花圃时,在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门.若花圃的 面积刚好为40m2,则此时花圃AB 段的长为 m. (第15题) 三、 解答题(共55分) 16. (8分)解方程: (1) x2-4x-5=0. (2) x(x-2)=x-2. 17. (8分)先化简,再求值:2x+1x+1+x-1 ÷ x+2x2+2x+1,其中x满足 x2-x-2=0. 18. (8分)已知一元二次方程-x2+(2a-2)x-a2+2a=0. (1) 求证:方程有两个不相等的实数根. (2) 若方程只有一个实数根小于1,求a的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 19. (10分)若一个正整数m 是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积, 即m=n(n+2),其中n为正整数,则称m 为“进步数”,n为m 的 “进步起点”.例如,35=5×7,则35是“进步数”,5为35的“进步 起点”. (1) a是“进步数”,它的“进步起点”为1,则a= ;b是8 的“进步起点”,则b= . (2) 把“进步数”x 与“进步数”y 的差记为E(x,y),其中x>y, E(x,y)>0,例如,24=4×6,15=3×5,则E(24,15)=24-15= 9.若“进步数”x的“进步起点”为s,“进步数”y的“进步起点”为t, 当E(x,y)=16时,求 t s 的值. (3) 若m=k2(k 为整数),试探究m 是否是“进步数”,并说明 理由. 20. (10分)2022年北京冬奥会期间,某特许专卖店直接从工厂购进 A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表(注:利润=销售 价-进货价): 钥匙扣 A款 B款 进货价/(元/件) 30 25 销售价/(元/件) 45 37 (1) 该店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,则购进的 这两款钥匙扣分别有多少件? (2) 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该店计划再次购进A、B 两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价 不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润? 最大销售利润是多少? (3) 冬奥会临近结束时,该店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按 照原价销售,平均每天可售出4件.经调查发现,每件每降价1元, 平均每天可多售出2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款 钥匙扣平均每天的销售利润为90元? 21. (11分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P 从点A 出发,沿边AC 向点C 以1cm/s的速度运动,点Q 从点B 出发,沿边BC 向点C 以2cm/s的速度运动,连接PQ. (1) 如果点P、Q 同时出发,当某个点先到达终点时,另一个点也 停止运动,那么几秒后,△PCQ 的面积为8cm2? (2) 如果点P、Q 同时出发,且点Q 到达点C 后立即返回,速度保 持不变,直到点P 到达点C 后,两点同时停止运动,那么在整个运 动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积为1cm2? 若存 在,求出运动时间;若不存在,请说明理由. (第21题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 直径, ∴ BD︵=BC︵,DE=CE=12CD= 1 2×23=3. ∵ 在 Rt△DOE 中,OD2=DE2+ OE2, ∴ OD2=(3)2+ 12OD 2 . ∴ OD=2. ∴ OB=OD=2. (3) DH=HG+CG. 理由:如图②,连接AD、AC,延长DG 至点C',使C'G=CG,连接AC'. ∵ ∠AGC + ∠FGC = 180°, ∠AGC'+∠AGD=180°,由(1),知 ∠FGC=∠AGD, ∴ ∠AGC=∠AGC'. ∵ AG=AG,CG=C'G, ∴ △AGC≌△AGC'. ∴ AC=AC'. 由题意,得AB 是线段DC 的垂直平 分线. ∴ AD=AC. ∴ AD=AC'. ∵ AH⊥DG, ∴ DH=C'H. ∴ DH = C'H = HG + C'G = HG+CG. (第3题) 拔尖测评 第1章拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程x2-2x+m=0有两个相等的实 数根,∴ b2-4ac=0,即(-2)2- 4m=0,解得m=1.∴ x1x2=1. 7. C [解析] 设桌布各边下垂的长 度为xm,则桌布的长为(3+2x)m, 宽为(2+2x)m.依 题 意,得(3+ 2x)(2+2x)=2×3×2,解得x1= 0.5,x2=-3(不合题意,舍去).∴ 各 边下垂的长度为0.5m. 8. B [解析] 选项 A:解方程,得 x1=1,x2=2.∴ 选项A的说法正 确.选项B:解方程,得x1=2,x2= -nm. 当-nm=2×2 或-nm= 1 2×2 时,该方程为“2倍根方程”.∴ 4m+ n=0或m+n=0.∴ 选项B的说法 错误.选项 C:解 方 程,得 x1=2, x2=- n m.∵ m+n=0,∴ x2=1. ∴ 选项C的说法正确.选项D:解方 程,得x1=-m,x2=n.∵ 2m+n= 0,∴ n=-2m.∴ x2=2x1.∴ 选项 D的说法正确. 9. A [解析] 依题意,得(a-18)· (320-10a)=400.整 理,得a2- 50a+616=0,解得a1=22,a2=28. 又∵ 物价部门规定每件商品加价不 能超过进货价的25%,∴ 每件的售价 不能超过18×(1+25%)=22.5(元). ∴ a=22. 10. D [解析] 将x=4代入原方程, 得42-4(m+1)+2m=0,解得m= 6.∴ 原方程为x2-7x+12=0,即 (x-3)(x-4)=0,解得x1=3,x2= 4.∵ 这个方程的两个实数根恰好是 等腰三角形 ABC 的两条边的长, ∴ 等腰三角形ABC的三边长分别为 3、3、4或3、4、4.∴ 等腰三角形ABC 的周长为3+3+4=10或3+4+ 4=11. 二、 11. 14 12. 2(x+2)(x-3) 13. ±3或-5 14. 3<k≤4 [解析] 由题意,得x- 1=0,x2-2x+k4=0.∴ (-2)2- 4×k4≥0 ,解得k≤4.设x2-2x+ k 4=0 的两根分别是m、n(m≥n),则 m+n=2,mn=k4.∴ m-n= (m+n)2-4mn= 4-k.根据三 角形三边关系定理,得m-n<1< m+n,即 4-k<1<2.∴ 3<k≤4. 15. 4 [解析] 设AB=xm,则BC= (20-3x+2)m.依题意,得x(20- 3x+2)=40.整理,得3x2-22x+ 40=0,解得x1= 10 3 ,x2=4.当x= 10 3 时,20-3x+2=12>11,不合题 意,舍去;当x=4时,20-3x+2= 10<11,符合题意.∴ 花圃AB 段的 长为4m. 三、 16. (1) x1=5,x2=-1. (2) x1=1,x2=2. 17. 原式=2x+1+x 2-1 x+1 · (x+1)2 x+2 = x(x+2) x+1 · (x+1) 2 x+2 = x(x+1)=x2+x. 解方程x2-x-2=0,得x1=2, x2=-1. ∵ x+1≠0,x+2≠0, ∴ x≠-1,且x≠-2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 86 ∴ x=2. ∴ 原式=22+2=6. 18. (1) ∵ (2a-2)2-4×(-1)× (-a2+2a)=4>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) 由(1),得x=- (2a-2)±2 -2 . ∴ x1=a,x2=a-2. ∵ 方程只有一个实数根小于1,a- 2<a, ∴ a-2<1,a≥1. ∴ 1≤a<3. 19. (1) 3;2. [解析] ∵ a是“进步 数”,它的“进步起点”为1,∴ a=1× (1+2)=3.∵ b是8的“进步起点”, ∴ 8=b(b+2),解得b1=2,b2=-4 (不合题意,舍去).∴ b=2. (2) ∵ E(x,y)=16, ∴ x-y=s(s+2)-t(t+2)=16. ∴ s2+2s-t2-2t=s2-t2+2s- 2t=(s+t)(s-t)+2(s-t)=(s-t)· (s+t+2)=16. ∵ s、t均为正整数, ∴ s-t、s+t+2均为正整数,且s+ t+2>s-t. ∵ 16=1×16=2×8, ∴ s+t+2=16, s-t=1 或 s+t+2=8 , s-t=2, 解 得 s=7.5, t=6.5 (不 合 题 意,舍 去)或 s=4, t=2. ∴ t s= 1 2. (3) m 不是“进步数”. 理由:设n(n+2)=k2,即n2+2n- k2=0. ∴ b2-4ac=4+4k2=4(1+k2). ∵ k为整数,m 为正整数, ∴ 易知1+k2不是完全平方数. ∴ n2+2n-k2=0没有整数解. ∴ m 不是“进步数”. 20. (1) 设购进的 A 款钥匙扣有 x件,B款钥匙扣有y件. 依 题 意,得 x+y=30, 30x+25y=850, 解 得 x=20, y=10. ∴ 购进的A款钥匙扣有20件,B款 钥匙扣有10件. (2) 设购进m 件A款钥匙扣,则购进 (80-m)件B款钥匙扣. 依题意,得30m+25(80-m)≤2200, 解得m≤40. 设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙 扣全部售出后获得的总利润为w 元, 则w=(45-30)m+(37-25)× (80-m)=3m+960. ∵ 3>0, ∴ w 随m 的增大而增大. ∴ 当m=40时,w 取得最大值,最大 值为3×40+960=1080,此时80- m=80-40=40. ∴ 当购进40件 A款钥匙扣,40件 B款钥匙扣时,才能获得最大销售利 润,最大销售利润是1080元. (3) 设B款钥匙扣的销售价定为每件 a元,则每件的销售利润为(a-25)元, 平均每天可售出4+2(37-a)= (78-2a)件. 依题意,得(a-25)(78-2a)=90. 整理,得a2-64a+1020=0,解得 a1=30,a2=34. ∴ 将销售价定为每件30元或34元 时,才能使B款钥匙扣平均每天的销 售利润为90元. 21. (1) ∵ 8÷2=4(s),6÷1=6(s), 4<6, ∴ 设运动时间为xs(0<x<4),则 CP=(6-x)cm,CQ=(8-2x)cm. 依题意,得1 2 (6-x)(8-2x)=8,解 得x1=2,x2=8(不合题意,舍去). ∴ 2s后,△PCQ 的面积为8cm2. (2) 存在. 设运动时间为ts(0<t<6). 当0<t<4时,CP=(6-t)cm,CQ= (8-2t)cm. 依题意,得1 2 (6-t)(8-2t)=1,解得 t1=5- 2,t2=5+ 2(不合题意, 舍去). 当t=4时,点Q 与点C 重合,无法构 成△PCQ. 当4<t<6时,CP=(6-t)cm,CQ= (2t-8)cm. 依题意,得1 2 (6-t)(2t-8)=1,解得 t3=t4=5. 综上所述,当运动时间为(5- 2)s或 5s时,△PCQ 的面积为1cm2. 第2章拔尖测评 一、 1. B 2. C 3. C 4. C 5. B 6. C 7. A [解析] 如图,连接OM、ON、 OA、OP.∵ ☉O 的 直 径 为 26, ∴ OA=OP=13.∵ M、N 分别是弦 AB、PQ 的中点,AB=24,PQ=10, ∴ AM=12AB=12 ,PN=12PQ= 5,易 得 OM ⊥ AB,ON ⊥PQ. ∴ OM= OA2-AM2 =5,ON= OP2-PN2=12.当AB∥PQ 时, M、O、N 三点在同一条直线上,此时 线段 MN 的长能取得最大值或最小 值.当AB、PQ 位于点O 的同侧时,线 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 96