考向四圆中的最值问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

60-3y 2 米. 由题意,得y· 60-3y 2 =160. 整理,得3y2-60y+320=0. ∵ b2-4ac=(-60)2-4×3× 320=-240<0, ∴ 该方程没有实数根,即当点F 在线 段BC的延长线上时,所围成的饲养 场BDEF 的面积不能达到160平 方米. 考向四　圆中的最值问题 1. C [解析] 如 图,过 点 M 作 MH⊥CD,交CD 的延长线于点H. ∵ 菱形ABCD 的边长为4,M 为AD 的中点,∴ AM=MD=2.由折叠的 性质,得A'M=AM=2,即A'M 的长 为定值.∴ 点A'在以点M 为圆心、 2为半径的半圆上(不含端点A).易 得当M、A'、C三点共线时,A'C 的长 取最小值.∵ 在菱形ABCD 中,AB∥ CD,∴ ∠HDM = ∠DAB =60°. ∴ ∠HMD=30°.∵ MD=2,∴ 易 得HD=1.∴ HM= 3.∴ HC= HD+DC=5.在 Rt△HMC 中, MC= HC2+HM2=27,∴ A'C= MC-MA'=27-2. (第1题) 2. 25-2 [解析] ∵ CF⊥BE, ∴ ∠CFB=90°.∵ 点E 从点A 出发 按顺时针方向运动到点D,∴ 点F 的 运动轨迹是以BC为直径的☉O'上的 BO︵(如图).连接AO'交BO︵ 于点M. 易得当点F 与点M 重合时,AF 的长 取最小值.在Rt△ABO'中,易得AO'= 42+22=25,∴ AM=25-2. ∴ AF 长的最小值为25-2. (第2题) 3. 连接AO、AP、EP、DP,设☉O 分 别与边AC、AB 相切于点G、H,连接 OG、OH,则OG⊥AC,OH⊥AD. ∵ DE︵=DE︵, ∴ ∠DPE=2∠BAC=120°. ∵ PE=PD, ∴ ∠PED=∠PDE=30°. 易得DE=3PD=3AP. ∴ 当AP 长取最大值时,DE 长也取 最大值. 在Rt△AGO 和Rt△AHO 中, AO=AO, OG=OH, ∴ Rt△AGO≌Rt△AHO. ∴ ∠GAO=∠HAO=30°. ∵ ∠AGO=90°,OG=1, ∴ 易得AO=2. 当点P 在AO 的延长线上时,AP 长 有最大值,为3. 此时DE 长取最大值,为33. 4. (1) 如 图,连 接 OA、OB,设 ∠PAC=α. ∵ PA 是☉O 的切线, ∴ ∠PAO=90°. ∴ ∠OAC=90°-α. ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC=∠OCA=90°-α. ∵ PA=PB,OA=OB, ∴ PO 垂直平分线段AB. ∴ ∠CAB=90°-∠OCA=90°- (90°-α)=α. ∴ ∠PAC=∠CAB. ∴ AC平分∠PAB. (2) 如图,设AB 交PD 于点M. 在△PAO 和△PBO 中, PA=PB, PO=PO, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PAO≌△PBO. ∴ ∠APO=∠BPO. ∴ PO 平分∠APB. ∵ AC平分∠PAB, ∴ 点C是△PAB 的内心. ∴ ☉C是△PAB 的内切圆. 设△PAB 的内切圆☉C 交PC 于 点H. ∵ ☉O 的直径为6, ∴ OA=OC=3. ∵ PO 垂直平分线段AB,AB=25, ∴ AM=BM=5. ∴ 在Rt△AMO 中,OM= OA2-AM2=2. ∵ OC=3, ∴ CH=CM=3-2=1. ∵ 点D 到☉C 上各点的最大距离为 线段DH 的长,DH=CD+CH=6+ 1=7, ∴ 点D 与△PAB 的内切圆上各点之 间的距离的最大值为7. (第4题) 5. (1) 25;3. [解析] 如图①,设 ☉O 与x轴交于A、B 两点,过点 M 作CD⊥AB,交☉O 于点C、D,连接 OC.易得弦CD 为过点M 的☉O 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 所有弦中最短的弦.在Rt△OCM 中, CM= OC2-OM2 = 32-22 = 5,∴ CD=2CM=25,即最短的弦 的长为25.∵ 过点 M 的☉O 的所 有弦中,最长的弦为直径,即弦长为 6,∴ 当弦长为正整数时,过点 M 的 弦长为5或6,共3条.∴ 点M 关于 ☉O 的“相关系数”为3. (2) ∵ N 为☉O 的“4属相关点”, ∴ 根据定义,可得过点N 的弦长为6 的弦有1条,即直径;过点N 的弦长 为5的弦有2条;过点N 的弦长为4 的弦有1条,且过点N 的弦长为4的 弦是☉O 的最短弦. 如图②,设弦AC的长为4,过点O 作 ON⊥AC于点N,连接OC,则CN= 1 2AC=2. ∴ 在 Rt △CNO 中,ON = OC2-CN2= 32-22= 5,即点 N 在半径为5的☉O'上运动. 作射线QO',交☉O'于点N1、N2. ∵ 易得OQ=5, ∴ QN1=5-5,QN2=5+5. ∴ 5-5≤NQ≤5+5. (3) ∵ 由题意,易得r≠0,s≠0,r+ s=3(r、s都是正整数),且r<s, ∴ r=1, s=2. ∴ 过☉T 上点S作☉O 的弦,弦长为 正整数的弦有2条,即弦长为6的有 1条,弦长为5的有1条. ∴ 点 S 一 定 在 以 点 O 为 圆 心、 32- 52 2 = 112 为半径的圆上. 同理,点R 一定在以点T 为圆心、 22- 32 2 = 72 为半径的圆内. 当满足以点O 为圆心、3为半径的圆 与以点T 为圆心、72 为半径的圆有 2个交点,且同时满足以点O 为圆心、 11 2 为半径的圆与以点T 为圆心、2 为半径的圆有交点时的值符合题意. 如图③,当以点O 为圆心、 112 为半 径的圆与以点T 为圆心、2为半径的 圆外切时,此时t= 112 +2. 如图④,当以点O 为圆心、3为半径的 圆与以点T 为圆心、72 为半径的圆内 切时,此时t=3- 72. 综上所述,当3- 72 <t≤ 11 2 + 2时,存在点R、S,使得r+s=3,且 r<s. (第5题) 6. (1) 如图,连接OD. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠BDC=90°. ∵ E 是BC的中点, ∴ DE=BE=12BC. ∴ ∠EDB=∠EBD. ∵ OD=OB, ∴ ∠ODB=∠OBD. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠EBD+∠OBD=90°. ∴ ∠ODB + ∠EDB = 90°,即 ∠EDO=90°. ∴ DE⊥OD. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线. (2) ∵ 在Rt△ABD 中,AD=2BD, AB2=AD2+BD2, ∴ 82=(2BD)2+BD2. ∴ BD=855. ∴ AD=1655. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 (3) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠APB=90°. ∴ PA2+PB2=AB2=64. ∴ (PA+PB)2=64+2PA·PB. ∴ 当PA·PB 取最大值时,PA+ PB 取最大值. 设△ABP 边AB 上的高为h. ∵ S△ABP= 1 2PA ·PB=12AB ·h, ∴ 当PA·PB 取最大值时,此时边 AB 上的高h取最大值,为AB2 =4 ,此 时S△ABP = 1 2AB ·h= 12 ×8× 4=16. ∴ PA·PB 的最大值为32. ∴ (PA+PB)2 的最大值为64+2× 32=128. ∴ PA+PB 的最大值为82. (第6题) 考向五　与圆有关的作图题 1. (1) 如图①,直线AC即为所求作. (2) 如图②,直线 AB、AC 即为所 求作. (第1题) 2. (1) 如图,点O、D 即为所求作. [解析] 如图,取格点 H,连接AC、 BH,AC与BH 的交点O 即为圆心. 取格点M、N,连接 MN 交格线于点 J,连接OJ并延长,交☉O 于点D,点 D 即为所求作. (2) 如图,格点E、EF 即为所求作. [解析] 如图,利用格线,易得点E 的 位置,连接OE、AE,取格点P、Q 交 格线于点K,连接AK 交☉O 于点F, 连接EF,则EF 即为所求作. (第2题) 3. (1) 如图①,射线BE 即为所求作. (2) 如图②,射线BF 即为所求作. (第3题) 4. (1) 如图,AP、AQ 即为所求作. (2) 如图,连接PE、QE、PO、QO. ∵ ∠PEQ=64°, ∴ ∠POQ=2∠PEQ=128°. ∵ AP、AQ 为☉O 的两条切线, ∴ OP⊥AP,OQ⊥AQ. ∴ ∠APO=∠AQO=90°. ∴ ∠PAQ = 360°- ∠POQ - ∠APO- ∠AQO=360°-128°- 90°-90°=52°. ∴ ∠PAQ 的度数为52°. (第4题) 考向六　圆的综合题 1. (1) ∵ 点B 的坐标为(3,0), ∴ OB=3. ∵ ∠CBO=45°, ∴ 易得∠OCB=∠CBO=45°. ∴ OC=OB=3. ∴ 点C的坐标为(0,3). (2) ∵ A(5,0)、B(3,0)、Q(-4,0), ∴ OA=5,OB=3,OQ=4. 分两种情况讨论: ① 当点P 在点B 的左侧时, ∵ ∠OCB=45°,∠BCP=15°, ∴ ∠OCP=∠OCB-∠BCP=30°. ∵ OC=3, ∴ 易得OP=3. ∴ QP=OP+OQ=3+4. ∴ t= 3+42 . ② 当点P 在点B 的右侧时, ∵ ∠OCB=45°,∠BCP=15°, ∴ ∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°. ∴ 易得∠OPC=30°. 又∵ OC=3, ∴ 易得OP=33. ∴ QP=OP+OQ=33+4. ∴ t=33+42 . 综上所述,当∠BCP=15°时,t的值 为 3+4 2 或33+4 2 . (3) 分三种情况讨论: ① 如图①,当PC⊥BC 时,☉P 与 BC相切. ∴ ∠PCB=90°. ∵ ∠CBO=45°, ∴ 易得∠CPB=∠PCO=45°. ∴ OP=OC. ∵ OC=3, ∴ OP=3. ∴ QP=OQ-OP=4-3=1. ∴ t=12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 66 105 考向四　圆中的最值问题 ▶ “答案与解析”见P64 1. 如图,菱形ABCD 的边长为4,∠A=60°,M 是边AD 的中点,N 是边AB 上一动点,将 △AMN 沿MN 所在直线折叠得到△A'MN, 连接A'C,则A'C 长的最小值为 ( ) A. 23 B. 3+1 C. 27-2 D. 3 (第1题) (第2题) 2. 如图,☉O 是正方形ABCD 的外接圆,AB= 4,E 是AD ︵ 上任意一点,CF⊥BE 于点F,连 接AF.当点E 从点A 出发按顺时针方向运 动到点D 时,AF 长的最小值为 . 3. 如图,∠BAC=60°,半径为1的☉O 与 ∠BAC 的两边相切,P 为☉O 上一动点,以 点P 为圆心、PA 长为半径的☉P 分别交射 线AB、AC 于点D、E,连接DE,求DE 长的 最大值. (第3题) 答案讲解 (第4题) 4. 如图,P 是☉O 外一点,PA 是☉O 的切线,A 是切点,B 是☉O 上一 点,且PB=PA,射线PO 交☉O 于 C、D 两点,连接AC、AB. (1) 求证:AC 平分∠PAB. (2) 若☉O 的直径为6,AB=25,求点D 与 △PAB 的内切圆上各点之间的距离的最 大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 106 答案讲解 5. 对于☉C 和☉C 内一点P(点P 不 与点C 重合)给出如下定义:过点P 可以作出无数条☉C 的弦,若在这 些弦中,长度为正整数的弦有k 条,则称P 为☉C 的“k 属相关点”,k 为点P 关于☉C 的“相关系数”.在平面直角坐标系中,已知 ☉O 的半径为3. (1) 若点 M 的坐标为(2,0),则过点 M 的 ☉O 的所有弦中,最短的弦的长为 , 点M 关于☉O 的“相关系数”为 . (2) 已知点Q 的坐标为(3,4),若N 为☉O 的“4属相关点”,求线段NQ 长的取值范围. (3) T 是x 轴正半轴上的一点,☉T 的半径 为2,点R、S 分别在☉O 与☉T 上,点R 关 于☉T 的“相关系数”记为r,点S 关于☉O 的“相关系数”记为s.当点T 在x 轴的正半 轴上运动时,若存在点R、S,使得r+s=3, 且r<s,写出点T 的横坐标t的取值范围. 6. (2023·雅安改编)如图,在Rt△ABC 中, ∠ABC=90°,以AB 长为直径的☉O 与AC 交于点D,E 是BC 的中点,连接BD、DE. (1) 求证:DE 是☉O 的切线. (2) 若AD=2BD,AB=8,求AD 的长. (3) 在(2)的条件下,若P 是☉O 上一动点, 求PA+PB 的最大值. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上