2.5.3 直线与圆相切的性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

48 第3课时 直线与圆相切的性质 ▶ “答案与解析”见P28 1. (2024·无锡期末)如图,AB 为☉O 的弦, OD⊥AB 于点D,过点A 作☉O 的切线,交 OD 的延长线于点C,∠BOC=57°,则∠C 的 度数为 ( ) A. 43° B. 37° C. 35° D. 33° (第1题) (第2题) 2. (易错题)(2023·眉山)如图,AB 切☉O 于 点B,连接OA 交☉O 于点C,作BD∥OA 交 ☉O 于点D,连接CD.若∠OCD=25°,则 ∠A 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 40° D. 45° 3. 如图,BC 是☉O 的切线,B 是切点,连接CO 交☉O 于点D,延长CO 交☉O 于点A,连接 AB.若∠C=30°,OD=2,则 AB 的长为 . (第3题) (第4题) 4. (2023·北京)如图,OA 是☉O 的半径,BC 是☉O 的弦,OA⊥BC 于点D,AE 是☉O 的 切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= 45°,BC=2,则线段AE 的长为 . 5. 如图,BC 是☉O 的直径,点A 在☉O 上,AD 与☉O 相切于点A,交BC 的延长线于点D, E 是AB ︵ 上一点,连接AB、AC、AE、BE. (1) 若∠AEB=110°,求∠D 的度数. (2) 求证:∠CAD=∠ABC. (第5题) 6. (2023·哈尔滨)如图,AB 是☉O 的切线,A 为切点,连接OA,点C 在☉O 上,OC⊥OA, 连接BC 并延长,交☉O 于点D,连接OD.若 ∠B=65°,则∠DOC 的度数为 ( ) (第6题) A. 45° B. 50° C. 65° D. 75° 7. 如图,AB 是☉O 的弦,OA⊥OD,BD 与☉O 相切,AB、OD 相交于点C.若OA=3,OC= 1,则线段BD 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第7题) (第8题) 8. 如图,正方形ABCD 的顶点A、B 都在☉O上, 且边CD 与☉O 相切于点E.如果☉O 的半径 为1,那么正方形ABCD 的边长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 49 答案讲解 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=5, BC=4,以CD 为直径作☉O,将矩 形ABCD 绕点C 旋转,使所得矩形 A'B'CD'的边A'B'与☉O 相切,切点为E, 边CD'与☉O 相交于点F,则CF 的长为 . (第9题) 10. 如图,点D 在△ABC 的边AC 上,且AB= AD,以AB 为直径的☉O 与BC 相切,与 AC 相交于点E,与BD 相交于点F. (1) 求证:∠BAD=2∠DBC. (2) 当AD=3,CD=2时,求BD 的长. (第10题) 答案讲解 11. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC= 8,AB=10,点P 在AC 上,AP= 2.若☉O 的圆心在线段BP 上,且 ☉O 与AB、AC 都相切,则☉O 的半径为 ( ) (第11题) A. 1 B. 5 4 C. 12 7 D. 9 4 12. 从☉O 外一点A 引☉O 的切线AB,切点为 B,连接AO 并延长,交☉O 于点C、D,连 接BC. (1) 如图①,若∠A=26°,求∠C 的度数. (2) 如图②,若AE 平分∠BAC,交BC 于 点E,求∠AEB 的度数. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ ∠ABC=∠CPB. ∴ CB=CP. 由(1),知EC是☉O 的切线, ∴ ∠OBC=90°. 在Rt△BOC中,BC2+OB2=OC2, ∴ CP2 +82 = (CP +4)2,解 得 CP=6. (第9题) 10. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于☉O, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∵ ∠ADE+∠ADC=180°, ∴ ∠ABC=∠ADE. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠ACB=∠ADB, ∴ ∠ADB=∠ADE. ∴ DA 平分∠BDE. (2) 连接OB、OC、OA. ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAD=∠ADE. 由(1),知∠ADB=∠ADE, ∴ ∠BAD=∠ADB. ∴ AB=BD. ∵ CE=BD, ∴ AB=CE. ∴ 四边形ABCE 是平行四边形. ∴ BC∥AE. ∵ OB=OC, ∴ 点O 在线段BC的垂直平分线上. ∵ AB=AC, ∴ 点A 在线段BC的垂直平分线上. ∴ OA 垂直平分BC. ∴ OA⊥AE. ∵ OA 为☉O 的半径, ∴ AE 是☉O 的切线. 判定切线的常见方法 要说明直线与圆相切,关键就 是说明这条直线与圆的半径垂直, 往往有两种思路:① 如果直线过圆 上一个已知点,那么连接圆心与这 个已知点,证明这条半径与直线垂 直;② 如果直线没有过圆上的已知 点,那么过圆心作这条直线的垂 线,证明圆心到这条直线的距离等 于圆的半径. 11. (1) ☉M 与x轴相切. 理由:如图,连接CM. ∵ AC平分∠OAM, ∴ ∠OAC=∠CAM. 又∵ MC=MA, ∴ ∠CAM=∠ACM. ∴ ∠OAC=∠ACM. ∴ OA∥MC. ∵ OA⊥x轴, ∴ MC⊥x轴. ∵ CM 是☉M 的半径, ∴ ☉M 与x轴相切. (2) 如图,过点 M 作MN⊥y 轴于 点N. ∴ AN=BN=12AB. ∵ ∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°, ∴ 四边形MNOC是矩形. ∴ MN=OC,MC=NO=10. 设AO=m,则OC=MN=12-m, AN=10-m. 在Rt△ANM 中,由 勾 股 定 理,得 AM2=AN2+MN2, ∴ 102=(10-m)2+(12-m)2,解得 m=4或m=18(不合题意,舍去). ∴ AN=6. ∴ AB=12. (第11题) 第3课时 直线与圆相切的性质 1. D 2. C 3. 23 [解析] 如图,连接OB、DB, 则OB=OD=2.∵ AD 是☉O 的直 径,∴ ∠ABD=90°,AD=2OD=4. ∵ BC 与☉O 相切于点B,∴ BC⊥ OB.∴ ∠OBC=90°.∵ ∠C=30°, ∴ ∠BOC=60°.∴ △BOD 是等边三 角形.∴ BD=OD=2.∴ AB= AD2-BD2= 42-22=23. (第3题) 4. 2 [解析] ∵ OA 是☉O 的半 径,AE 是☉O 的切线,∴ ∠OAE= 90°.∵ ∠AOC=45°,OA⊥BC,∴ 易 得△CDO 和△EAO 是等腰直角三角 形.∴ OD=CD,OA=AE.∵ OA⊥ BC,∴ CD= 12BC=1.∴ OD= CD=1.∴ OC= OD2+CD2= 2. ∴ AE=OA=OC=2. 5. (1) 如图,连接CE、OA. ∵ BC是☉O 的直径, ∴ ∠BEC=∠BAC=90°. ∵ ∠AEB=110°, ∴ ∠AEC=110°-90°=20°. ∴ ∠AOD=2∠AEC=40°. ∵ AD 与☉O 相切于点A, ∴ OA⊥AD. ∴ ∠OAD=90°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 ∴ ∠D=90°-∠AOD=50°. (2) 由(1),知∠BAC=∠OAD=90°, ∴ ∠BAO + ∠OAC = ∠CAD + ∠OAC=90°. ∴ ∠CAD=∠BAO. ∵ OA=OB, ∴ ∠BAO=∠ABC. ∴ ∠CAD=∠ABC. (第5题) 6. B [解析] ∵ AB 是☉O 的切线, A 为切点,∴ OA⊥AB.∵ OC⊥OA, ∴ AB∥OC.∴ ∠OCD=∠B=65°. ∵ OC=OD,∴ ∠OCD=∠ODC= 65°.∴ ∠DOC=180°-65°-65°= 50°. 7. B [解析] ∵ BD 与☉O 相切, ∴ OB⊥BD.∴ ∠OBC+∠CBD= 90°.∵ OA ⊥OD,∴ ∠OAC + ∠ACO = 90°.∵ OA = OB, ∴ ∠OAC= ∠OBC.∴ ∠CBD = ∠ACO. ∵ ∠BCD = ∠ACO, ∴ ∠BCD=∠CBD.∴ BD=CD. ∴ OD =OC +CD =1+BD. ∵ 在 Rt△OBD 中,OD2 =OB2 + BD2,OB=OA=3,∴ (1+BD)2= 32+BD2.∴ BD=4. 8. 8 5 [解析] 如图,连接EO 并延 长,交AB 于点H,连接AO.∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ AB=AD, AB∥CD,∠D=∠DAH=90°.∵ 边 CD 与☉O 相切于点E,∴ HE⊥CD. ∴ ∠DEH = 90°,HE ⊥ AB. ∴ ∠AHO =90°,AH = 12 AB. ∵ ∠DAH=∠D=∠DEH =90°, ∴ 四边形AHED 是矩形.∴ HE= AD.设OH=x,则AD=AB=HE= x + 1.∴ AH = x+12 .∵ 在 Rt△AHO 中,由勾股定理,得AO2= AH2+OH2,∴ 12= x+12 2 +x2, 解得x1= 3 5 ,x2=-1(不合题意,舍 去).∴ AD=85.∴ 正方形ABCD 的边长为8 5. (第8题) 9. 4 [解析] 如图,连接EO 并延长, 交CD'于点G,连接DF.由题意,易 得B'C=BC=4,CD=AB=5, ∠B'=∠B=90°.∵ A'B'与☉O 相 切于点E,∴ GE⊥A'B'.又∵ 易知 A'B'∥CD',∴ GE⊥CD'.∴ CG= GF=12CF.∵ 易得四边形B'CGE 为矩形,∴ EG=B'C=4.∵ OE= OC=12CD=2.5 ,∴ OG=EG- OE=4-2.5=1.5.∴ 在Rt△OCG 中, CG = OC2-OG2 = 2.52-1.52=2.∴ CF=2CG=4. (第9题) 10. (1) 如图,连接AF. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠AFB=90°. ∴ AF⊥BD,∠BAF+∠ABF=90°. ∵ AB=AD, ∴ AF 平 分 ∠BAD,即 ∠BAD = 2∠BAF. ∵ 以AB 为直径的☉O 与BC相切, ∴ AB⊥BC. ∴ ∠ABC = 90°,即 ∠ABF + ∠DBC=90°. ∵ ∠BAF+∠ABF=90°, ∴ ∠BAF=∠DBC. ∴ ∠BAD=2∠DBC. (2) 如图,连接BE. ∵ AD=3,CD=2, ∴ AB=3,AC=5. ∴ 在Rt△ABC中,BC= AC2-AB2=4. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠AEB=90°. ∵ S△ABC= 1 2BE ·AC=12AB · BC, ∴ BE=AB ·BC AC = 3×4 5 = 12 5. ∴ 在 Rt△ABE 中,AE= AB2-BE2=95. ∴ DE=AD-AE=65. ∴ 在Rt△BDE 中,BD= DE2+BE2=655 . (第10题) 11. A [解析] 如图,设AC 与☉O 相切于点D,AB 与☉O 相切于点E, 连接OD、OE、OA.设☉O 的半径为 r.∵ ∠C=90°,AC=8,AB=10, ∴ BC = AB2-AC2 = 6. ∵ S△APB=S△APO+S△AOB,∴ 1 2AP · BC=12AP ·OD+12AB ·OE,即 1 2×2×6= 1 2×2r+ 1 2×10r ,解得 r=1.∴ ☉O 的半径为1. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 12. (1) 如图①,连接OB. ∵ AB 切☉O 于点B, ∴ ∠ABO=90°. ∵ ∠A=26°, ∴ ∠AOB=90°-26°=64°. ∵ OC=OB, ∴ ∠C=∠CBO. ∵ ∠AOB=∠C+∠CBO, ∴ ∠C=12∠AOB=32°. (2) 如图②,连接OB. ∵ AE 平分∠BAC, ∴ ∠CAE=12∠CAB. ∵ 由(1),知∠ABO=90°,∠C= ∠CBO,且∠C+∠CAB+∠CBA= 180°, ∴ 易得2∠C+2∠CAE=90°. ∴ ∠CAE+∠C=45°. ∴ ∠AEB=∠CAE+∠C=45°. (第12题) 第4课时 三角形的内切圆 1. B 2. C 3. 12 4. 55 5. (1) BD=DE. ∵ 点E 是△ABC的内心, ∴ AD 平分∠BAC,BE 平分∠ABC. ∴ ∠CAD = ∠BAE,∠ABE = ∠CBE. ∵ CD︵=CD︵, ∴ ∠DBC=∠CAD. ∴ ∠DBC=∠BAE. ∵ ∠DBE = ∠CBE + ∠DBC, ∠DEB=∠ABE+∠BAE, ∴ ∠DBE=∠DEB. ∴ BD=DE. (2) 如图,连接CD. ∵ 由(1),知∠CAD=∠BAE, ∴ CD︵=BD︵. ∴ CD=BD. ∵ BD=DE=4, ∴ CD=BD=DE=4. ∵ ∠BAC=90°, ∴ BC是△ABC的外接圆的直径. ∴ ∠BDC=90°. ∴ BC= BD2+CD2=42. ∴ △ABC的外接圆的半径为22. (第5题) 6. B [解析] ∵ AB=AC,AD⊥ BC,∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC , BD = CD. ∴ BN = CN. ∴ ∠BND = ∠CND.∴ 易 得 ∠ANB = ∠ANC.∵ 点 M 是 △CAN 的 内 心,∴ ∠MAC = ∠MAN = 12 ∠CAD ,∠ANM = ∠MNC=12∠ANC.∴ ∠ANB= ∠ANC=2∠ANM.又∵ ∠ANB= ∠AMN+∠MAN,∠AMN=108°, ∴ 2∠ANM =108°+ ∠MAN,即 2∠ANM - ∠MAN =108° ①.又 ∵ ∠ANM + ∠MAN =180°- ∠AMN,∴ ∠ANM+∠MAN=72° ②.联立①②,解得∠MAN=12°, ∠ANM=60°.∴ ∠BAC=2∠CAD= 4∠MAN=48°. 7. C [解析] 如图①,当∠A 是锐角 时,∵ 点 O 为 △ABC 的 外 心, ∠BOC=120°,∴ 易得∠A=60°. ∴ ∠ABC+∠ACB=120°.∵ 点I 为 △ABC 的 内 心,则 ∠IBC + ∠ICB=60°.∴ ∠BIC=120°.如图 ②,当∠A 是钝角时,∵ ∠BOC= 120°, ∴ 易 得 ∠A = 120°. ∴ ∠ABC+∠ACB=60°.∵ 点I为 △ABC的内心,∴ ∠IBC+∠ICB= 30°.∴ ∠BIC=150°.综 上 所 述, ∠BIC的度数为120°或150°. (第7题) 8. 4 [解析] 如图,延长ID 至点M, 使 DM =ID,连 接 CM,则IM = 2ID=10.∵ 点I为△ABC 的内心, ∴ ∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∵ BD︵=BD︵,∴ ∠BAD=∠BCD,即 ∠IAB = ∠BCD.∴ ∠IAC = ∠IAB = ∠BCD.∵ ∠DIC = ∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+ ∠ICB,∴ ∠DIC=∠DCI.∴ ID= CD.∵ DM =ID,∴ ID=CD= DM =5.∴ 易 得 ∠ICM =90°. ∴ CM = IM2-IC2 = 102-62 = 8.∵ AI = 2CD, ∴ AI=10.∴ AI=IM.又∵ E 为 AC的中点,∴ IE 为△ACM 的中位 线.∴ IE=12CM=4. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03