2.5.2 圆的切线的判定-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

46 第2课时 圆的切线的判定 ▶ “答案与解析”见P27 1. 如图,AB 是☉O 的直径,P 是☉O 外一点, PO 交☉O 于点C,连接BC、PA.若∠P= 40°,当PA 与☉O 相切时,则∠B 的度数为 ( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° (第1题) (第2题) 2. 如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆O 上 (不与点A、B 重合),DE⊥AB 于点D,交 BC 于点F,连接CE.下列条件中,能判定 CE 是切线的为 ( ) A. ∠E=∠CFE B. ∠E=∠ECF C. ∠ECF=∠EFC D. ∠ECF=60° 3. 如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,要 使得直线AT 是☉O 的切线,需要添加的一 个条件是 (写出一个即可). (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为边BC 的 中点,过点D 作DE⊥AC,垂足为E,☉O 经 过A、B、D 三点,则DE 与☉O 的位置关系是 . 5. 如 图,AB 为 ☉O 的 直 径,弦 AD 平 分 ∠CAB,AC⊥CD,垂足为C. (1) 判断CD 与☉O 的位置关系,并说明 理由. (2) 求证:∠CDA=∠AED. (第5题) 6. 如图,在矩形ABCD 中,G 是BC 的中点,过 A、D、G 三点的☉O 与边AB、CD 分别交于 点E、F.有下列说法:① AC 与BD 的交点是 ☉O 的圆心;② AF 与DE 的交点是☉O 的 圆心;③ BC 与☉O 相切.其中,说法正确的 个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (第6题) (第7题) (第8题) 7. 如图,在平面直角坐标系中,过格点A、B、C 作一圆弧,下列格点中,与点B 的连线能够 与该圆弧相切的是 ( ) A. 点(0,3) B. 点(1,3) C. 点(6,0) D. 点(6,1) 答案讲解 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,在边AC 上取点O 画 圆,使☉O 经过A、B 两点,延长BC 交☉O 于点D.有下列结论:① OA=BC; ② OA=2OC;③ A、B、D 是☉O 的三等分 点;④ 以点O 为圆心、OC 长为半径的圆与 AB相切.其中,正确的是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 47 9. 如图,AD 是△ABD 的外接圆☉O 的直径, AB 为☉O 的弦,以B 为顶点,BD 为一边, 在△ABD 的外部作∠DBE=∠BAD,OC⊥ AD 交AB 于点P,交直线EB 于点C. (1) 试判断直线EC 与☉O 的位置关系,并 说明理由. (2) 若OP=4,OA=8,求CP 的长. (第9题) 10. ★如图,四边形ABCD 内接于☉O,AB= AC,延长 CD 至点E,使 CE=BD,连 接AE. (1) 求证:DA 平分∠BDE. (2) 若AB∥CD,求证:AE 是☉O 的切线. (第10题) 答案讲解 11. 如图,半径为10的☉M 经过x 轴 上的一点C,与y 轴交于A、B 两 点,连接AM、AC,AC 平分∠OAM, AO+CO=12. (1) 请判断☉M 与x轴的位置关系,并说明 理由. (2) 求AB 的长. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ 0<m<4. ∴ 当0<m<74 时,☉O 与AD 相离; 当m= 74 时,☉O 与AD 相切;当 7 4<m<4 时,☉O 与AD 相交. (第12题) 第2课时 圆的切线的判定 1. B 2. C 3. 答案不唯一,如 ∠TAC=∠B 4. 相切 5. (1) CD 与☉O 相切. 理由:如图,连接OD. ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠OAD=∠CAD. ∴ ∠ODA=∠CAD. ∵ AC⊥CD, ∴ ∠ACD=90°. ∴ ∠CAD+∠CDA=90°. ∴ ∠ODA+∠CDA=90°. ∴ ∠CDO=90°. ∴ OD⊥CD. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ CD 与☉O 相切. (2) 如图,连接BD. ∵ AB 为直径, ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠DBA+∠BAD=90°. ∵ ∠DBA=∠AED, ∴ ∠AED+∠BAD=90°. ∵ ∠CDA + ∠CAD = 90°, ∠CAD=∠BAD, ∴ ∠CDA=∠AED. (第5题) 6. C [解析] 如图,连接DG、AG、 EF,过点G 作GH⊥AD 于点H,连 接OD.∵ G 是BC 的中点,∴ 易得 AG=DG.∴ GH 垂 直 平 分 AD. ∴ 点 O 在 HG 上.∵ AD∥BC, ∴ HG⊥BC.∴ BC 与☉O 相切. ∵ OG=OD,∴ O 不是HG 的中点. ∴ 圆心O 不是AC 与BD 的交点. ∵ ∠ADF = ∠DAE = 90°, ∴ ∠AEF=90°.∴ 四边形AEFD 为 ☉O 的内接矩形.∴ AF 与DE 的交 点是☉O 的圆心.∴ ①错误,②③ 正确. (第6题) 7. B [解析] 如图,∵ 过格点A、B、 C作一圆弧,∴ 易得三点组成的圆的 圆心 为 O'(2,0).只 有∠O'BD+ ∠EBF=90°时,BF 与圆相切,此时 △BO'D≌△FBE.∴ BD=FE=2. ∴ 点F 的坐标为(5,1).∴ 下列格点 中,与点B 的连线能够与该圆弧相切 的是(5,1)和(1,3). (第7题) 8. ②③④ [解析] 如图,连接OB. ∵ OA=OB,∴ ∠BAC=∠ABO. ∵ ∠ACB = 90°,∠ABC = 60°, ∴ ∠BAC=30°.∴ ∠ABO=30°. ∴ ∠OBC =30°.∴ 易 得 BC = 3 2OB ,即BC= 32OA.∴ ①错误. ∵ ∠OBC=30°,∠ACB=90°,∴ 易 得OC= 12OB= 1 2OA ,即 OA= 2OC.∴ ②正 确.如 图,连 接 AD. ∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BD.∴ 易 得 AD = AB.∵ ∠ABC =60°, ∴ △ABD 为等边三角形.∴ AD= AB=BD.∴ AD︵=AB︵=BD︵.∴ A、 B、D 是☉O 的三等分点.∴ ③正确. ∵ ∠ABO=∠OBC=30°,∴ 点O 在 ∠ABC的平分线上.∴ 点O 到直线 AB 的距离等于OC 的长,即以点O 为圆心、OC 长为半径的圆与AB 相 切.∴ ④正确.综上所述,正确的是② ③④. (第8题) 9. (1) 直线EC与☉O 相切. 理由:如图,连接OB. ∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ABD = 90°,即 ∠ABO + ∠OBD=90°. ∵ OA=OB, ∴ ∠ABO=∠BAD. ∵ ∠DBE=∠BAD, ∴ ∠ABO=∠DBE. ∴ ∠DBE + ∠OBD = 90°,即 ∠OBE=90°. ∵ OB 是☉O 的半径, ∴ 直线EC与☉O 相切. (2) ∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ABD=90°,∠ABC+∠DBE=90°. ∵ OC⊥AD, ∴ ∠BAD + ∠APO = 90°,即 ∠BAD+∠CPB=90°. ∵ ∠DBE=∠BAD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 ∴ ∠ABC=∠CPB. ∴ CB=CP. 由(1),知EC是☉O 的切线, ∴ ∠OBC=90°. 在Rt△BOC中,BC2+OB2=OC2, ∴ CP2 +82 = (CP +4)2,解 得 CP=6. (第9题) 10. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于☉O, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∵ ∠ADE+∠ADC=180°, ∴ ∠ABC=∠ADE. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠ACB=∠ADB, ∴ ∠ADB=∠ADE. ∴ DA 平分∠BDE. (2) 连接OB、OC、OA. ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAD=∠ADE. 由(1),知∠ADB=∠ADE, ∴ ∠BAD=∠ADB. ∴ AB=BD. ∵ CE=BD, ∴ AB=CE. ∴ 四边形ABCE 是平行四边形. ∴ BC∥AE. ∵ OB=OC, ∴ 点O 在线段BC的垂直平分线上. ∵ AB=AC, ∴ 点A 在线段BC的垂直平分线上. ∴ OA 垂直平分BC. ∴ OA⊥AE. ∵ OA 为☉O 的半径, ∴ AE 是☉O 的切线. 判定切线的常见方法 要说明直线与圆相切,关键就 是说明这条直线与圆的半径垂直, 往往有两种思路:① 如果直线过圆 上一个已知点,那么连接圆心与这 个已知点,证明这条半径与直线垂 直;② 如果直线没有过圆上的已知 点,那么过圆心作这条直线的垂 线,证明圆心到这条直线的距离等 于圆的半径. 11. (1) ☉M 与x轴相切. 理由:如图,连接CM. ∵ AC平分∠OAM, ∴ ∠OAC=∠CAM. 又∵ MC=MA, ∴ ∠CAM=∠ACM. ∴ ∠OAC=∠ACM. ∴ OA∥MC. ∵ OA⊥x轴, ∴ MC⊥x轴. ∵ CM 是☉M 的半径, ∴ ☉M 与x轴相切. (2) 如图,过点 M 作MN⊥y 轴于 点N. ∴ AN=BN=12AB. ∵ ∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°, ∴ 四边形MNOC是矩形. ∴ MN=OC,MC=NO=10. 设AO=m,则OC=MN=12-m, AN=10-m. 在Rt△ANM 中,由 勾 股 定 理,得 AM2=AN2+MN2, ∴ 102=(10-m)2+(12-m)2,解得 m=4或m=18(不合题意,舍去). ∴ AN=6. ∴ AB=12. (第11题) 第3课时 直线与圆相切的性质 1. D 2. C 3. 23 [解析] 如图,连接OB、DB, 则OB=OD=2.∵ AD 是☉O 的直 径,∴ ∠ABD=90°,AD=2OD=4. ∵ BC 与☉O 相切于点B,∴ BC⊥ OB.∴ ∠OBC=90°.∵ ∠C=30°, ∴ ∠BOC=60°.∴ △BOD 是等边三 角形.∴ BD=OD=2.∴ AB= AD2-BD2= 42-22=23. (第3题) 4. 2 [解析] ∵ OA 是☉O 的半 径,AE 是☉O 的切线,∴ ∠OAE= 90°.∵ ∠AOC=45°,OA⊥BC,∴ 易 得△CDO 和△EAO 是等腰直角三角 形.∴ OD=CD,OA=AE.∵ OA⊥ BC,∴ CD= 12BC=1.∴ OD= CD=1.∴ OC= OD2+CD2= 2. ∴ AE=OA=OC=2. 5. (1) 如图,连接CE、OA. ∵ BC是☉O 的直径, ∴ ∠BEC=∠BAC=90°. ∵ ∠AEB=110°, ∴ ∠AEC=110°-90°=20°. ∴ ∠AOD=2∠AEC=40°. ∵ AD 与☉O 相切于点A, ∴ OA⊥AD. ∴ ∠OAD=90°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82