2.5.1 直线与圆的三种位置关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

44 2.5　直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的三种位置关系 ▶ “答案与解析”见P25 1. (易错题)(2024·武汉期末)在平面直角坐标 系中,以点(-3,4)为圆心、3为半径的圆 ( ) A. 与x轴相离,与y轴相切 B. 与x轴相离,与y轴相交 C. 与x轴相切,与y轴相交 D. 与x轴相切,与y轴相离 2. 已知☉O 的半径是一元二次方程x2-7x+ 12=0的一个根,圆心O 到直线l的距离d= 3,则直线l与☉O 的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相交或相切 3. 如图,在矩形ABCD 中,BC=5,AB=2,☉O 是以BC 为直径的圆,则直线AD 与☉O 的 位置关系是 . (第3题) 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=43,以 点A 为圆心、2为半径作☉A,当∠BAC= 120°时,直线BC 与☉A 的位置关系如何? 证明你的结论. (第4题) 5. 已知☉O 的半径为2,点P 在直线l上.若 OP=2,则直线l与☉O的位置关系是( ) A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 6. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC≠BC, M 是边AC 上的动点.过点M 作MN∥AB 交BC 于点N,现将△MNC 沿MN 折叠,得 到△MNP.若点P 在AB 上,则以MN 为直 径的圆与直线AB 的位置关系是 ( ) (第6题) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 7. (学科内综合)在平面直角坐标系中,以点 P(3,4)为圆心画☉P.若该圆上有且仅有两 个点到x 轴的距离等于2,则☉P 的半径r 的取值范围是 . 8. 如图,☉O 与直线l相离,圆心O 到直线l的 距离OB=33,OA=6,将直线l绕点A 按 顺时针方向旋转30°后得到的直线m 刚好与 ☉O 相切于点C,则☉O 的半径是 . (第8题) 9. 在平面直角坐标系中,以点A(0,3)为圆心、3 为半径作☉A,则直线y=kx+2(k≠0)与 ☉A 的位置关系是 (填“相切”“相 交”或“相离”). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 45 答案讲解 10. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC= 4,BC=3,以点C 为圆心、r为半径 画圆. (1) 当AB 与☉C 相切时,求r的值. (2) 当AB 与☉C 只有1个交点时,求r满 足的条件. (3) 随着r的变化,AB 与☉C 的交点个数 有哪些变化? 写出相应的r 的值或取值 范围. (第10题) 11. 已知直线l1∥l2,直线l1、l2 之间的距离是 3cm,圆心O到直线l1的距离是1cm.如果 ☉O与直线l1、l2共有三个公共点,那么☉O 的半径为 cm. 答案讲解 12. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4, BC=6.E 为边CD 上的一个动点 (不 与 点 C、D 重 合),☉O 是 △BCE 的外接圆. (1) 若CE=2,☉O 交AD 于点F、G,求FG 的长. (2) 若CE 的长为m,☉O 与AD 之间的位 置关系随m 的值的变化而变化,试探究☉O 与AD 之间的位置关系及对应的m 的取值 范围. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ AB=AC. (2) 如图,过点A 作AG⊥BC 于点 G,连接OC. ∵ AB=AC, ∴ BG=CG=12BC= 5 2. ∴ AG 垂直平分BC. ∴ 圆心O 在AG 上. ∴ OG⊥BC. ∵ 在Rt△ABG中,AB=132 ,BG=52 , ∴ AG= AB2-BG2=6. 设☉O 的半径为r,则OG=AG- OA=6-r. 在 Rt△OBG 中,由 勾 股 定 理,得 OB2=OG2+BG2, ∴ r2=(6-r)2+ 52 2 ,解得r=16948. ∴ ☉O 的半径为16948. (第11题) 12. (1) ∵ 四 边 形 ABDE 内 接 于☉O, ∴ ∠B+∠AED=180°. 又∵ ∠DEC+∠AED=180°, ∴ ∠B=∠DEC. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠DEC=∠C. ∴ DE=DC. (2) ∵ 四边形ABDE 内接于☉O, ∴ ∠A+∠BDE=180°. 又∵ ∠EDC+∠BDE=180°, ∴ ∠A=∠EDC. ∵ OA=OE, ∴ ∠A=∠OEA. 又∵ ∠OEA=∠CEF, ∴ ∠A=∠CEF. ∴ ∠EDC=∠CEF. ∵ ∠EDC + ∠DEC + ∠DCE = 180°, ∴ ∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°, 即∠DEF+∠DCE=180°. 又∵ ∠DCG+∠DCE=180°, ∴ ∠DEF=∠DCG. ∵ ∠EDC绕点D 按逆时针方向旋转 得到∠FDG, ∴ ∠EDC=∠FDG. ∴ ∠EDC - ∠FDC = ∠FDG - ∠FDC,即∠EDF=∠CDG. 在△EDF 和△CDG 中, ∠EDF=∠CDG, DE=DC, ∠DEF=∠DCG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EDF≌△CDG. ∴ DF=DG. 2.5　直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的 三种位置关系 1. A [解析] 点(-3,4)到x轴的距 离为4,大于半径3,点(-3,4)到y轴 的距离为3,等于半径3,故该圆与 x轴相离,与y轴相切. 2. D [解析] ∵ x2-7x+12=0, ∴ x1=3,x2=4.∵ ☉O 的半径是一 元二次方程x2-7x+12=0的一个 根,∴ r=3或r=4.∵ d=3,∴ 当 r=3时,d=r,此时直线l与☉O 的 位置关系是相切.当r=4时,d<r, 此时直线l与☉O的位置关系是相交. 3. 相交 4. 直线BC与☉A的位置关系是相切. 如图,过点A 作AD⊥BC,垂足为D. ∵ AB=AC,∠BAC=120°, ∴ ∠B=∠C=30°. ∵ BC=43, ∴ BD=12BC=23. ∴ 易得AD=2. 又∵ ☉A 的半径为2, ∴ 直线BC与☉A的位置关系是相切. (第4题) 5. D [解析] ∵ ☉O 的半径为2, OP=2,∴ 点O 到直线l的距离≤2. ∴ 直线l与☉O 的位置关系是相切 或相交. 6. A [解析] 如图,连接PC 交MN 于点D,取MN 的中点O,连接OP. 由 折 叠 的 性 质,得 ∠MPN = ∠MCN=90°.∴ MO=ON=OP= 1 2MN.∵ PD<OP,∴ 圆心O 到直 线AB 的距离小于☉O 的半径.∴ 以 MN 为直径的圆与直线AB 相交. (第6题) 7. 2<r<6 [解析] 如图,到x轴的 距离等于2的点在直线y=2或直线 y=-2上.当☉P 与直线y=2相切 时,设切点为A,则r=AP=4-2= 2,此时☉P 上只有一个点到x 轴的 距离等于2.当☉P 与直线y=-2相 切时,设切点为B,则r=PB=4- (-2)=6,此时☉P 上有三个点到 x轴的距离等于2.由此可知,当☉P 上有且仅有两个点到x轴的距离等于 2时,直线y=-2与☉P 相离,直线 y=2与☉P 相交.∴ ☉P 的半径r 的取值范围是2<r<6. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 8. 3 [解析] 如图,连接 OC.在 Rt△ABO 中,OB=3 3,OA=6, ∴ AB=3.∴ 易得∠OAB=60°. ∵ 直线l绕点A 按顺时针方向旋转 30°后得到的直线m 刚好与☉O 相切 于点C,∴ ∠CAB=30°,OC⊥AC. ∴ ∠OAC=60°-30°=30°.∴ 易得 OC=12OA=3.∴ ☉O 的半径是3. (第8题) 9. 相交 [解析] ∵ 直线y=kx+2 与y轴的交点是B(0,2),∴ AB=1. ∴ 圆心A 到直线的距离一定小于1. ∵ ☉A 的半径为3,∴ 直线和☉A 一 定相交. 10. (1) 如图①,过点C 作CD⊥AB 于点D. ∵ ∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴ AB= 32+42=5. ∵ S△ABC= 1 2AC ·BC= 12AB · CD, ∴ CD=AC ·BC AB = 4×3 5 =2.4. 又∵ AB 与☉C相切, ∴ r=CD=2.4. (2) ① 由(1),知当AB 与☉C 相切 时,只有1个交点,此时r=2.4. ② 如图②,当AB 与☉C 相交且只有 1个交点时,易得3<r≤4. 综上所述,r=2.4或3<r≤4. (3) ① 如图③,当0<r<2.4时,AB 与☉C有0个交点. ② 如图①,当r=2.4时,AB 与☉C 有1个交点. ③ 如图④,当2.4<r≤3时,AB 与 ☉C有2个交点. ④ 如图②,当3<r≤4时,AB 与☉C 有1个交点. ⑤ 如图⑤,当r>4时,AB 与☉C 有 0个交点. 综上所述,当0<r<2.4或r>4时, AB 与☉C有0个交点;当r=2.4或 3<r≤4时,AB 与☉C 有1个交点; 当2.4<r≤3时,AB 与☉C 有2个 交点. (第10题) 11. 4或2 [解析] 设☉O 的半径为 rcm.由题意,易知需要分两种情况进 行讨论:① 如图①,当直线l1、l2在圆 心O 同侧时,易得r-1=3,解得r= 4.② 如图②,当直线l1、l2 在圆心O 异侧时,易得r+1=3,解得r=2.综 上所述,☉O 的半径为4cm或2cm. (第11题) 12. (1) 如图①,过点O 作OM⊥FG 于点M,延长MO 交BC于点N,连接 OG. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD=4,∠BCD=∠D=90°. ∵ ☉O 是△BCE 的外接圆, ∴ BE 是☉O 的直径. ∵ OM⊥FG, ∴ ∠DMN=90°. ∴ ∠BCD=∠D=∠DMN=90°. ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∴ MN=CD=4,∠CNM=90°,即 MN⊥BC. ∴ BN=CN. ∵ OB=OE, ∴ ON 是△BCE 的中位线. ∴ ON=12CE=1. ∴ OM=MN-ON=3. ∵ 在Rt△BCE 中,BC=6,CE=2, 由勾股定理,得BE2=BC2+CE2, ∴ BE=2 10. ∴ OG=12BE= 10. 在 Rt△OMG 中,由 勾 股 定 理,得 MG2+OM2=OG2, ∴ MG= OG2-OM2=1. ∵ OM⊥FG, ∴ FM=MG. ∴ FG=2MG=2. (2) 如图②,当☉O 与AD 相切于点 M 时,连接 MO 并延长,交 BC 于 点N. 由(1),易得 ON= 12CE= 1 2m , OB=OM=4-12m ,BN=3. 在Rt△BON 中,由 勾 股 定 理,得 ON2+BN2=OB2,即 12m 2 + 32= 4-12m 2 ,解得m=74. ∵ E 为边CD 上的一个动点(不与点 C、D 重合),CD=4, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 ∴ 0<m<4. ∴ 当0<m<74 时,☉O 与AD 相离; 当m= 74 时,☉O 与AD 相切;当 7 4<m<4 时,☉O 与AD 相交. (第12题) 第2课时 圆的切线的判定 1. B 2. C 3. 答案不唯一,如 ∠TAC=∠B 4. 相切 5. (1) CD 与☉O 相切. 理由:如图,连接OD. ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠OAD=∠CAD. ∴ ∠ODA=∠CAD. ∵ AC⊥CD, ∴ ∠ACD=90°. ∴ ∠CAD+∠CDA=90°. ∴ ∠ODA+∠CDA=90°. ∴ ∠CDO=90°. ∴ OD⊥CD. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ CD 与☉O 相切. (2) 如图,连接BD. ∵ AB 为直径, ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠DBA+∠BAD=90°. ∵ ∠DBA=∠AED, ∴ ∠AED+∠BAD=90°. ∵ ∠CDA + ∠CAD = 90°, ∠CAD=∠BAD, ∴ ∠CDA=∠AED. (第5题) 6. C [解析] 如图,连接DG、AG、 EF,过点G 作GH⊥AD 于点H,连 接OD.∵ G 是BC 的中点,∴ 易得 AG=DG.∴ GH 垂 直 平 分 AD. ∴ 点 O 在 HG 上.∵ AD∥BC, ∴ HG⊥BC.∴ BC 与☉O 相切. ∵ OG=OD,∴ O 不是HG 的中点. ∴ 圆心O 不是AC 与BD 的交点. ∵ ∠ADF = ∠DAE = 90°, ∴ ∠AEF=90°.∴ 四边形AEFD 为 ☉O 的内接矩形.∴ AF 与DE 的交 点是☉O 的圆心.∴ ①错误,②③ 正确. (第6题) 7. B [解析] 如图,∵ 过格点A、B、 C作一圆弧,∴ 易得三点组成的圆的 圆心 为 O'(2,0).只 有∠O'BD+ ∠EBF=90°时,BF 与圆相切,此时 △BO'D≌△FBE.∴ BD=FE=2. ∴ 点F 的坐标为(5,1).∴ 下列格点 中,与点B 的连线能够与该圆弧相切 的是(5,1)和(1,3). (第7题) 8. ②③④ [解析] 如图,连接OB. ∵ OA=OB,∴ ∠BAC=∠ABO. ∵ ∠ACB = 90°,∠ABC = 60°, ∴ ∠BAC=30°.∴ ∠ABO=30°. ∴ ∠OBC =30°.∴ 易 得 BC = 3 2OB ,即BC= 32OA.∴ ①错误. ∵ ∠OBC=30°,∠ACB=90°,∴ 易 得OC= 12OB= 1 2OA ,即 OA= 2OC.∴ ②正 确.如 图,连 接 AD. ∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BD.∴ 易 得 AD = AB.∵ ∠ABC =60°, ∴ △ABD 为等边三角形.∴ AD= AB=BD.∴ AD︵=AB︵=BD︵.∴ A、 B、D 是☉O 的三等分点.∴ ③正确. ∵ ∠ABO=∠OBC=30°,∴ 点O 在 ∠ABC的平分线上.∴ 点O 到直线 AB 的距离等于OC 的长,即以点O 为圆心、OC 长为半径的圆与AB 相 切.∴ ④正确.综上所述,正确的是② ③④. (第8题) 9. (1) 直线EC与☉O 相切. 理由:如图,连接OB. ∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ABD = 90°,即 ∠ABO + ∠OBD=90°. ∵ OA=OB, ∴ ∠ABO=∠BAD. ∵ ∠DBE=∠BAD, ∴ ∠ABO=∠DBE. ∴ ∠DBE + ∠OBD = 90°,即 ∠OBE=90°. ∵ OB 是☉O 的半径, ∴ 直线EC与☉O 相切. (2) ∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ABD=90°,∠ABC+∠DBE=90°. ∵ OC⊥AD, ∴ ∠BAD + ∠APO = 90°,即 ∠BAD+∠CPB=90°. ∵ ∠DBE=∠BAD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72