2.4.3 圆的内接四边形-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

第3课时 圆的内接四边形 1. C 2. A 3. 40 4. 150 5. 如图,延长DB 至点E,使得BE= CD,连接AE. ∵ 四 边 形 ABDC 是 圆 的 内 接 四 边形, ∴ ∠ABD+∠C=180°. 又∵ ∠ABE+∠ABD=180°, ∴ ∠ABE=∠C. 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠ABE=∠C, BE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠BAE=∠CAD,AE=AD. ∴ ∠BAE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD,即∠EAD=∠BAC. ∵ ∠BAC=60°, ∴ ∠EAD=60°. ∴ △ADE 是等边三角形. ∴ AD=DE=BD+BE. ∴ AD=BD+CD. (第5题) 6. D [解析] 如图,连接AC、CE. ∵ A、C、D、E 都 是☉O 上 的 点, ∴ ∠CAE+∠D=180°.∴ ∠CAE= 180°-128°=52°.∵ AC︵ =AE︵, ∴ ∠ACE=∠AEC=12× (180°- 52°)=64°.∵ A、B、C、E 都是☉O 上 的 点,∴ ∠AEC + ∠B =180°. ∴ ∠B=180°-64°=116°. (第6题) 7. A [解析] 如图,连接BC.由圆周 角定 理,得 ∠BAC= 12 ∠BOC= 1 2x°.∵ AB 为 ☉O 的 直 径, ∴ ∠ACB =90°.∴ ∠B =90°- 1 2x°.∵ 四边形ABCD 是☉O 的内 接四边形,∴ ∠D=180°-∠B= 90° + 12 x°.∵ OA = OC, ∴ ∠OCA=∠OAC=12x°.∵ AD∥ OC,∴ ∠DAC=∠OCA= 12x°. ∴ ∠ACD=180°-∠DAC-∠D,即 y=180- 1 2x- 90+12x =90- x.∴ x+y=90. (第7题) 8. 44° [解析] 如图,连接 BC. ∵ AB 是 直 径,∴ ∠ACB =90°. ∵ ∠BAC=23°,∴ ∠ABC=90°- ∠BAC=90°-23°=67°.由翻折的性 质,得AC︵ 所对的圆周角为∠B,ABC︵ 所 对 的 圆 周 角 为 ∠ADC, ∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°. ∵ ∠ADC + ∠CDB = 180°, ∴ ∠ABC = ∠CDB = 67°. ∴ ∠DCA = ∠CDB - ∠BAC = 67°-23°=44°. (第8题) 9. 70° [解析] 设∠B=x°.∵ 四边 形 ABCD 是 菱 形,∴ ∠ACE = 1 2∠DCB= 1 2 (180°-∠B)=90°- 1 2x° ,∠D=∠B=x°.∵ 四边形 AECD 是 圆 内 接 四 边 形, ∴ ∠AEB=∠D=x°.∴ ∠EAC= ∠AEB- ∠ACE =x°- 90°- 1 2x° =15°,解得x=70. 10. (1) ∵ 四 边 形 ADBC 内 接 于☉O, ∴ ∠CBD+∠CAD=180°. ∵ ∠CBE+∠CBD=180°, ∴ ∠CBE=∠CAD. ∵ AC︵=CD︵, ∴ ∠CBH=∠CAD. ∴ ∠CBH=∠CBE. ∴ BC平分∠ABE. (2) 如图,连接CD. ∵ CH⊥AB,CE⊥DB, ∴ ∠AHC=∠E=90°. ∵ AC︵=CD︵, ∴ AC=CD. 在△ACH 和△DCE 中, ∠AHC=∠E, ∠CAH=∠CDE, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACH≌△DCE. ∴ AH=DE. (第10题) 11. (1) ∵ DA 平分∠BDF, ∴ ∠ADF=∠ADB. ∵ 四边形ABCD 是☉O 的内接四 边形, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∵ ∠ADC+∠ADF=180°, ∴ ∠ADF=∠ABC. ∵ AB︵=AB︵, ∴ ∠ACB=∠ADB. ∴ ∠ABC=∠ACB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 ∴ AB=AC. (2) 如图,过点A 作AG⊥BC 于点 G,连接OC. ∵ AB=AC, ∴ BG=CG=12BC= 5 2. ∴ AG 垂直平分BC. ∴ 圆心O 在AG 上. ∴ OG⊥BC. ∵ 在Rt△ABG中,AB=132 ,BG=52 , ∴ AG= AB2-BG2=6. 设☉O 的半径为r,则OG=AG- OA=6-r. 在 Rt△OBG 中,由 勾 股 定 理,得 OB2=OG2+BG2, ∴ r2=(6-r)2+ 52 2 ,解得r=16948. ∴ ☉O 的半径为16948. (第11题) 12. (1) ∵ 四 边 形 ABDE 内 接 于☉O, ∴ ∠B+∠AED=180°. 又∵ ∠DEC+∠AED=180°, ∴ ∠B=∠DEC. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠DEC=∠C. ∴ DE=DC. (2) ∵ 四边形ABDE 内接于☉O, ∴ ∠A+∠BDE=180°. 又∵ ∠EDC+∠BDE=180°, ∴ ∠A=∠EDC. ∵ OA=OE, ∴ ∠A=∠OEA. 又∵ ∠OEA=∠CEF, ∴ ∠A=∠CEF. ∴ ∠EDC=∠CEF. ∵ ∠EDC + ∠DEC + ∠DCE = 180°, ∴ ∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°, 即∠DEF+∠DCE=180°. 又∵ ∠DCG+∠DCE=180°, ∴ ∠DEF=∠DCG. ∵ ∠EDC绕点D 按逆时针方向旋转 得到∠FDG, ∴ ∠EDC=∠FDG. ∴ ∠EDC - ∠FDC = ∠FDG - ∠FDC,即∠EDF=∠CDG. 在△EDF 和△CDG 中, ∠EDF=∠CDG, DE=DC, ∠DEF=∠DCG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EDF≌△CDG. ∴ DF=DG. 2.5　直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的 三种位置关系 1. A [解析] 点(-3,4)到x轴的距 离为4,大于半径3,点(-3,4)到y轴 的距离为3,等于半径3,故该圆与 x轴相离,与y轴相切. 2. D [解析] ∵ x2-7x+12=0, ∴ x1=3,x2=4.∵ ☉O 的半径是一 元二次方程x2-7x+12=0的一个 根,∴ r=3或r=4.∵ d=3,∴ 当 r=3时,d=r,此时直线l与☉O 的 位置关系是相切.当r=4时,d<r, 此时直线l与☉O的位置关系是相交. 3. 相交 4. 直线BC与☉A的位置关系是相切. 如图,过点A 作AD⊥BC,垂足为D. ∵ AB=AC,∠BAC=120°, ∴ ∠B=∠C=30°. ∵ BC=43, ∴ BD=12BC=23. ∴ 易得AD=2. 又∵ ☉A 的半径为2, ∴ 直线BC与☉A的位置关系是相切. (第4题) 5. D [解析] ∵ ☉O 的半径为2, OP=2,∴ 点O 到直线l的距离≤2. ∴ 直线l与☉O 的位置关系是相切 或相交. 6. A [解析] 如图,连接PC 交MN 于点D,取MN 的中点O,连接OP. 由 折 叠 的 性 质,得 ∠MPN = ∠MCN=90°.∴ MO=ON=OP= 1 2MN.∵ PD<OP,∴ 圆心O 到直 线AB 的距离小于☉O 的半径.∴ 以 MN 为直径的圆与直线AB 相交. (第6题) 7. 2<r<6 [解析] 如图,到x轴的 距离等于2的点在直线y=2或直线 y=-2上.当☉P 与直线y=2相切 时,设切点为A,则r=AP=4-2= 2,此时☉P 上只有一个点到x 轴的 距离等于2.当☉P 与直线y=-2相 切时,设切点为B,则r=PB=4- (-2)=6,此时☉P 上有三个点到 x轴的距离等于2.由此可知,当☉P 上有且仅有两个点到x轴的距离等于 2时,直线y=-2与☉P 相离,直线 y=2与☉P 相交.∴ ☉P 的半径r 的取值范围是2<r<6. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 42 第3课时 圆的内接四边形 ▶ “答案与解析”见P24 1. 如图,四边形ABCD 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,∠ABD=20°,则∠BCD 的度数是 ( ) (第1题) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 2. (2023·赤峰)如图,在☉O 的内接四边形 ABCD 中,∠BCD=105°,连 接 OB、OC、 OD、BD,∠BOC=2∠COD,则∠CBD 的度 数是 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° (第2题) (第3题) 3. 如图,四边形ABCD 内接于☉O,∠BCD= 100°,AC 平分∠BAD,则∠BDC 的度数为 °. 4. 若四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,且 ∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶4,则∠D 的度数 为 °. 5. 如图,在圆内接四边形ABDC 中,∠BAC= 60°,AB=AC.求证:AD=BD+CD. (第5题) 6. 如图,A、B、C、D、E 都是☉O 上的点,AC ︵ = AE ︵,∠D=128°,则∠B 的度数为 ( ) A. 128° B. 126° C. 118° D. 116° (第6题) (第7题) 7. 如图,AB 为☉O 的直径,C 为ADB ︵ 上一点, AD∥OC,AD 交☉O 于点D,连接AC、CD. 设∠BOC=x°,∠ACD=y°,则下列结论中, 成立的是 ( ) A. x+y=90 B. 2x+y=90 C. 2x+y=180 D. x=y 答案讲解 8. (易错题)如图,AB 为☉O 的直径, C为☉O 上一点,将AC ︵ 沿弦AC 翻 折,交AB 于点D,连接CD.若点D 与圆心O 不重合,∠BAC=23°,则∠DCA 的 度数为 . (第8题) 9. 如图,四边形ABCD 是菱形,☉O 经过点A、 C、D,与BC 相交于点E,连接AC、AE.若 ∠EAC=15°,则∠B 的度数为 . (第9题) 10. 如图,四边形ADBC 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,AC ︵ =CD ︵,CE⊥DB 交DB 的延长 线于点E. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 43 (1) 求证:BC 平分∠ABE. (2) 若CH⊥AB 于点H,求证:AH=DE. (第10题) 11. 如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形, 延长CD 到点F,DA 平分∠BDF. (1) 求证:AB=AC. (2) 若AB=132 ,BC=5,求☉O 的半径. (第11题) 答案讲解 12. 如图①,在△ABC 中,AB=AC,以 边AB 为直径的☉O 交BC 于点 D,交AC 于点E,连接DE. (1) 求证:DE=DC. (2) 如图②,连接OE,将∠EDC 绕点D 按 逆时针方向旋转,使∠EDC 的两边分别交 OE、AC 的延长线于点F、G.试探究线段 DF、DG 之间的数量关系. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆