2.4.2 圆周角与直径的关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

40 第2课时 圆周角与直径的关系 ▶ “答案与解析”见P22 1. (2023·山西)如图,四边形ABCD 内接于 ☉O,AC、BD 为对角线,BD 经过圆心O.若 ∠BAC=40°,则∠DBC 的度数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° (第1题) (第2题) 2. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D、E 在☉O 上,连接BC、CD、AE、DE.若∠AED=20°, 则∠BCD 的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 115° D. 120° 3. 如图,在☉O 中,AB 是直径,∠C=15°,则 ∠BAD= °. (第3题) (第4题) 4. 如图,点A、B、C 在☉O 上,BC∥OA,连接 BO 并延长,交☉O 于点D,连接AC、DC.若 ∠A=28°,则∠D 的度数为 °. 5. 如图,在△ABC 中,CA=CB,以BC 为直径 的半圆O 与AB 交于点D,与AC 交于点E, 连接DE.求证: (1) D 为AB 的中点. (2) AD=DE. (第5题) 6. 如图,AB 是☉O 的直径,C、D 是AB ︵ 上的两 点,连接AC、BD 相交于点E.若∠BEC= 58°,则∠DOC 的度数为 ( ) (第6题) A. 33° B. 66° C. 64° D. 57° 7. 如图,AB 是☉O 的直径,AC ︵ =BC ︵,弦CD、 AB 的延长线交于点E,AD、BC 交于点F. 若CD=DE,则∠AFC 的度数为 ( ) (第7题) A. 52.5° B. 60° C. 67.5° D. 75° 8. 如 图,AB 是☉O 的 直 径.若∠E=25°, ∠CAD=45°,则∠CDA 的度数为 . (第8题) 9. 如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,AB= AC,点D 在AC ︵ 上,依次连接AD、BD、CD. 若CD=2,AD=5,BD=8,则AC 的长为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 41 答案讲解 10. 如图,AB 是☉O 的直径,C 是AB ︵ 的中点,点D 在BC ︵ 上,BD、AC 的延长线交于点K,连接AD,交 BC 于点E,连接CD. (1) 求证:∠AKB-∠BCD=45°. (2) 若CD=2BD,求证:BC=2CK. (第10题) 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直 径的☉O 交BC 于点D,交CA 的延长线于 点E,连接AD、DE. (1) 求证:D 是BC 的中点. (2) 若ED=3,AD=1,求☉O 的半径. (第11题) 答案讲解 12. 如图①,☉M 交x轴于B、C 两点, 交y 轴的正半轴于点A,点 M 的 纵坐标为2,点B、C 的坐标分别为 (-33,0)、(3,0). (1) 求☉M 的半径. (2) 如图②,若CE⊥AB 于点H,交y轴于 点F,求证:EH=FH. (3) 在(2)的条件下,求AF 的长. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ ∠ACM = ∠ABM = 60°, ∠MAC=∠MBC=60°. ∴ ∠AMC=60°. ∴ △AMC 是等边三角形,∠AOC= 2∠AMC=120°. ∵ AO=CO, ∴ ∠OAC=∠OCA=30°. ∵ OH⊥AC,AC=23, ∴ AH=CH=12AC=3. ∵ 在Rt△AOH 中,∠OAH=30°, ∴ 易得OA=2OH. ∴ 易得OH=1,OA=2. ∴ ☉O 的半径为2. (2) AB+BC=BM. 如图,在 BM 上截取BE=BC,连 接CE. ∵ ∠MBC=60°, ∴ △EBC是等边三角形. ∴ BC=EC,∠BCE=60°. ∴ ∠BCA+∠DCE=60°. ∵ ∠ACM=60°, ∴ ∠ECM+∠DCE=60°. ∴ ∠BCA=∠ECM. ∵ △AMC是等边三角形, ∴ AC=MC. 在△ACB 和△MCE 中, BC=EC, ∠BCA=∠ECM, AC=MC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△MCE. ∴ AB=ME. ∵ ME+BE=BM, ∴ AB+BC=BM. (第14题) 证明两条线段之和等于第三条 线段的一般方法 解决这类问题时,往往采用两 种思路:① 在第三条线段上截取一 条线段等于两条线段中的一条线 段,再构造图形中的两个三角形全 等,证得第三条线段中剩下的线段 等于另一条线段;② 在两条线段中 的一条线段的延长线上,截取一条 线段等于另一条线段,再构造图形 中的两个三角形全等,证得这两条 线段之和等于第三条线段. 第2课时 圆周角与直径的关系 1. B 2. B 3. 75 4. 34 5. (1) 连接CD. ∵ BC为直径, ∴ ∠BDC=90°. ∴ CD⊥AB. ∵ CA=CB, ∴ AD=BD,即D 为AB 的中点. (2) 连接BE. ∵ BC为直径, ∴ ∠BEC=90°,即∠BEA=90°. ∵ AD=BD, ∴ DE=AD=12AB ,即AD=DE. 6. C [解析] 如图,连接BC.∵ AB 是☉O 的 直 径,∴ ∠ACB =90°. ∵ ∠BEC=58°,∴ ∠1=90°- ∠BEC=90°-58°=32°.∴ ∠DOC= 2∠1=2×32°=64°. (第6题) 7. B [解析] 如图,连接OC、OD. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°.∵ AC︵=BC︵,OA=OB,∴ OC⊥ AB.∴ ∠BOC=90°.∵ CD=DE, ∴ OD=12CE=CD.∴ OD=CD= OC.∴ △OCD 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠COD = 60°.∴ ∠CAD = 1 2∠COD=30°.∴ ∠AFC=90°- 30°=60°. (第7题) 8. 35° [解析] 如 图,连 接 BC. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°.∴ ∠CAB + ∠ABC =90°. ∵ ∠CAB = ∠CAD + ∠BAD, ∠ABC=∠BCD+∠E,∠BAD= ∠BCD,∴ ∠CAB + ∠ABC = ∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E= 45°+ 2 ∠BAD + 25°= 70°+ 2∠BAD=90°,解得∠BAD=10°. ∴ ∠CDA=∠BAD+∠E=10°+ 25°=35°. (第8题) 9. 41 [解析] 如图,延长CD 到 点E,使CE=BD,连接AE.∵ ∠1= ∠2,AB=AC,∴ △ABD≌△ACE. ∴ AD=AE =5,BD =CE =8. ∴ DE=CE-CD=6.过 点 A 作 AH⊥DE 于点 H.∴ DH=EH= 1 2DE=3.∴ AH= AD2-DH2= 4.∴ AC = AH2+CH2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 42+(2+3)2= 41. (第9题) 10. (1) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵ C是AB︵ 的中点, ∴ AC=BC. ∴ △ABC是等腰直角三角形. ∴ ∠CAB=∠CBA=45°. ∵ CD︵=CD︵,BD︵=BD︵, ∴ ∠DAC = ∠CBK,∠DAB = ∠BCD. 设∠DAC=∠CBK=α,则∠DAB= ∠BCD=45°-α,∠AKB=90°-α. ∴ ∠AKB-∠BCD=(90°-α)- (45°-α)=45°. (2) 如图,过点C 作CH ⊥AD 于 点H. ∴ ∠CHD=90°=∠ADB. ∵ ∠CDH=∠CBA=45°, ∴ 易得△CHD 是等腰直角三角形. ∴ 易得CD=2CH. ∵ CD=2BD, ∴ CH=BD. 在△ECH 和△EBD 中, ∠CEH=∠BED, ∠CHE=∠BDE, CH=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECH≌△EBD. ∴ CE=BE. ∴ CE=12BC. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACE=90°. ∴ ∠BCK=90°. ∴ ∠ACE=∠BCK. 在△ACE 和△BCK 中, ∠CAE=∠CBK, AC=BC, ∠ACE=∠BCK, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△BCK. ∴ CE=CK. ∴ CK=CE=12BC. ∴ BC=2CK. (第10题) 11. (1) ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB=90°,即AD⊥BC. ∵ AB=AC, ∴ BD=CD,即D 是BC的中点. (2) ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. 又∵ ∠B=∠E, ∴ ∠E=∠C. ∴ ED=CD. ∵ CD=BD,ED=3, ∴ BD=ED=3. ∵ 在Rt△ADB 中,AD=1,由勾股 定理,得AB2=AD2+BD2, ∴ AB= 12+32= 10. ∴ ☉O 的半径为 102 . 12. (1) 如图①,过点M 作MT⊥BC 于点T,连接BM. ∵ BC 是☉M 的一条弦,MT⊥BC, BC=33+3=43, ∴ BT=TC=12BC=23. ∴ BM= BT2+MT2= 12+4= 4,即☉M 的半径为4. (2) 如图②,连接 AE,则∠AEC= ∠ABC. ∵ CE⊥AB, ∴ ∠AHE=∠AHF=90°. ∴ ∠HBC+∠BCH=90°. 在 △COF 中,∵ 易 得 ∠OFC + ∠OCF=90°, ∴ ∠AEH = ∠HBC = ∠OFC = ∠AFH. 在△AEH 和△AFH 中, ∠AEH=∠AFH, ∠AHE=∠AHF, AH=AH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEH≌△AFH. ∴ EH=FH. (3) 如图③,作直径BG,连接 AC、 CG、CM,过点 M 作MT⊥BC 于点 T,由(1),易知∠BMT=∠BAC= 60°,则∠BGC=∠BAC=60°. ∵ MC=MG, ∴ △MCG 是等边三角形. ∴ CG=CM=4. 连接AG,∵ ∠BCG=90°, ∴ CG⊥x轴. ∴ CG∥AF. ∵ ∠BAG=90°, ∴ AG⊥AB. ∵ CE⊥AB, ∴ AG∥CE. ∴ 四边形AFCG 为平行四边形. ∴ AF=CG=4. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32