2.4.1 圆周角的概念与性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

38 2.4　圆 周 角 第1课时 圆周角的概念与性质 ▶ “答案与解析”见P20 1. 如图,△ABC 的顶点A、B、C 均在☉O 上.若 ∠B+∠AOC=90°,则∠ACO的度数为( ) A. 90° B. 45° C. 60° D. 70° (第1题) (第2题) 2. (易错题)(2023·杭州)如图,在☉O 中,半径 OA、OB互相垂直,点C在AB ︵ 上.若∠ABC= 19°,则∠BAC 的度数为 ( ) A. 23° B. 24° C. 25° D. 26° 3. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 在☉O 上, CD∥AB,∠ADC=25°,则∠DCO 的度数为 °. (第3题) (第4题) 4. 如图,在☉O 中,∠ABC=20°,∠DCA=30°, 则∠DOC 的度数为 . 5. 如图,点A、B、C、D 都在☉O 上,OC⊥AB, ∠ADC=30°,连接BC、OB、OA、AC. (1) 求∠BOC 的度数. (2) 求证:四边形AOBC 是菱形. (第5题) 6. 如图,点A、B、C、D 在☉O 上,弦AB、CD 的 延长线交于☉O 外一点E,∠BCD=25°, ∠E=39°,连接AD 交BC 于点P,则∠APC 的度数为 ( ) A. 64° B. 89° C. 90° D. 94° (第6题) (第7题) 7. 如图,B、C是☉A上的两点,AB的垂直平分线 与☉A 交于E、F两点,与线段AC交于点D. 若∠BFC=18°,则∠DBC 的度数为 ( ) A. 30° B. 32° C. 36° D. 40° 8. 如图,点A、B、C依次在☉O 上,∠B-∠A= 30°,则∠O 的度数为 °. (第8题) (第9题) 9. 如图,六边形ABCDEF 内接于☉O,其中 ∠CAE =60°,则 ∠B + ∠F 的 度 数 是 °. 答案讲解 10. 如图,☉O 的半径为1,弦AB、CD 的长度分别为 2、1,则弦AC、BD 所夹的锐角α= . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 39 11. 如图,在☉O中,弦AD 与弦BC垂直,垂足为 G,E为AB 的中点,延长EG 交CD 于点F. 求证:EF⊥CD. (第11题) 12. 如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,∠B= ∠D,AD 不平行于BC,过点C 作CE∥ AD,交△ABC 的外接圆☉O 于点E,连 接AE. (1) 求证:四边形AECD 为平行四边形. (2) 连接CO,求证:CO 平分∠BCE. (第12题) 13. (学科内综合)如图,在平面直角坐标系中, ☉P 经过点A(m,-3)和点B(-1,n),且 圆心在x轴上,C 是第一象限圆上的任意一 点,且 ∠ACB=45°,则 点 P 的 坐 标 是 . (第13题) 答案讲解 14. ★如图,在☉O 中,B 是☉O 上一点, ∠ABC=120°,弦 AC=2 3,弦 BM 平分∠ABC 交AC 于点D,连 接AM、MC. (1) 求☉O 的半径. (2) 试探究线段AB、BC、BM 之间的等量 关系,并给予证明. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 k+b=2, 3k+b=-3, 解得 k=-52 , b=92. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直 线AB 对应的函数表达式为y= -52x+ 9 2.∵ A(1,2)、B(3,-3)、 C(x,y)三点可以确定一个圆,∴ 点 C不在直线AB 上.∴ y≠- 5 2x+ 9 2 ,即5x+2y≠9. 10. (1) ∵ D 是△ABC 的边BC 的中点, ∴ BD=CD. ∵ BC∥EF,AD⊥EF, ∴ AD⊥BC. ∴ AB=AC. (2) 连接BO. ∵ D 是△ABC的边BC的中点, ∴ BD=CD. ∵ AD⊥BC, ∴ BO=CO. ∵ AO=CO, ∴ AO=BO=CO. ∴ 点O 是△ABC的外接圆的圆心. 11. 设点O 为等腰三角形ABC 外接 圆的圆心,连接AO 并延长,交BC 于 点D,连接OB、OC. ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ 点A、O 都在线段BC 的垂直平分 线上. ∴ AD⊥BC,BD=CD=12BC= 5cm. 设等腰三角形ABC 外接圆的半径为 Rcm,则OA=OB=OC=Rcm. 在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD= AB2-BD2=12cm. ∴ OD=AD-OA=(12-R)cm. 在 Rt△OBD 中,由 勾 股 定 理,得 OB2=OD2+BD2,即 R2=(12- R)2+52,解得R=16924. ∴ 等腰三角形ABC外接圆的半径为 169 24cm. 求三角形外接圆半径的 一般方法 直角三角形外接圆的圆心为 斜边的中点,其外接圆的半径为斜 边的一半.对于求解等腰三角形的 外接圆的半径问题,往往先确定其 外接圆圆心的位置,其外接圆圆心 必在底边的垂直平分线上,再根据 外接圆圆心到各顶点的距离相等, 构造以等腰三角形底边的一半和 圆的半径为边的直角三角形,运用 勾股定理解决问题. 12. D [解析] ∵ ∠BAC=90°, AD⊥BC,∴ R=12BC ,R1= 1 2AB , R2= 1 2AC.∵ BC2=AB2+AC2, ∴ R2=R21+R22. 13. (1) ∵ ∠ABP=∠APD=90°, ∴ ∠APB+∠PAB=90°,∠APB+ ∠DPC=90°. ∴ ∠PAB=∠DPC. 在△ABP 和△PCD 中, ∠PAB=∠DPC, ∠ABP=∠PCD=90°, BP=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP≌△PCD. ∴ AP=PD. ∴ 点P 是△APD 的“准外心”. (2) ∵ ∠BAC=90°,BC=5,AB=3, ∴ AC= 52-32=4. 当点P 在AB 上时, ∵ 点P 是△ABC的“准外心”, ∴ PA=PB. ∴ AP=12AB= 3 2. 当点P 在AC上时, ∵ 点P 是△ABC的“准外心”, ∴ 若PA=PC,则AP=12AC=2. 若PC=PB,如 图,设 AP=t,则 PC=PB=4-t. 在 Rt△ABP 中,由 勾 股 定 理,得 AB2+AP2=PB2,即32+t2=(4- t)2,解得t=78. ∴ AP=78. 综上所述,AP 的长为32 或2或78. (第13题) 2.4　圆 周 角 第1课时 圆周角的概念与性质 1. C 2. D [解析] 连接OC.∵ ∠ABC= 19°,∴ ∠AOC=2∠ABC=38°.∵ 半 径OA、OB 互相垂直,∴ ∠AOB= 90°.∴ ∠BOC=90°-38°=52°. ∴ ∠BAC=12∠BOC=26°. 3. 50 4. 100° [解析] ∵ ∠DCA=30°, ∴ ∠DBA = ∠DCA = 30°. ∵ ∠ABC = 20°,∴ ∠DBC = ∠DBA+∠ABC=50°.∴ ∠DOC= 2∠DBC=100°. 5. (1) ∵ 点A、B、C、D 都在☉O 上, OC⊥AB, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 ∴ AC︵=BC︵. ∴ ∠AOC=∠BOC. ∵ ∠ADC=30°, ∴ ∠AOC=2∠ADC=60°. ∴ ∠BOC=60°. (2) 由(1),知∠AOC=∠BOC=60°. ∵ OB=OC=OA, ∴ △BOC 和 △AOC 都 是 等 边 三 角形. ∴ BC=OB=OC=OA=AC. ∴ 四边形AOBC是菱形. 6. B [解析] ∵ ∠BCD =25°, ∠E=39°,∴ ∠ABC= ∠BCD + ∠E =64°.由 圆 周 角 定 理,得 ∠BAD=∠BCD=25°.∴ ∠APC= ∠BAD+∠ABC=89°. 7. C [解析] ∵ ∠BFC=18°, ∴ ∠BAC=2∠BFC=36°.∵ AB= AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 12 × (180°-36°)=72°.又∵ EF 是线段 AB 的垂直平分线,∴ AD=BD. ∴ ∠BAC = ∠ABD = 36°. ∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 72°-36°=36°. 8. 60 [解析] 设AC 与OB 相交于 点D.∵ ∠O+∠A+∠ADO=180°, ∠B + ∠C + ∠BDC = 180°, ∠ADO=∠BDC,∴ ∠O+∠A= ∠B+∠C.∴ ∠O-∠C=∠B- ∠A = 30°.∵ ∠C = 12 ∠O , ∴ ∠O-12∠O=30°.∴ ∠O=60°. 9. 240 [解析] 如图,连接OC、OE. ∵ ∠CAE = 60°,∴ ∠COE = 2∠CAE=2×60°=120°.∴ ∠B+ ∠F 的度数= 12 (AEC︵ 的度数+ ABE︵ 的 度 数)= 12 (周 角 + ∠COE)=12× (360°+120°)=240°. (第9题) 10. 75° [解析] 如图,连接OA、OB、 OC、OD.∵ OA=OB=OC=OD=1, AB= 2,CD=1,∴ OA2+OB2= AB2,OC=OD=CD.∴ △AOB 是等 腰直角三角形,△COD 是等边三角 形.∴ ∠OAB = ∠OBA = 45°, ∠ODC=∠OCD=60°.∵ ∠CDB= ∠CAB,∠ODB= ∠OBD,∴ α= 180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD= 180° - ∠OBA - (∠CDB + ∠ODB)=180°-45°-60°=75°. (第10题) 11. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠AGB=∠DGC=90°. ∴ ∠A+∠B=90°. ∵ AC︵=AC︵, ∴ ∠B=∠D. ∴ ∠A+∠D=90°. ∵ E 为AB 的中点, ∴ EA=EG. ∴ ∠A=∠AGE. 又∵ ∠AGE=∠DGF, ∴ ∠A=∠DGF. ∴ ∠DGF+∠D=90°. ∴ ∠DFG=90°. ∴ EF⊥CD. 12. (1) ∵ AC︵=AC︵, ∴ ∠B=∠E. ∵ ∠B=∠D, ∴ ∠E=∠D. ∵ CE∥AD, ∴ ∠D+∠ECD=180°. ∴ ∠E+∠ECD=180°. ∴ AE∥CD. ∴ 四边形AECD 为平行四边形. (2) 如图,连接OE、OB. ∵ 四边形AECD 为平行四边形, ∴ AD=EC. ∵ AD=BC, ∴ EC=BC. 又∵ OC=OC,OE=OB, ∴ △COE≌△COB. ∴ ∠OCE = ∠OCB,即 CO 平 分 ∠BCE. (第12题) 13. (2,0) [解析] 连接PB、PA,过 点B 作BE⊥x 轴于点E,过点A 作 AF⊥x轴于点F.由点A、B 的坐标, 可得OE=1,AF=3.∵ ∠ACB= 45°,∴ ∠APB=90°.∴ ∠BPE+ ∠FPA=90°.∵ ∠BPE+∠EBP= 90°,∴ ∠EBP=∠FPA.∵ ∠BEP= ∠PFA=90°,BP=PA,∴ △BPE≌ △PAF.∴ PE=AF=3.设P(a,0), ∴ a+1=3.∴ a=2.∴ P(2,0). 14. (1) 如图,连接OA、OC,过点O 作OH⊥AC于点H. ∵ ∠ABC=120°,BM 平分∠ABC, ∴ ∠MBA=∠MBC=12∠ABC= 60°. ∵ AM︵=AM︵,CM︵=CM︵, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∴ ∠ACM = ∠ABM = 60°, ∠MAC=∠MBC=60°. ∴ ∠AMC=60°. ∴ △AMC 是等边三角形,∠AOC= 2∠AMC=120°. ∵ AO=CO, ∴ ∠OAC=∠OCA=30°. ∵ OH⊥AC,AC=23, ∴ AH=CH=12AC=3. ∵ 在Rt△AOH 中,∠OAH=30°, ∴ 易得OA=2OH. ∴ 易得OH=1,OA=2. ∴ ☉O 的半径为2. (2) AB+BC=BM. 如图,在 BM 上截取BE=BC,连 接CE. ∵ ∠MBC=60°, ∴ △EBC是等边三角形. ∴ BC=EC,∠BCE=60°. ∴ ∠BCA+∠DCE=60°. ∵ ∠ACM=60°, ∴ ∠ECM+∠DCE=60°. ∴ ∠BCA=∠ECM. ∵ △AMC是等边三角形, ∴ AC=MC. 在△ACB 和△MCE 中, BC=EC, ∠BCA=∠ECM, AC=MC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△MCE. ∴ AB=ME. ∵ ME+BE=BM, ∴ AB+BC=BM. (第14题) 证明两条线段之和等于第三条 线段的一般方法 解决这类问题时,往往采用两 种思路:① 在第三条线段上截取一 条线段等于两条线段中的一条线 段,再构造图形中的两个三角形全 等,证得第三条线段中剩下的线段 等于另一条线段;② 在两条线段中 的一条线段的延长线上,截取一条 线段等于另一条线段,再构造图形 中的两个三角形全等,证得这两条 线段之和等于第三条线段. 第2课时 圆周角与直径的关系 1. B 2. B 3. 75 4. 34 5. (1) 连接CD. ∵ BC为直径, ∴ ∠BDC=90°. ∴ CD⊥AB. ∵ CA=CB, ∴ AD=BD,即D 为AB 的中点. (2) 连接BE. ∵ BC为直径, ∴ ∠BEC=90°,即∠BEA=90°. ∵ AD=BD, ∴ DE=AD=12AB ,即AD=DE. 6. C [解析] 如图,连接BC.∵ AB 是☉O 的 直 径,∴ ∠ACB =90°. ∵ ∠BEC=58°,∴ ∠1=90°- ∠BEC=90°-58°=32°.∴ ∠DOC= 2∠1=2×32°=64°. (第6题) 7. B [解析] 如图,连接OC、OD. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°.∵ AC︵=BC︵,OA=OB,∴ OC⊥ AB.∴ ∠BOC=90°.∵ CD=DE, ∴ OD=12CE=CD.∴ OD=CD= OC.∴ △OCD 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠COD = 60°.∴ ∠CAD = 1 2∠COD=30°.∴ ∠AFC=90°- 30°=60°. (第7题) 8. 35° [解析] 如 图,连 接 BC. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°.∴ ∠CAB + ∠ABC =90°. ∵ ∠CAB = ∠CAD + ∠BAD, ∠ABC=∠BCD+∠E,∠BAD= ∠BCD,∴ ∠CAB + ∠ABC = ∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E= 45°+ 2 ∠BAD + 25°= 70°+ 2∠BAD=90°,解得∠BAD=10°. ∴ ∠CDA=∠BAD+∠E=10°+ 25°=35°. (第8题) 9. 41 [解析] 如图,延长CD 到 点E,使CE=BD,连接AE.∵ ∠1= ∠2,AB=AC,∴ △ABD≌△ACE. ∴ AD=AE =5,BD =CE =8. ∴ DE=CE-CD=6.过 点 A 作 AH⊥DE 于点 H.∴ DH=EH= 1 2DE=3.∴ AH= AD2-DH2= 4.∴ AC = AH2+CH2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22