专题特训(一)全等三角形中常见的几何题型-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

18 　 专题特训（一）　全等三角形中常见的几何题型 ▶ “答案与解析”见P9 类型一 一线三等角型问题 1. 如图,C 是线段AB 上一点,∠DCE=∠A= ∠B,CD=CE.试猜想AB、AD、BE 之间的 数量关系,并证明. (第1题) 2. (1) 如图①,点C 在直线MN 上,∠ACB= 90°,AC=BC,BE⊥MN,AD⊥MN,垂足分 别为E、D,连接AB.图中哪条线段与AD 相 等? 请说明理由. (2) 在(1)的条件下,直接写出线段DE、AD、 BE 之间的数量关系. (3) 在(1)的条件下,当直线MN 绕点C 旋转 到图②中的位置时,DE、AD、BE 具有怎样 的数量关系? 请说明理由. (第2题) 类型二 平移型问题 3. 如图,C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE. (1) 求证:△ACD≌△CBE. (2) 若∠A=87°,∠D=32°,求∠B 的度数. (第3题) 4. 如图①,AB⊥BD,DE⊥BD,C 是BD 上一 点,连接AC、CE,BC=DE,CD=AB. (1) 试判断AC 与CE 的位置关系,并说明 理由. (2) 如图②,若把△CDE 沿直线DB 向左平 移,使△CDE的较小的锐角顶点与点B重合, 此时AC 与BE 互相垂直吗? 请说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 19 类型三 翻折型问题 5. 如图,DA=BA,DC=BC,E 是直线AC 上 一动点,连接DE、BE,则DE 与BE 有怎样 的数量关系? 请说明理由. (第5题) 6. 如图,AC=BD,AD=BC,AD、BC 相交于 点O,过点O 作OE⊥AB,垂足为E.求证: (1) △ABC≌△BAD. (2) AE=BE. (第6题) 类型四 旋转型问题 答案讲解 7. (1) 如图①,C 为线段AB 上一点, 分别以线段AC、BC 为直角边作两 个 等 腰 直 角 三 角 形,∠ACD = ∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE、 BD,线 段 AE、BD 之 间 的 数 量 关 系 为 ,位置关系为 . (2) 在(1)的条件下,如图②,把Rt△ACD 绕 点C 按逆时针方向旋转,线段AE、BD 交于 点F,则AE 与BD 之间的关系是否仍然成 立? 请说明理由. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形 ∴ BF=DE. 同(1),可证△BFG≌△DEG, ∴ FG=EG. 解决开放型问题的一般方法 开放型问题可以分为条件开 放型问题和结论开放型问题.解决 条件开放型问题的一般方法是从 结论入手,根据两个三角形全等的 结论,结合已经具备的条件和全等 三角形 的 判 定 方 法 判 断 还 可 以 添加哪些条件;解决结论开放型 问题的一般方法是直接从条件出 发,拓 展 思 维,往 往 得 到 的 结 论 是不唯一的. 12. C [解 析] 若 △ABC 和 △A1B1C1 如图①②所示,则易得 Rt△ACD≌Rt△A1C1D1,∴ ∠ACB= ∠A1C1B1.若△ABC 和△A1B1C1 如 图①③所 示,则 易 得 Rt△ACD≌ Rt△A1C1D1,∴ ∠ACD=∠A1C1D1. ∴ ∠ACB + ∠A1C1B1 = ∠A1C1D1+∠A1C1B1=180°.综上 所述,∠ACB 和∠A1C1B1 的关系是 相等或互补. (第12题) 13. (1) 如图①,连接AD. ∵ AB⊥BD,AC⊥CD, ∴ ∠B=∠C=90°. 在Rt△ACD 和Rt△DBA 中, CD=BA, AD=DA, ∴ Rt△ACD≌Rt△DBA. ∴ AC=DB. 在△ACE 和△DBE 中, ∠AEC=∠DEB, ∠C=∠B, AC=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△DBE. ∴ CE=BE. (2) 如图②,连接AD,延长AC、DB 交于点F. 由题意,得∠ACE=∠DBE=90°, ∠AEC=∠BED, ∴ 易得∠CAE=∠BDE=22.5°. ∵ AB=BD, ∴ 易得∠ADB=45°. ∴ ∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°. ∴ ∠ADC=∠FDC. 在△ACD 和△FCD 中, ∠ACD=∠FCD=90°, CD=CD, ∠ADC=∠FDC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△FCD. ∴ AC=FC. ∴ AF=2AC. 在△ABF 和△DBE 中, ∠ABF=∠DBE=90°, AB=DB, ∠BAF=∠BDE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△DBE. ∴ AF=DE. ∵ AF=2AC, ∴ DE=2AC. (第13题) 专题特训（一）　全等三角形 中常见的几何题型 1. AB=AD+BE. ∵ ∠DCE=∠A, ∴ ∠D + ∠ACD = ∠ACD + ∠BCE. ∴ ∠D=∠BCE. 在△ACD 和△BEC中, ∠A=∠B, ∠D=∠BCE, CD=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△BEC. ∴ AD=BC,AC=BE. ∴ BC+AC=AD+BE,即 AB= AD+BE. 2. (1) AD=CE. 理由:∵ AD⊥MN,BE⊥MN, ∴ ∠ADC=∠BEC=90°. ∴ ∠DAC+∠ACD=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ACD+∠BCE=90°. ∴ ∠DAC=∠BCE. 又∵ ∠ADC=∠BEC,AC=BC, ∴ △ADC≌△CEB. ∴ AD=CE. (2) DE+BE=AD. (3) DE=AD+BE. 理由:∵ BE⊥MN,AD⊥MN, ∴ ∠BEC=∠ADC=90°. ∴ ∠EBC+∠ECB=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ECB+∠ACD=90°. ∴ ∠ACD=∠EBC. 又∵ ∠ADC=∠BEC,AC=BC, ∴ △ADC≌△CEB. ∴ AD=CE,CD=BE. ∵ DE=CD+CE, ∴ DE=AD+BE. 3. (1) ∵ C是AB 的中点, ∴ AC=CB. ∵ CD∥BE, ∴ ∠ACD=∠B. 在△ACD 和△CBE 中, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 AC=CB, ∠ACD=∠B, CD=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△CBE. (2) 由(1),知∠ACD=∠B. ∵ ∠A=87°,∠D=32°, ∴ ∠ACD=180°-∠A-∠D = 180°-87°-32°=61°. ∴ ∠B=61°. 4. (1) AC⊥CE. 理由:∵ AB⊥BD,DE⊥BD, ∴ ∠B=∠D=90°. 在△ABC和△CDE 中, AB=CD, ∠B=∠D, BC=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△CDE. ∴ ∠A=∠DCE. ∵ ∠A+∠ACB=90°, ∴ ∠DCE+∠ACB=90°. ∵ ∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°, ∴ ∠ACE=90°. ∴ AC⊥CE. (2) AC⊥BE. 理由:记题图②中AC 与BE 的交点 为F. 由(1),知△ABC≌△BDE, ∴ ∠A=∠EBD. ∵ ∠A+∠ACB=90°, ∴ ∠EBD+∠ACB=90°. ∴ ∠BFC=90°. ∴ AC⊥BE. 5. DE=BE. 理由:在△ADC和△ABC中, DA=BA, AC=AC, DC=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△ABC. ∴ ∠DAC=∠BAC. 在△ADE 和△ABE 中, DA=BA, ∠DAE=∠BAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△ABE. ∴ DE=BE. 6. (1) 在△ABC和△BAD 中, AC=BD, BC=AD, AB=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△BAD. (2) ∵ △ABC≌△BAD, ∴ ∠CBA=∠DAB. ∵ OE⊥AB, ∴ ∠AEO=∠BEO=90°. 在△AOE 和△BOE 中, ∠OAE=∠OBE, ∠AEO=∠BEO, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△BOE. ∴ AE=BE. 7. (1) AE=BD;AE⊥BD. [解析] 如图①,延长BD 交AE 于点 H.∵ CE=CB,∠ACE=∠BCD= 90°,CA=CD,∴ △ACE≌△DCB. ∴ AE = DB,∠EAC = ∠BDC. ∵ ∠CBD + ∠CDB = 90°, ∴ ∠CBD + ∠EAC = 90°. ∴ ∠AHB=90°.∴ AE⊥BD. (2) 成立. 理由:如图②,设CE 与BD 相交于 点G. ∵ ∠ACD=∠BCE=90°, ∴ 易得∠ACE=∠BCD. 又∵ CE=CB,AC=CD, ∴ △ACE≌△DCB. ∴ AE=DB,∠AEC=∠DBC. ∵ ∠DBC+∠CGB=90°,∠EGF= ∠CGB, ∴ ∠AEC+∠EGF=90°. ∴ ∠AFB=90°. ∴ AE⊥BD. 综上所述,AE=BD,AE⊥BD. (第7题) 专题特训（二）　添加 辅助线构造全等三角形 1. 连接BC. 在△ABC和△DCB 中, AB=DC, AC=DB, BC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠A=∠D. 2. 如图,连接AC. 在△ACE 和△ACF 中, AE=AF, CE=CF, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△ACF. ∴ ∠EAC=∠FAC. 在△ACB 和△ACD 中, ∠BAC=∠DAC, ∠B=∠D=90°, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△ACD. ∴ CB=CD. (第2题) 3. 如图,延长FD 至点G,使得GD= DF,连接BG、EG. ∵ AD 是△ABC的中线, ∴ CD=BD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01