2.2.2 圆的轴对称性-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

34 第2课时 圆的轴对称性 ▶ “答案与解析”见P17 1. (易错题)已知☉O 的半径是5cm,弦AB∥ CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB 与CD 的 距离是 ( ) A. 1cm B. 7cm C. 1cm或7cm D. 1cm或8cm 2. 如图,AB 是☉O 的直径,弦AC⊥OD 于点 D,DO 的延长线交☉O 于点E.若 AC= 42,DE=4,则BC 的长是 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 (第2题) (第3题) (第4题) 3. 如图,☉O 经过菱形ABCO 的顶点A、B、C. 若OP⊥AB 交☉O 于点P,则∠PAB 的度 数为 °. 4. 如图,以点P 为圆心的圆弧与x轴交于A、B 两点,点P 的坐标为(4,2),点A 的坐标为 (2,0),则点B 的坐标为 . 5. 如图,OA=OB,AB 交☉O 于点C、D,OE 是 半径,且OE⊥AB 于点F. (1) 求证:AC=BD. (2) 若CD=4,EF=1,求☉O 的半径. (第5题) 6. P 是☉O 内一点,过点P 的最长弦的长为 10cm,最短弦的长为6cm,则OP 的长为 ( ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7. 如图,在平面直角坐标系中,☉A 的直径在 x轴上,且直径的右端与原点O 重合,平行于 x轴的直线交☉A 于M、N 两点.若点M 的 坐标是(-4,-2),则点N 的坐标为 ( ) A. (1,-2) B. (-1,-2) C. (-1.5,-2) D. (1.5,-2) (第7题) (第8题) (第9题) 答案讲解 8. 如图,正方形ABCD 的顶点A、B 和 正方形EFGH 的顶点G、H 在一个 半径为5cm的☉O 上,点E、F 在 线段CD 上,正方形ABCD 的边长为6cm, 则正方形EFGH 的边长为 cm. 9. 如图,AB 为☉O 的直径,AE 为☉O 的弦,C 为ABE ︵ 的中点,CD⊥AB,垂足为 D.若 AE=8,DB=2,则☉O 的半径为 . 10. 如图,BC 为☉O 的弦,点A 在☉O 内,连接 OA、AB,OA=8,AB=12,∠A=∠B= 60°,求BC 的长. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 35 11. 如图,在☉O 中,AB、AC 为弦,CD 为直径, AB⊥CD 于点E,BF⊥AC 于点F,BF 与 CD 相交于点G,连接BD,∠C=∠DBE. (1) 求证:EG=ED. (2) 若AB=8,OG=1,求☉O 的半径. (第11题) 答案讲解 12. 如图,在平面直角坐标系中,以原点 O为圆心的圆过点A(5,0),直线y= kx-2k+3(k≠0)与☉O 交于B、C 两点,则弦BC 长的最小值为 . (第12题) 13. (新情境)如图所示为一条隧道的截面,顶部 是圆弧形拱顶,所在圆的圆心为点O,隧道 的水平宽度AB=24m,AB 离地面的高 AE=10m,拱顶最高点C 离地面的高CD 为18m.已知该截面为轴对称图形,且CD 所在的直线为其对称轴,若在拱顶的M、N 处安装照明灯,且 M、N 离地面的高度相 等,都为17m.求: (1) 圆弧形拱顶的半径. (2) MN 的长. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 7-1. (第9题) 10. 2 [解析] 作点B 关于MN 的 对称点E,连接AE 交MN 于点P,此 时AP+BP 的值最小,且等于AE 的 长.∵ A 是MN︵ 上的一个三等分点 (靠近点 M),∴ ∠AOM=60°.连接 OB、OE.∵ B 是 AM︵ 的 中 点, ∴ ∠BOM = 12∠AOM = 30°. ∴ ∠MOE = ∠BOM = 30°. ∴ ∠AOE=∠AOM+∠MOE=90°. 又∵ ☉O 的直径为2,∴ OA=OE= 1.∴ 易得AE=2,即AP+BP 的最 小值为2. 11. (1) 如图,连接AE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠EAF=∠AEB,∠GAF=∠B. ∵ AE=AB, ∴ ∠AEB=∠B. ∴ ∠EAF=∠GAF. ∴ EF︵=FG︵. (2) ∵ EG︵ 的度数为140°, ∴ ∠EAG=140°. ∵ AG=AE, ∴ ∠EGB= ∠AEG = 12 (180°- ∠EAG)=12× (180°-140°)=20°. (第11题) 解答求弧的度数问题的 一般方法 “圆心角的度数与它所对的弧 的度数相等”这一性质揭示了圆心 角的度数与它所对的弧的度数之 间的关系,所以要说明同圆中的两 条弧之间的数量关系,可以转化为 说明它们所对的圆心角之间的数 量关系,从而转化为构造等腰三角 形或直角三角形,根据“等边对等 角”或“直角边与斜边之间的数量 关系”确定角的关系或大小,从而 解决问题. 12. B [解析] 如图,连接AC、OB、 OD.∵ OA =OC,∠AOC=100°, ∴ ∠OAC=∠OCA=40°.∵ ∠E= 30°,∴ ∠EAC+∠ECA=180°- 30°=150°.∴ ∠OAB+∠OCD = 150°-40°-40°=70°.∴ ∠AOB+ ∠COD=180°×2-70°×2=220°. ∴ ∠BOD=360°-100°-220°=40°. (第12题) 13. 尝试:连接AC、BD. ∵ ∠AOB=120°,C、D 是AB︵ 的三等 分点, ∴ ∠AOC = 13 ∠AOB = 1 3 × 120°=40°. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA= 12 (180°- ∠AOB)=30°. ∵ ∠AOC=40°, ∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+ 40°=70°. ∵ OA=OC,∠AOC=40°, ∴ ∠ACE= ∠OAC= 12 (180°- ∠AOC)=70°. ∴ ∠ACE=∠AEC. ∴ AC=AE. 同理,可得BF=BD. ∵ C、D 是AB︵ 的三等分点, ∴ AC=CD=BD. ∴ AE=BF=CD. 猜想:连接AC、BD. ∵ 在☉O 中,∠AOB=n°,C、D 是 AB︵ 的三等分点, ∴ ∠AOC=13∠AOB= n 3 °. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA= 12 (180°- ∠AOB)= 180-n2 °. ∵ ∠AOC= n3 °, ∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 180-n 2 + n 3 °= 90-n6 °. ∵ OA=OC,∠AOC= n3 °, ∴ ∠ACE= ∠OAC= 12 (180°- ∠AOC ) = 12 180- n 3 ° = 90-n6 °. ∴ ∠ACE=∠AEC. ∴ AC=AE. 同理,可得BF=BD. ∵ C、D 是AB︵ 的三等分点, ∴ AC=CD=BD. ∴ AE=BF=CD. 第2课时 圆的轴对称性 1. C 2. C 3. 15 4. (6,0) [解析] 过点P 作PM⊥ AB 于点M,则易得点 M 的坐标为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 (4,0).又∵ 点A 的坐标为(2,0), ∴ OA=2,OM=4.∴ AM=OM- OA=2.∵ 易知A、B 两点关于PM 对称,∴ BM =AM =2.∴ OB= OM+BM=4+2=6.∴ 点B 的坐标 为(6,0). 5. (1) ∵ OE⊥AB, ∴ CF=DF. ∵ OA=OB,OF⊥AB, ∴ AF=BF. ∴ AF-CF=BF-DF. ∴ AC=BD. (2) 连接OC. ∵ OE⊥CD, ∴ CF=12CD=2 ,∠CFO=90°. 设☉O 的半径是r. 在Rt△OCF 中,CO2=CF2+OF2, ∴ r2=22+(r-1)2. ∴ r=52. ∴ ☉O 的半径是52. 6. B 7. B [解析] 如图,过点A 作AB⊥ MN,连接AN,则BM=BN.设☉A 的半 径 为r,则 AN =r,AB=2, BM=BN=4-r.在Rt△ABN 中, 根据勾股定理,得22+(4-r)2=r2, 可得r=2.5.∴ BN=4-2.5=1.5, 则点N 到y轴的距离为BC-BN= AO-BN=2.5-1.5=1.又∵ 点N 在第 三 象 限,∴ 点 N 的 坐 标 为 (-1,-2). (第7题) 8. 2.8 [解析] 如图,过点 O 作 OM⊥AB 于点M,ON⊥HG 于点N, 连接OA、OH.∵ 四边形ABCD 和四 边形EFGH 是正方形,点E、F 在线 段CD 上,∴ 易知点M、O、N 在同一 条直线上.∵ OM ⊥AB,∴ AM= 1 2AB = 3cm. ∴ OM = OA2-AM2 =4cm.设 正 方 形 EFGH 的边长为xcm,则ON=x+ (6-4)=(x+2)cm.∵ ON⊥HG, ∴ NH = 12HG= 1 2xcm.∴ 在 Rt△HNO 中,根据勾股定理,得(x+ 2)2+ 12x 2 =52,解得x1=2.8, x2=-6(不合题意,舍去).∴ 正方形 EFGH 的边长为2.8cm. (第8题) 9. 5 [解析] 如图,连接CO 并延长, 交AE 于点T.设☉O 的半径为r. ∵ C 为ABE︵ 的中点,∴ AC︵= CE︵. ∴ CT⊥AE.∴ AT=TE=12AE= 4,∠ATO =90°.∵ CD ⊥AB, ∴ ∠ATO = ∠CDO = 90°. 又 ∵ ∠AOT = ∠COD,AO =CO, ∴ △AOT≌△COD.∴ CD=AT= 4.在Rt△COD 中,OC2 =CD2 + OD2,∴ r2=42+(r-2)2.∴ r=5. ∴ ☉O 的半径为5. (第9题) 10. 延长AO 交BC 于点D,过点O 作OE⊥BC于点E. ∵ ∠A=∠B=60°, ∴ △ABD 为等边三角形. ∴ ∠ADB=60°,BD=AD=AB=12. ∵ OA=8, ∴ OD=AD-OA=4. ∵ OE⊥BC, ∴ ∠OED=90°. ∴ ∠DOE=30°. ∴ 易得DE=12OD=2. ∴ BE=BD-DE=10. ∵ OE⊥BC, ∴ BE=CE=10. ∴ BC=BE+CE=20. 11. (1) ∵ AB⊥CD,BF⊥AC, ∴ ∠CFG=∠GEB=90°. ∵ ∠CGF=∠BGE, ∴ 易得∠C=∠GBE. ∵ ∠C=∠DBE, ∴ ∠GBE=∠DBE. ∵ AB⊥CD, ∴ ∠GEB=∠DEB=90°. 在△BGE 和△BDE 中, ∠GEB=∠DEB, BE=BE, ∠GBE=∠DBE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGE≌△BDE. ∴ EG=ED. (2) 如图,连接OA. 设OA=r,则DG=r+1. 由(1),可知EG=ED. ∴ EG=r+12 . ∵ OG=1, ∴ OE=EG-OG=r-12 . ∵ AB⊥CD 于点E,AB=8, ∴ AE=BE=4. 在 Rt△OAE 中,由 勾 股 定 理,得 OE2+AE2=OA2,即 r-12 2 +42= r2,解得r1= 13 3 ,r2=-5(不合题意, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 舍去). ∴ OA=133 ,即☉O 的半径为133. (第11题) 12. 43 [解析] 对于直线y=kx- 2k+3=k(x-2)+3(k≠0),当x=2 时,y=3.∴ 直线y=kx-2k+3(k≠ 0)恒经过点(2,3),记为点D.如图,连 接OD、OB,过点D 作DH⊥x 轴于 点H,则OH=2,DH=3.∴ OD= OH2+DH2= 13.∵ 点A 的坐 标为(5,0),∴ OA=5.∴ OB=OA= 5.∵ 过☉O 内定点D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短,即当 BC⊥OD 时,弦BC 的长有最小值,∴ 易得弦 BC 长 的 最 小 值 = 2BD = 2 OB2-OD2=43. (第12题) 13. (1) 如图,连接OA,设CD 与AB 交于点G,与MN 交于点H. ∵ CD=18m,AE=10m,AB= 24m,易得HD=17m, ∴ 由题意,可知CG=CD-DG= 18-10=8(m),AG=12AB= 1 2× 24=12(m),CH=CD-DH=18- 17=1(m). 设圆弧形拱顶的半径为rm. 在Rt△AOG 中,OA2=OG2+AG2, ∴ r2=(r-8)2+122,解得r=13. ∴ 圆弧形拱顶的半径为13m. (2) 如图,连接OM. 由(1),知CH=1m. ∵ OC=13m, ∴ OH=13-1=12(m). 设MH=am. 在 Rt△MOH 中,OM2 =OH2 + MH2, ∴ 132=122+a2. ∴ a=5. ∴ MH=5m. ∴ 由题意,可得MN=2MH=10m. (第13题) 2.3　确定圆的条件 1. D 2. B 3. 5 4. (1,-2) 5. (1) 如图所示. (2) 如图,过点O 作OE⊥AB 于点 D,交AB︵ 于点E,连接OB. ∵ OE⊥AB, ∴ BD=12AB= 1 2×16=8 (cm). 由题意,可知ED=4cm. 设这个圆形截面的半径为xcm,则 OB=xcm,OD=(x-4)cm. 在Rt△BOD 中,由 勾 股 定 理,得 OD2+BD2=OB2 ,即(x-4)2+82= x2,解得x=10. ∴ 这个圆形截面的半径为10cm. (第5题) 6. D [解析] 由题图,可知△ABC 是锐角三角形,∴ △ABC 的外心只 能在其内部,由此排除选项A和选项 B.由勾股定理,得BP=CP= 2≠ PA,∴ 排除选项C. 7. D [解析] 如图,连接OB、OD、 OA.∵ 点O 为锐角三角形ABC的外 心,∴ OA=OC=OB.∵ 四边形 OCDE 为正方形,∴ OA=OC<OD. ∴ OA=OB =OC =OE ≠ OD. ∵ OC=OE=OB,∴ 点O 是△BEC 的外心.∵ OA=OE=OB,∴ 点O 是△AEB 的外心.∵ OA=OC=OE, ∴ 点O 是△AEC 的外心.∵ OB= OA≠OD,∴ 点O 不是△ADB 的 外心. (第7题) 8. 5或4 [解析] ① 如图①,当AD 在△ABC 内部时.∵ AB=6,AC= 8,高AD=4.8,∴ 由勾股定理,得 BD=3.6,CD=6.4.∴ BC=10. ∵ 62+82=102,∴ △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.∴ 完全覆盖 △ABC的圆的最小半径为10×12= 5.② 如图②,当AD 在△ABC 外部, 即△ABC是钝角三角形时.∵ 以AC 为直径的圆是能完全覆盖△ABC 的 最小圆,∴ 能完全覆盖△ABC 的圆 的半径r的最小值为8×12=4. 综上 所述,r的最小值为5或4. (第8题) 9. 5x+2y≠9 [解析] 设直线AB 对应的函数表达式为y=kx+b.把 A(1,2)、B (3,-3)代 入,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91