2.2.1 圆的旋转不变性-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

32 2.2　圆的对称性 第1课时 圆的旋转不变性 ▶ “答案与解析”见P16 1. 如图,AB 是☉O 的直径,四边形ABCD 内接 于☉O.若BC=CD=DA=4cm,则☉O 的 直径为 ( ) A. 5cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm (第1题) (第2题) 2. 如图,在☉O中,∠AOB=2∠COD,则 ( ) A. AB=2CD B. AB<CD C. AB<2CD D. AB>2CD 3. 如图,AB、CD 是☉O 的直径,AE ︵ =BD ︵ .若 ∠AOE=32°,则∠COE的度数是 °. (第3题) (第4题) 4. 如图,AB、CD 是☉O 的两条弦.若AB= CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F, 则OE OF(填“=”或“≠”). 5. 如图,在☉O 中,C、D 是直径AB 上两点,且 AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M、N 在 ☉O 上,求证:AM ︵ =BN ︵ . (第5题) 6. (易错题)如图,☉O 经过五边形OABCD 的 四个顶点.若劣弧AD 的度数为150°,∠A= 75°,∠D=60°,则BC ︵ 的度数为 ( ) A. 25° B. 40° C. 50° D. 60° (第6题) (第7题) 答案讲解 7. 如图,小华从一个圆形场地的点A 出发,沿着与半径OA 夹角为α的方 向行走,走到场地边缘点B 后,再沿 着与半径OB 夹角为α的方向折向行走.按 照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处 于AB ︵ 上,则α的取值范围是 ( ) A. 36°≤α≤45° B. 45°≤α≤54° C. 54°≤α≤72° D. 72°≤α≤90° 8. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 在☉O 上, ∠COD=90°,AC=2,BD=22,则☉O 的 半径为 ( ) A. 3 B. 5 C. 2+1 D. 10 (第8题) (第9题) 9. 如图,在☉O 中,AM 是☉O 的直径,AM= 8,B 是AM ︵ 的中点,点C 在弦AB 上,且 AC=2.点D 在AB ︵ 上,且CD∥OB,则CD 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 33 10. 如图,A 是MN ︵ 上的一个三等分点(靠近点 M),B 是AM ︵ 的中点,P 是直径MN 上的 一个动点,连接OA、AP、BP.若☉O 的直 径为2,则AP+BP 的最小值为 . (第10题) 11. ★如图,以▱ABCD 的顶点A 为圆心、AB 长为半径作☉A,分别交BC、AD 于E、F 两点,交BA 的延长线于点G,连接EG. (1) 求证:EF ︵ =FG ︵ . (2) 若 EG ︵ 的度数为140°,求∠EGB 的 度数. (第11题) 12. 如图,AB、CD 是☉O 的弦,延长AB、CD 相交于点E.已知∠E=30°,∠AOC=100°, 则BD ︵ 所对的圆心角的度数是 ( ) (第12题) A. 30° B. 40° C. 50° D. 70° 答案讲解 13. 小明在完成作业“如图①,∠AOB= 90°,C、D 是AB ︵ 的三等分点,连接 CD、OC、OD,弦AB 分别交OC、 OD 于点E、F,求证:AE=BF=CD”的基 础上,做了如下尝试:把∠AOB=90°改为 ∠AOB=120°,其他条件不变,证明成功后, 大胆猜想“如图②,∠AOB=n°,C、D 是AB ︵ 的三等分点,连接CD、OC、OD,弦AB 分别 交OC、OD 于点E、F,求证:AE=BF= CD”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明 过程. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO= ∠QOP =y+30°,即 ∠CPO=y+30°. ∴ ∠OCQ=∠POC+∠CPO=30°+ y+30°=y+60°. ∵ OQ=OC, ∴ ∠OQC=∠OCQ=y+60°. ∴ 在△OCQ 中,根据三角形的内角 和 定 理,得 ∠QOC + ∠OQC + ∠OCQ=180°,即y+y+60°+y+ 60°=180°,解得y=20°. ∴ ∠OCQ=80°. ∴ ∠OCP=180°-∠OCQ=100°. ② 如图②,当点P 在OB 的延长线上 时,设∠QPO=z. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO=∠QOP=z. ∴ ∠CQO=∠QOP+∠QPO=2z. ∵ OC=OQ, ∴ ∠OCP=∠CQO=2z. ∵ ∠APC+∠OCP=∠AOC, ∴ z+2z=30°,解得z=10°. ∴ ∠OCP=20°. ③ 当点 P 在线段OB 上时,易知 QP≠QO. 综上 所 述,∠OCP 的 度 数 为 100° 或20°. (第12题) 2.2　圆的对称性 第1课时 圆的旋转不变性 1. D 2. C 3. 64 4. = 5. 如图,连接OM、ON. ∵ AB 是☉O 的直径,C、D 是直径 AB 上两点,且AC=BD, ∴ 易得OC=OD. ∵ 点 M、N 在☉O 上,MC⊥AB, ND⊥AB, ∴ OM=ON,∠OCM =∠ODN= 90°. 在Rt△OMC和Rt△OND 中, ∵ OM=ON,OC=OD, ∴ Rt△OMC≌Rt△OND. ∴ ∠COM=∠DON. ∴ AM︵=BN︵. (第5题) 6. D [解析] 如图,连接OB、OC. ∵ OA=OB=OC=OD,∴ △OAB、 △OBC、△OCD 均为等腰三角 形. ∵ ∠A=75°,∠D=60°,∴ 易 得 ∠1=180°-2∠A=180°-2×75°= 30°,∠2=180°-2∠D=180°-2× 60°=60°.∵ 劣弧AD 的度数为150°, ∴ ∠AOD=150°.∴ ∠3=∠AOD- ∠1-∠2=150°-30°-60°=60°,即 BC︵ 的度数为60°. (第6题) 7. B [解析] ∵ 在△AOB 中,OA= OB,∠OAB =α,∴ ∠OBA =α, ∠AOB=180°-2α.∴ 当α=36°时, ∠AOB=180°-2×36°=108°,108°× 5=540°.∵ 转360°恰好位于点A, 540°-360°=180°>108°,∴ 此时不 位于AB︵ 上,A错误.当α=72°时, ∠AOB=36°,36°×5=180°,∴ 此时 小华还没到达点A,故C、D错误. 8. D [解析] 如图,过点O 作OE⊥ AB,交☉O 于点E,连接ED,过点B 作BF⊥ED,交ED 的延长线于点F, 连 接 BE,则 ∠AOE = ∠BOE = ∠F=90°.∵ ∠COD=90°,∠AOE= 90°,∴ ∠COD-∠COE=∠AOE- ∠COE, 即 ∠DOE = ∠AOC. ∴ DE=AC=2.∵ 在四边形OEDB 中,∠BOE = 90°,∴ ∠OED + ∠BDE+∠DBO=270°.∵ OE= OD =OB,∴ ∠OED = ∠ODE, ∠ODB = ∠OBD.∴ 2(∠ODE + ∠ODB)=270°,即2∠BDE=270°. ∴ ∠BDE=135°.∴ ∠BDF=45°. ∵ ∠F=90°,∴ ∠DBF=45°= ∠BDF.∴ BF=DF.∵ BD=22, ∴ 易得DF=BF=2.∴ EF=DE+ DF=4.∴ 在Rt△BEF 中,BE= BF2+EF2=25.∵ OB=OE, ∠BOE=90°,∴ △BOE 为等腰直角 三角形.∴ 易得OB= 10,即☉O 的半径为 10. (第8题) 9. 7-1 [解析] 如图,延长DC 交 AO 于点E,连接OD.∵ B 是AM︵ 的 中 点,AM 是 ☉O 的 直 径, ∴ ∠AOB = 90°.∵ CD ∥OB, ∴ ∠AEC=∠AOB=90°.∵ OA= OB,∴ ∠BAO=45°.∵ AC= 2, ∴ 易 得 AE=CE=1.∴ EO= 1 2AM-AE=4-1=3.∵ OD=4, ∴ 由勾股定理,得DE=7.∴ CD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 7-1. (第9题) 10. 2 [解析] 作点B 关于MN 的 对称点E,连接AE 交MN 于点P,此 时AP+BP 的值最小,且等于AE 的 长.∵ A 是MN︵ 上的一个三等分点 (靠近点 M),∴ ∠AOM=60°.连接 OB、OE.∵ B 是 AM︵ 的 中 点, ∴ ∠BOM = 12∠AOM = 30°. ∴ ∠MOE = ∠BOM = 30°. ∴ ∠AOE=∠AOM+∠MOE=90°. 又∵ ☉O 的直径为2,∴ OA=OE= 1.∴ 易得AE=2,即AP+BP 的最 小值为2. 11. (1) 如图,连接AE. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠EAF=∠AEB,∠GAF=∠B. ∵ AE=AB, ∴ ∠AEB=∠B. ∴ ∠EAF=∠GAF. ∴ EF︵=FG︵. (2) ∵ EG︵ 的度数为140°, ∴ ∠EAG=140°. ∵ AG=AE, ∴ ∠EGB= ∠AEG = 12 (180°- ∠EAG)=12× (180°-140°)=20°. (第11题) 解答求弧的度数问题的 一般方法 “圆心角的度数与它所对的弧 的度数相等”这一性质揭示了圆心 角的度数与它所对的弧的度数之 间的关系,所以要说明同圆中的两 条弧之间的数量关系,可以转化为 说明它们所对的圆心角之间的数 量关系,从而转化为构造等腰三角 形或直角三角形,根据“等边对等 角”或“直角边与斜边之间的数量 关系”确定角的关系或大小,从而 解决问题. 12. B [解析] 如图,连接AC、OB、 OD.∵ OA =OC,∠AOC=100°, ∴ ∠OAC=∠OCA=40°.∵ ∠E= 30°,∴ ∠EAC+∠ECA=180°- 30°=150°.∴ ∠OAB+∠OCD = 150°-40°-40°=70°.∴ ∠AOB+ ∠COD=180°×2-70°×2=220°. ∴ ∠BOD=360°-100°-220°=40°. (第12题) 13. 尝试:连接AC、BD. ∵ ∠AOB=120°,C、D 是AB︵ 的三等 分点, ∴ ∠AOC = 13 ∠AOB = 1 3 × 120°=40°. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA= 12 (180°- ∠AOB)=30°. ∵ ∠AOC=40°, ∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+ 40°=70°. ∵ OA=OC,∠AOC=40°, ∴ ∠ACE= ∠OAC= 12 (180°- ∠AOC)=70°. ∴ ∠ACE=∠AEC. ∴ AC=AE. 同理,可得BF=BD. ∵ C、D 是AB︵ 的三等分点, ∴ AC=CD=BD. ∴ AE=BF=CD. 猜想:连接AC、BD. ∵ 在☉O 中,∠AOB=n°,C、D 是 AB︵ 的三等分点, ∴ ∠AOC=13∠AOB= n 3 °. ∵ OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA= 12 (180°- ∠AOB)= 180-n2 °. ∵ ∠AOC= n3 °, ∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 180-n 2 + n 3 °= 90-n6 °. ∵ OA=OC,∠AOC= n3 °, ∴ ∠ACE= ∠OAC= 12 (180°- ∠AOC ) = 12 180- n 3 ° = 90-n6 °. ∴ ∠ACE=∠AEC. ∴ AC=AE. 同理,可得BF=BD. ∵ C、D 是AB︵ 的三等分点, ∴ AC=CD=BD. ∴ AE=BF=CD. 第2课时 圆的轴对称性 1. C 2. C 3. 15 4. (6,0) [解析] 过点P 作PM⊥ AB 于点M,则易得点 M 的坐标为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71