2.1.2 与圆有关的概念-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

30 第2课时 与圆有关的概念 ▶ “答案与解析”见P14 1. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 在☉O 上, 且点C、D 在AB 的异侧,连接AD、OD、OC. 若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD 的度 数为 ( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° (第1题) (第2题) 2. 如图,点A、D、G、M 在半圆O 上,四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形.设BC= a,EF=b,NH=c,则下列各式中,正确的是 ( ) A. a>b>c B. a=b=c C. c>a>b D. b>c>a 3. (易错题)如图,将大小两个量角器的零刻度 线对齐,且小量角器的中心点O2 恰好在大 量角器的圆周上.设它们圆周的交点为P,且 点P 在小量角器上对应的外圈刻度为75°, 那么点P 在大量角器上对应的内圈刻度为 . (第3题) 4. 如图,O是∠EPF的平分线上的一点,以点O 为圆心的圆和∠EPF 的两边分别交于点A、 B 和点C、D.AB 与CD 相等吗? 为什么? (第4题) 5. 如图,AB 是☉O 的弦,OC⊥AB,垂足为C, OD∥AB,OC=12OD ,则∠ABD 的度数为 ( ) A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° (第5题) (第6题) 6. 如图,直角三角尺ABC 的斜边AB 与量角器 的零刻度线重合(O 是量角器的中心点),点 D 对应的刻度为54°,则∠BCD 的度数为 ( ) A. 27° B. 63° C. 54° D. 36° 7. 如图,延长☉O 的弦AB、半径OC 交于点D, BD=OA.若∠AOC=120°,则∠D 的度数是 . (第7题) (第8题) 8. 如图,过D、A、C 三点的圆的圆心为点E,过 B、E、F 三 点 的 圆 的 圆 心 为 点 D.如 果 ∠BAC=66°,那么∠ABC= °. 答案讲解 9. 如图,四边形ABCD、四边形EFCG 均为正方形,两个正方形彼此相邻 且在半圆O 内.若正方形EFCG 的 面积为16cm2,则半圆O的半径为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 31 10. 如图,P 为☉O 外一点,PO 及其延长线分 别交☉O 于点A、B,过点P 作一条直线交 ☉O 于点M、N(异于点A、B).求证: (1) AB>MN. (2) PB>PN. (3) PA<PM. (第10题) 11. 如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为 (3,0),☉M 的半径为2,过点M 的直线与 ☉M 分别交于A、B 两点,则△AOB 面积的 最大值为 . (第11题) 答案讲解 12. 如图,直线l经过☉O 的圆心,且与 ☉O 交于A、B 两点,点C 在☉O 上,且∠AOC=30°,P 是直线l上 的一个动点(不与圆心O 重合),直线CP 与 ☉O 相交于另一点Q,连接QO. (1) 当点P 在半径OA 上时,若QP=QO, 求∠OCP 的度数. (2) 当点P 在直线l上的其他位置时,是否 还存在QP=QO? 若存在,请求出此时 ∠OCP 的度数;若不存在,请说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 标为(-3,0). (第10题) 11. 11 2 [解析] 如图,∵ C为平面内 一点,BC=1,∴ 点C 在以点B 为圆 心、1为半径的圆上.∵ 点A、B 的坐 标分别为(6,0)、(0,8),∴ OA=6, OB=8.在x轴的负半轴上取点D,使 OD=OA=6,连接CD.∵ M 为AC 的中 点,∴ AM =CM.∴ OM 是 △ACD 的中位线.∴ OM=12CD. 当OM 的长最大时,CD 的长也最大. 易得此时D、B、C 三点共线,且点C 在DB 的延长线上.∵ OB=8,OD= 6, ∠BOD = 90°, ∴ BD = OB2+OD2=10.∴ CD=BD+ BC=11.∴ OM=12CD= 11 2 ,即OM 长的最大值为11 2. (第11题) 12. 如图,连接OC. ∵ ∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴ AB= AC2+BC2= 62+82=10. (1) ∵ 点A、B、C都在☉O 上, ∴ R=OA=OB=OC=5. (2) ∵ 点O、A、C 中有两个点在☉B 内,有一个点在☉B 外, ∴ 8<r<10. (第12题) 13. (1) 如图,连接AD,取AC 的中 点O,连接OD、OM. ∵ △ABC是等边三角形,D 是BC的 中点, ∴ AD⊥BC. ∵ AM⊥CM, ∴ ∠ADC=∠AMC=90°. ∵ OA=OC, ∴ OD=OA=OC=OM. ∴ A、D、C、M 四点在同一个圆上. (2) 如图,连接OB. ∵ AB=AC=BC=2,AO=OC=1, ∴ BO⊥AC. ∴ BO = AB2-AO2 = 22-12=3. ∵ OM=OA=OC=1,OB-OM≤ BM≤OB+OM, ∴ 3-1≤BM≤3+1. ∴ BM 长的最大值为 3+1,最小值 为3-1. (第13题) 14. (1) ∵ DF⊥CE, ∴ ∠CFD=90°. ∴ ∠CDF+∠FCD=90°. ∵ ∠BEC=90°, ∴ ∠BEC=∠CFD. ∵ 四边形ABCD 为菱形, ∴ BC=CD. 在Rt△BCE 和Rt△CDF 中, BC=CD, CE=DF, ∴ Rt△BCE≌Rt△CDF. ∴ ∠BCE=∠CDF. ∴ ∠CDF + ∠FCD = ∠BCE + ∠FCD=90°,即∠BCD=90°. ∴ 菱形ABCD 是正方形. (2) 如图,连接AF、ED. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ ∠ADC=90°,AD=CD. ∵ F 为CE 的中点,DF⊥CE, ∴ DF 是CE 的垂直平分线. ∴ DE=DC=AD. ∴ ∠DAE = ∠DEA,∠DEC = ∠DCE. ∵ ∠DAE + ∠DEA + ∠ADE = 180°,∠DEC+∠DCE+∠CDE= 180°, ∴ ∠DEA = 180°-∠ADE2 , ∠DEC=180°-∠CDE2 . ∴ ∠AEF = ∠DEA + ∠DEC = 180°- 12 (∠ADE + ∠CDE)= 180°-45°=135°. ∴ ∠AEB=360°-135°-90°=135°. ∴ ∠AEF=∠AEB. ∵ △BCE≌△CDF, ∴ BE=CF=FE. 在△ABE 和△AFE 中, ∵ AE =AE,∠AEB = ∠AEF, EB=EF, ∴ △ABE≌△AFE. ∴ AB=AF. ∴ 点F 在以AB 为半径的☉A 上. (第14题) 第2课时 与圆有关的概念 1. D 2. B 3. 30° 4. 相等. 过点O 作OG⊥AB 于点G,OH⊥CD 于点H,连接OA、OC、OB、OD. ∵ O 是∠EPF 平分线上的一点, ∴ OG=OH. 在Rt△OBG 和Rt△ODH 中, ∵ OB=OD,OG=OH, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 ∴ Rt△OBG≌Rt△ODH. ∴ BG=DH. 同理,可得AG=CH. ∴ AG+BG=CH+DH. ∴ AB=CD. 5. D [解析] 连接OB,则OB=OD. ∵ OC= 12OD ,∴ OC= 12OB. ∵ OC⊥AB,∴ 易得∠OBC=30°. ∵ OD∥AB,∴ ∠BOD=∠OBC= 30°.∴ ∠OBD = ∠ODB =75°. ∴ ∠ABD=30°+75°=105°. 6. B [解析] 如图,连接OC、OD. ∵ 直角三角尺ABC 的斜边AB 与量 角器 的 零 刻 度 线 重 合,∴ OD = 1 2AB ,OC=12AB=OB.∴ OD=OC. ∴ △OCD是等腰三角形.∵ ∠ABC= 60°,∴ △OBC 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠OCB=60°.∵ ∠COA 是等边三 角形OBC 的外角,即∠COA=120°, ∠DOA=54°,∴ ∠COD=∠COA+ ∠DOA = 120° + 54° = 174°. ∴ ∠DCO=(180°-∠COD)÷2= (180°-174°)÷2=3°.∴ ∠BCD= ∠DCO+∠OCB=3°+60°=63°. (第6题) 7. 20° [解析] 如 图,连 接 OB. ∵ BD=OA,OB=OA,∴ BD= OA=OB.∴ △OBD、△OAB 都是等 腰三角形.设∠D 的度数是x,则 ∠BOD=x.∴ ∠BAO=∠ABO= x+x=2x.在△AOB 中,利用三角形 的内角和是180°,可得120°-x+ 2x+2x=180°,解得x=20°. (第7题) 8. 16 [解析] 如图,连接DE、CE. 由题 意,得 CE =DE =DB.设 ∠ABC=α.∵ DE=DB,∴ ∠2= ∠ABC=α.∴ ∠6=∠2+∠ABC= 2α.∵ CE=DE,∴ ∠5=∠6=2α. ∴ ∠4=∠5+∠ABC=3α.∵ AE= CE,∴ ∠3=∠1=66°.∴ ∠4= 180°-∠3-∠1=48°.∴ 3α=48°. ∴ α=16°.∴ ∠ABC=16°. (第8题) 9. 45cm [解析] 如图,连接OA、 OB、OE.∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ DC = AD = BC,∠ADO = ∠BCO = 90°.在 Rt△ADO 和 Rt△BCO 中,∵ OA=OB,AD=BC, ∴ Rt△ADO≌Rt△BCO.∴ OD= OC.∴ AD=BC=DC=2OC.设 AD=BC=DC=2acm,则 OD= OC=acm.∵ 四边形EFCG 是正方 形,∴ ∠EFC=90°,EF=CF.∵ 正 方 形 EFCG 的 面 积 为 16cm2, ∴ EF=CF=4cm.∴ OF=(4+ a)cm.在Rt△BCO 中,由勾股定理, 得OB2=OC2+BC2.在 Rt△OFE 中,由勾股定理,得 OE2=EF2+ OF2.又∵ OB=OE,∴ OB2=OE2. ∴ OC2+BC2=EF2+OF2,即a 2+ (2a)2=42+(4+a)2,解得a1=-2 (不合题意,舍去),a2=4.∴ OC= 4cm,BC = 8 cm.∴ OB = OC2+BC2=45cm,即半圆O 的 半径为45cm. (第9题) 10. 如图,连接OM、ON. (1) 在△MON 中, ∵ ON+OM>MN,且OA=OB= OM=ON, ∴ OA+OB>MN,即AB>MN. (2) 在△PON 中, ∵ ON+OP>PN,且OB=ON, ∴ OB+OP>PN,即PB>PN. (3) 在△MOP 中, ∵ OP-OM<PM,且OA=OM, ∴ OP-OA<PM,即PA<PM. (第10题) 11. 6 [解析] ∵ AB 为☉M 的直 径,∴ AB=4.当点O 到AB 的距离 最大时,△AOB 的面积最大.∴ 当 AB⊥x 轴于点M 时,点O 到AB 的 距离最大,为OM 的长.∴ △AOB 的 面积的最大值为1 2×4×3=6. 12. (1) 设∠QPO=x. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO=∠QOP=x. ∴ ∠OQP=180°-2x. ∵ OC=OQ, ∴ ∠OCP=∠OQC=180°-2x. ∵ ∠AOC=30°,即 ∠POC=30°, ∠QPO=∠OCP+∠POC, ∴ x=180°-2x+30°,解得x=70°. ∴ ∠OCP=180°-2×70°=40°. (2) 存在. ① 如图①,当点P 在OA 的延长线上 时,设∠QOC=y,则∠QOP=y+ 30°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO= ∠QOP =y+30°,即 ∠CPO=y+30°. ∴ ∠OCQ=∠POC+∠CPO=30°+ y+30°=y+60°. ∵ OQ=OC, ∴ ∠OQC=∠OCQ=y+60°. ∴ 在△OCQ 中,根据三角形的内角 和 定 理,得 ∠QOC + ∠OQC + ∠OCQ=180°,即y+y+60°+y+ 60°=180°,解得y=20°. ∴ ∠OCQ=80°. ∴ ∠OCP=180°-∠OCQ=100°. ② 如图②,当点P 在OB 的延长线上 时,设∠QPO=z. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO=∠QOP=z. ∴ ∠CQO=∠QOP+∠QPO=2z. ∵ OC=OQ, ∴ ∠OCP=∠CQO=2z. ∵ ∠APC+∠OCP=∠AOC, ∴ z+2z=30°,解得z=10°. ∴ ∠OCP=20°. ③ 当点 P 在线段OB 上时,易知 QP≠QO. 综上 所 述,∠OCP 的 度 数 为 100° 或20°. (第12题) 2.2　圆的对称性 第1课时 圆的旋转不变性 1. D 2. C 3. 64 4. = 5. 如图,连接OM、ON. ∵ AB 是☉O 的直径,C、D 是直径 AB 上两点,且AC=BD, ∴ 易得OC=OD. ∵ 点 M、N 在☉O 上,MC⊥AB, ND⊥AB, ∴ OM=ON,∠OCM =∠ODN= 90°. 在Rt△OMC和Rt△OND 中, ∵ OM=ON,OC=OD, ∴ Rt△OMC≌Rt△OND. ∴ ∠COM=∠DON. ∴ AM︵=BN︵. (第5题) 6. D [解析] 如图,连接OB、OC. ∵ OA=OB=OC=OD,∴ △OAB、 △OBC、△OCD 均为等腰三角 形. ∵ ∠A=75°,∠D=60°,∴ 易 得 ∠1=180°-2∠A=180°-2×75°= 30°,∠2=180°-2∠D=180°-2× 60°=60°.∵ 劣弧AD 的度数为150°, ∴ ∠AOD=150°.∴ ∠3=∠AOD- ∠1-∠2=150°-30°-60°=60°,即 BC︵ 的度数为60°. (第6题) 7. B [解析] ∵ 在△AOB 中,OA= OB,∠OAB =α,∴ ∠OBA =α, ∠AOB=180°-2α.∴ 当α=36°时, ∠AOB=180°-2×36°=108°,108°× 5=540°.∵ 转360°恰好位于点A, 540°-360°=180°>108°,∴ 此时不 位于AB︵ 上,A错误.当α=72°时, ∠AOB=36°,36°×5=180°,∴ 此时 小华还没到达点A,故C、D错误. 8. D [解析] 如图,过点O 作OE⊥ AB,交☉O 于点E,连接ED,过点B 作BF⊥ED,交ED 的延长线于点F, 连 接 BE,则 ∠AOE = ∠BOE = ∠F=90°.∵ ∠COD=90°,∠AOE= 90°,∴ ∠COD-∠COE=∠AOE- ∠COE, 即 ∠DOE = ∠AOC. ∴ DE=AC=2.∵ 在四边形OEDB 中,∠BOE = 90°,∴ ∠OED + ∠BDE+∠DBO=270°.∵ OE= OD =OB,∴ ∠OED = ∠ODE, ∠ODB = ∠OBD.∴ 2(∠ODE + ∠ODB)=270°,即2∠BDE=270°. ∴ ∠BDE=135°.∴ ∠BDF=45°. ∵ ∠F=90°,∴ ∠DBF=45°= ∠BDF.∴ BF=DF.∵ BD=22, ∴ 易得DF=BF=2.∴ EF=DE+ DF=4.∴ 在Rt△BEF 中,BE= BF2+EF2=25.∵ OB=OE, ∠BOE=90°,∴ △BOE 为等腰直角 三角形.∴ 易得OB= 10,即☉O 的半径为 10. (第8题) 9. 7-1 [解析] 如图,延长DC 交 AO 于点E,连接OD.∵ B 是AM︵ 的 中 点,AM 是 ☉O 的 直 径, ∴ ∠AOB = 90°.∵ CD ∥OB, ∴ ∠AEC=∠AOB=90°.∵ OA= OB,∴ ∠BAO=45°.∵ AC= 2, ∴ 易 得 AE=CE=1.∴ EO= 1 2AM-AE=4-1=3.∵ OD=4, ∴ 由勾股定理,得DE=7.∴ CD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61