专题特训(十一)巧用分段函数解决实际问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

根据题意,得 50S=6×20+21a, 30S=(21-3)a, 解 得 S=8, a=403. ∴ 圆柱形容器的底面积为8cm2. 第2课时 解决两个一次 函数的实际问题 1. C 2. 1.5 3. (1) 根据题意,得y甲 =15x,当 15x=45时,x=3; y乙=25(x-1)=25x-25,当25x- 25=45时,x=145. ∴ y甲 关于x 的函数表达式为y甲= 15x(0≤x≤3),y乙 关于x 的函数表 达式为y乙=25x-251≤x≤145 . (2) 甲、乙两人能在途中相遇. 令15x=25x-25,解得x=52. 当x=52 时,y甲=y乙= 75 2. ∴ 甲、乙两人能在途中相遇,此时离 A地的距离为752km. 4. D [解析] 设y甲 =kx.将(6, 600)代入,得6k=600,∴ k=100. ∴ y甲 =100x.当0≤x<2时,设 y乙=mx.将(2,300)代入,得2m= 300,∴ m=150.∴ y乙 =150x.当 x≥2时,设y乙=nx+b.将(2,300)、 (6,500)代入,得 2n+b=300, 6n+b=500, 解得 n=50, b=200. ∴ y乙 = 50x + 200. ∵ 600÷6=100(米),∴ ①正确. ∵ (500-300)÷(6-2)=50(米), ∴ ②正确.∵ 当 x=4时,y甲 = 100x=400,y乙=50×4+200=400, ∴ ③正确.当y甲=100x=600时, x=6.当y乙=50x+200=600时, x=8.∴ 8-6=2(天).∴ ④正确. 5. B [解析] ∵ 第一次相遇两人共 走了2800m,第二次相遇两人共走了 (3×2800)m,且 两 人 速 度 不 变, ∴ c=60÷3=20.故选项C不符合题 意.∵ 当x=35时,出现拐点,∴ 此 时亮亮到达A地,路程为2800m,亮 亮的速度为2800÷35=80(m/min). 又∵ 两人的速度和为2800÷20= 140(m/min),∴ 明明的速度为140- 80=60(m/min).∴ a=140×(35- 20)=2100.故选项A不符合题意.在 35≤x≤d 时,两人同向而行,当x= d时,明明到达B地,∴ d=2800÷ 60=1403 . 故选项D不符合题意.明明 到达B地时,亮亮与明明的距离为 2800-801403 -35 =56003 (m),即 b=56003 . 故选项B符合题意. 6. 20 [解析] 设甲仓库的快件数量 y(件)与时间x(min)之间的函数表 达式为y=k1x+40.根据题意,得 60k1+40=400,解得k1=6.∴ y= 6x+40.设 乙 仓 库 的 快 件 数 量 y(件)与时间x(min)之间的函数表 达式为y=k2x+240.根据题意,得 60k2+240=0,解得k2=-4.∴ y= -4x+240.联立 y=6x+40, y=-4x+240, 解 得 x=20, y=160. ∴ 经过20min,两仓库快 递件数相同. 7. (1) 25 (2) 100 [解析] 由图像可得,小聪的 速度为4500÷56.25=80(m/min), 则小明的速度为4500÷25-80= 180-80=100(m/min). 8. (1) 设l1 对应的函数表达式为 y=k1x+b1(k1、b1为常数,且k1≠0). 将 (0,5)、(20,25)代 入,得 b1=5, 20k1+b1=25, 解得 k1=1, b1=5. ∴ l1对应的函数表达式为y=x+5. 设l2对应的函数表达式为y=k2x+ b2(k2、b2为常数,且k2≠0). 将 (0,15)、(20,25)代 入,得 b2=15, 20k2+b2=25, 解得 k2= 1 2 , b2=15. ∴ l2 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= 1 2x+15. (2) 当两气球之间的海拔相差5m 时,得 x+5- 12x+15 =5. 经整理,得 1 2x-10 =5 ,即10- 1 2x=5 或1 2x-10=5 ,解得x= 10或30. ∴ 当两气球之间的海拔相差5m时, 气球上升的时间为10min或30min. 9. (1) 设yA=k1x. 根据题意,得6k1=180,解得k1=30. ∴ yA=30x. 设yB=k2x+b. 根据 题 意,得 4k2+b=180, 13k2+b=360, 解 得 k2=20, b=100. ∴ yB=20x+100. (2) 令yA<yB,则30x<20x+100, 解得x<10. ∴ 一个季度的游泳时长少于10h时, 选择A套餐更省钱. (3) 由题意,得30x-(20x+100)= 5x,解得x=20. ∴ 小明估计的本季度的游泳时长为 20h. 专题特训（十一）　巧用 分段函数解决实际问题 1. D [解析] 当0≤x<10时,设 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 y=k1x(k1 为常数,且k1≠0).将 x=10,y=20代 入 y=k1x,得 10k1=20,解得k1=2.∴ y=2x(0≤ x<10).当x≥10时,设y=k2x+b (k2、b为常数,且k2≠0).将x=0, y=-10和x=10,y=20代入y= k2x +b,得 b=-10, 10k2+b=20, 解 得 k2=3, b=-10. ∴ y=3x-10(x≥10).综 上所述,y= 2x(0≤x<10), 3x-10(x≥10). 当y= 35时,3x-10=35,解得x=15;当 y=18 时,2x=18,解 得 x=9. ∵ 15-9=6(吨),∴ 三月份比六月 份节约用水6吨. 2. (1) 根据题意,得当0≤x≤5时, y=20x; 当x>5时,y=20×0.8(x-5)+ 20×5=16x+20. ∴ y 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= 20x(0≤x≤5), 16x+20(x>5). (2) 把x=30代入y=16x+20,得 y=16×30+20=500. ∴ 一次购买玉米种子30千克,需付 款500元. 3. 200 [解析] 当4≤x≤10时,设y 与x之间的函数表达式为y=kx+b. ∴ 4k+b=240, 10k+b=0, 解 得 k=-40 , b=400. ∴ 当4≤x≤10时,y 与x 之间的函 数表达式为y=-40x+400.∴ 当 x=5时,y=-40×5+400=200,即 小明出发5h后距A地200km. 4. 18 [解析] 由题图可知,游船顺流 从A地到C地航行7km,用时0.7h, ∴ 游船在顺水中的速度为 7 0.7= 10(km/h),则游船在静水中的速度为 10-2.5=7.5(km/h),在逆水中的速 度为7.5-2.5=5(km/h).设B、C两 地的距离为skm,则s10+ s 5=4- 0.7,解得s=11.∴ B、C两地的距离 为11km.∴ A、B两地的距离为7+ 11=18(km). 5. (1) 10. (2) 当0.5≤x≤2.5时,设小明与甲 地的距离y 与x 之间的函数表达式 为y=kx+b(k、b为常数,且k≠0). 将 (0.5,5)、(2.5,15)代 入,得 0.5k+b=5, 2.5k+b=15, 解得 k=5 , b=2.5. ∴ 小明与甲地的距离y与x 之间的 函数表达式为y=5x+2.5(0.5≤ x≤2.5). (3) ∵ 小 红 骑 自 行 车 的 速 度 为 10km/h, ∴ 小红与甲地的距离y与x 之间的 函数表达式为y=10(x-0.5)= 10x-5. 当y=15时,10x-5=15,解 得 x=2. 将x=2代入y=5x+2.5,得y=12.5. ∵ 15-12.5=2.5(km), ∴ 当小红到达乙地时,小明与乙地的 距离为2.5km. 6. (1) y1=2×200+200×0.6(x- 2)=120x+160; y2=200×0.7x=140x. (2) ① 当y1>y2 时,120x+160> 140x,解得x<8. ∵ 有2位老师, ∴ 2<x<8. ② 当y1=y2 时,120x+160=140x, 解得x=8. ③ 当y1<y2 时,120x+160<140x, 解得x>8. ∵ 学生人数不超过10,有2位老师, ∴ 8<x≤12. ∴ 当总人数大于2且小于8时,选择 乙旅行社费用较少;当总人数为8时, 两家旅行社费用相同;当总人数大于 8且不大于12时,甲旅行社费用 较少. 7. (1) 设y 关于x 的函数表达式为 y=kx(0≤x≤4). ∵ 点(4,20)在该段函数图像上, ∴ 4k=20. ∴ k=5. ∴ 当0≤x≤4时,y关于x的函数表 达式为y=5x. (2) 由题图,可得进水速度为20 4= 5(L/min), 同时打开一根进水管和一根出水管的 速度为30-20 12-4= 5 4 (L/min), ∴ 出水速度为5-54= 15 4 (L/min). ∴ b=154. (3) ∵ 第12分钟时关闭进水管,同 时,再打开剩下的一根出水管, ∴ 此 时 的 出 水 速 度 为15 4 ×2= 15 2 (L/min),放完水需要的时间为 30÷152=4 (min). ∵ 12+4=16(min), ∴ 在第16分钟时,水放完,补全函数 图像如图所示. (第7题) 8. 1或19 [解析] 观察题图②,得 S△APD= 1 2PA ·AD=12a×8=24 , ∴ a=6.∴ b=10-1×68-6 =2.∴ c= 8+10+82 =17. 由 题 意,得(22- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 6)d=(10+8+10)-2×6,解得d= 1.当点Q 在DC上时,2x+x=(10+ 8+10)-25,解得x=1.当点Q 出发 17s时,点P 到达点D,停止运动,点 Q 还需运动2s,即共运动19s时,可 使P、Q 这两点在运动路线上相距的 路程为25cm.综上所述,x 的值为 1或19. 6.5　一次函数与二元 一次方程 1. A 2. A 3. y=-2x 4. x=2, y=4 5. (1) 设直线l1 对应的函数表达式 为y=kx+b. ∵ 直线l1经过点(0,3)、(1,0), ∴ b=3, k+b=0, 解得 k=-3 , b=3. ∴ 直线l1 对应的函数表达式 为 y=-3x+3. 同理,可得直线l2对应的函数表达式 为y=x-2. (2) 点P 的坐标可看成是二元一次方 程组 y=-3x+3, y=x-2 的解. (3) 由题意,得A(0,3)、B(0,-2), ∴ AB=5. 联立 y=-3x+3, y=x-2, 解得 x=54 , y=- 3 4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ P 54 ,-34 . ∴ S△APB= 1 2AB ·|xP|= 1 2×5× 5 4= 25 8. 6. B 7. C [解析] 由y= 2 3x+2 ,可得 B(-3,0)、C(0,2),∴ BO=3,OC= 2.∵ 3S△ABO=S△BOC,∴ 3×12×3× |yA|= 1 2×3×2 ,解得yA=± 2 3. 又 ∵ 点A 在第二象限,∴ yA= 2 3. 当 y= 2 3 时,2 3= 2 3x+2 ,解得x= -2.∴ 方程组 kx-y=0, 2x-3y=-6 的解为 x=-2, y= 2 3. 8. (-1,5) 9. -5 [解 析] 解 方 程 组 y=x-2, y=-x+4, 得 x=3, y=1. ∴ 直线y= x-2与y=-x+4的交点坐标为 (3,1).把(3,1)代入y=2x+b,得 2×3+b=1,解得b=-5. 10. 6 [解析] 把x=2代入kx-2= 2x+k,可得2k-2=4+k,解得 k=6. 11. (1) 把P(1,b)代入y=x+1,得 b=1+1=2. (2) 由(1),得P(1,2), ∴ 方程组 y=x+1, y=mx+n 的解为 x=1, y=2. (3) 直线l3:y=nx+m 也经过点P. 理由:∵ 直线y=mx+n 经过点 P(1,2), ∴ m+n=2. 在y=nx+m 中,当x=1时,y=n+ m=2. ∴ 直线l3:y=nx+m 也经过点P. 12. (1) ∵ 点P(1,b)在直线l1:y= 2x+1上, ∴ b=2×1+1=3. ∴ 点P 的坐标为(1,3). ∵ 点P(1,3)在直线l2:y=mx+ 4上, ∴ m+4=3. ∴ m=-1. (2) 当x=a 时,yC=2a+1,yD= -a+4. ∵ CD=2, ∴ |2a+1-(-a+4)|=2, 解得a=13 或a=53. ∴ a的值为13 或5 3. 13. (1) 将x=-2代入y=-x,得 y=2, ∴ 点A 的坐标为(-2,2). 将A(-2,2)代入y=2x+m,得2× (-2)+m=2, ∴ m=6. ∴ 一次函数的表达式为y=2x+6. (2) ∵ 正比例函数y=-x的图像与 一次函数y=2x+m 的图像交于点 A(-2,2), ∴ 方 程 组 x+y=0, -2x+y=m 的 解 是 x=-2, y=2. (3) 存在. 设直线y=2x+6与y 轴的交点 为C,与x 轴的交点为D,则易得 C(0,6)、D(-3,0). ∵ A(-2,2), ∴ S△AOC= 1 2×6×2=6 ,S△AOD= 1 2×3×2=3. 当点B 在第三象限时, S△AOB =S△AOD +S△BOD =9,则 S△BOD=6. 设点B 的纵坐标为n. ∴ S△BOD= 1 2×3× (-n)=6. ∴ n=-4,即点B 的纵坐标是-4. 把y= -4 代 入 y=2x+6,得 x=-5, ∴ B(-5,-4). 当点B 在第一象限时, S△AOB =S△AOC +S△BOC =9,则 S△BOC=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 114 　专题特训（十一）　巧用分段函数解决实际问题 ▶ “答案与解析”见P55 类型一 分段计费问题 1. (2024·泰安泰山期末)为了提高居民节水意 识,某市自来水公司对居民用水采用以户为 单位分段计费的方法进行收费,每月收取水 费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如 图所示(实线部分).按上述收费标准,小明家 六月份、三月份分别缴水费35元和18元,则 三月份比六月份节约用水 ( ) (第1题) A. 3吨 B. 4吨 C. 5吨 D. 6吨 2. 某农贸公司销售一批玉米种子,若一次购买 不超过5千克,则种子的价格为20元/千克; 若一次购买超过5千克,则超过5千克部分 的种子的价格打8折.设一次购买x千克,付 款y元. (1) 求y与x之间的函数表达式. (2) 某农户一次购买玉米种子30千克,需付 款多少元? 类型二 运动过程中的分段函数 3. 小明从A地前往B地,到达后立刻返回,他 与A地的距离y(km)和所用时间x(h)之间 的关系如图所示.小明出发5h后距 A地 km. (第3题) (第4题) 4. (2023·阜新模拟)某游船在水流速度为 2.5km/h的航段内,先顺流从A地到B地, 再逆流从B地到C地(C地在A、B两地之 间),游船与C地的距离y(km)和游船航行 的时间x(h)之间的函数关系如图所示,则 A、B两地的距离为 km. 5. 小明和小红分别从甲地出发,沿同一条道路 骑自行车到乙地参加社会实践活动,小明先 从甲地出发,0.5h后小红出发.小明和小红 与甲地的距离y(km)与小明出发的时间 x(h)之间的函数图像如图所示. (1) 小红骑自行车的速度为 km/h. (2) 当0.5≤x≤2.5时,求小明与甲地的距 离y与x之间的函数表达式. (3) 当小红到达乙地时,求小明与乙地的 距离. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 115 类型三 方案设计中的分段函数 6. (2024·深圳龙华期中)“五一”假期,两位老 师计划带领若干学生去古镇参与社会实践, 他们联系了报价均为每人200元的两家旅行 社.经协商,甲旅行社的优惠条件是两位老师 全额收费,学生按6折收费;乙旅行社的优惠 条件是老师与学生都按照7折收费.设总人 数为x. (1) 选择甲旅行社时,所需费用为y1 元,选 择乙旅行社时,所需费用为y2 元,请分别写 出y1、y2与x之间的函数表达式. (2) 若学生人数不超过10,为了减少费用,他 们应该如何选择旅行社? 类型四 工程问题中的分段函数 答案讲解 7. 某容器有一根进水管和两根出水 管,进 水 管 的 进 水 速 度 恒 定 为 aL/min,每根出水管的出水速度恒 定为bL/min.从某时刻开始计时,前4min 内只打开进水管,第4分钟时,又打开其中的 一根出水管,容器内的水量y(L)与时间 x(min)之间的关系如图所示. (1) 当0≤x≤4时,求y 关于x 的函数表 达式. (2) 求b的值. (3) 若第12分钟时关闭进水管,同时,再打 开剩下的一根出水管,直到放水结束,在图中 补全y(L)与时间x(min)之间的函数图像. (第7题) 类型五 几何图形中的分段函数 8. 如图①,在长方形ABCD 中,AB=10cm, BC=8cm.点P 从点A 出发,沿A→B→ C→D 路线运动,到点D 停止;点Q 从点D 出发,沿 D→C→B→A 路线运动,到点A 停 止.若点 P、Q 同时出发,点 P 的速度为 1cm/s,点Q 的速度为2cm/s,as时点P、Q 同时改变速度,点P 的速度变为bcm/s,点 Q 的速度变为dcm/s.图②是点P 出发xs 后,△APD 的面积S1(cm2)与x(s)之间的 函数图像;图③是点Q 出发xs后,△AQD 的面积S2(cm2)与x(s)之间的函数图像.若 点P、Q 在运动路线上相距的路程为25cm, 则x的值为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次函数