2.1.1 圆的概念、点和圆的位置关系-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

28 2.1　圆 第1课时 圆的概念、点和圆的位置关系 ▶ “答案与解析”见P13 1. (2024·苏州期中)在同一平面内,已知☉O 的半径是5,点A 到圆心的距离为4,则点A 与☉O 的位置关系是 ( ) A. 点A 在圆内 B. 点A 在圆上 C. 点A 在圆外 D. 无法确定 2. 在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,0), 点B 的坐标为(a,0),☉A 的半径为2.下列 说法中,不正确的是 ( ) A. 当a=-1时,点B 在☉A 上 B. 当a<1时,点B 在☉A 内 C. 当a<-1时,点B 在☉A 外 D. 当-1<a<3时,点B 在☉A 内 3. 已知P 为平面内一点,若点P 到☉O 上的点 的最长距离为5,最短距离为1,则☉O 的半 径为 . 4. 已知AB 是经过圆心O 的直线,P 为☉O 上 的任意一点,则点P 关于直线AB 的对称点 P'与☉O 的位置关系是 . 5. (新情境)如图,某海域以点A 为圆心、3km 为半径的圆形区域为多暗礁的危险区,但渔 业资源丰富,渔船要从点B 处前往点A 处进 行捕鱼,B、A 两点之间的距离是10km.若渔 船始终保持10km/h的航速行驶,则在什么时 段内,渔船是安全的? 渔船何时进入危险区? (第5题) 6. 已知☉O 的半径为1,点P 到圆心O 的距离 为d.若关于x 的方程x2-2x+d=0有实 数根,则点P ( ) A. 在☉O 的内部 B. 在☉O 的外部 C. 在☉O 上 D. 在☉O 上或☉O 的内部 7. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=4, BC=7,点D 在边BC 上,且BD=3,连接 AD.以点D 为圆心、r为半径画圆,若点A、 B、C 中只有1个点在圆内,则r的值可能为 ( ) (第7题) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=6,AD⊥ BC 于点D,AD=4,P 是半径为2的☉A 上 一动点,连接PC.若E 是PC 的中点,连接 DE,则DE 长的最大值为 ( ) (第8题) A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 9. 已知矩形ABCD 的边AB=3,BC=4,以点 B 为圆心作圆,使A、C、D 三点中至少有一 点在☉B 内,且至少有一点在☉B 外,则☉B 的半径r的取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 第2章　对称图形——圆 29 答案讲解 10. 如图,☉M 的半径为2,圆心M 的 坐标为(3,4),P 是☉M 上的任意 一点,PA⊥PB,且 PA、PB 与 x轴分别交于A、B 两点.若点A、B 关于原 点对称(点A 在点B 的左侧),则当线段AB 最短时,点A 的坐标为 . (第10题) (第11题) 11. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B 的坐标 分别为(6,0)、(0,8),C 为平面内一点, BC=1,M 为AC 的中点,连接OM,则OM 长的最大值为 . 12. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6, BC=8,O 是AB 的中点. (1) 若以点O 为圆心、R 为半径作☉O,且 点A、B、C 都在☉O 上,求R 的值. (2) 若以点B 为圆心、r为半径作☉B,且点 O、A、C 中有两个点在☉B 内,有一个点在 ☉B 外,求r的取值范围. (第12题) 13. 如图,D 为等边三角形ABC 的边BC 的中 点,AB=2,动点M 满足AM⊥CM. (1) 求证:A、D、C、M 四点在同一个圆上. (2) 连接BM,求线段BM 长的最大值与最 小值. (第13题) 答案讲解 14. 如图,E 是菱形ABCD 内一点, ∠BEC=90°,DF⊥CE,垂足为 F,且DF=CE,连接AE. (1) 求证:菱形ABCD 是正方形. (2) 当F 是线段CE 的中点时,求证:点F 在以AB 为半径的☉A 上. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 得k≥0且(3k)2-4×8≥0,解得 k≥329.∵ 整数k<5,∴ k=4.∴ 方 程变形为x2-6x+8=0,解得x1= 2,x2=4.∵ △ABC 的三边长均满足 关于x 的 方 程x2-6x+8=0, ∴ △ABC的三边长为2、2、2或4、4、 4或4、4、2.∴ △ABC 的周长为6或 12或10. 8. (1) ∵ (x-2)(x-3)-k2=0, ∴ x2-5x+6-k2=0. ∴ b2-4ac=(-5)2-4×1×(6- k2)=25-24+4k2=1+4k2. ∵ 无论k取何值时,总有4k2≥0, ∴ 1+4k2>0. ∴ 无论k取何值,方程总有两个不相 等的实数根. (2) 由(1),得x2-5x+6-k2=0, ∴ x1+x2=5. ∴ x1+2x2=x1+x2+x2=5+x2. ∵ x1>x2, ∴ x2= 5- 4k2+1 2 . ∵ 4k2+1≥1, ∴ 4k2+1≥1. ∴ 5- 4k2+1 2 ≤2 ,即x2≤2. ∴ 5+x2≤7,即x1+2x2≤7. 9. (1) ∵ 关于x的方程x2-2mx+ m2-n=0有两个不相等的实数根, ∴ b2-4ac=(-2m)2-4(m2-n)= 4m2-4m2+4n>0. ∴ n>0. (2) ∵ n为符合条件的最小整数,且 n>0, ∴ n=1. ∴ 原方程为x2-2mx+m2-1=0. 设该方程的根是a、2a. ∴ a+2a=2m,a·2a=m2-1,解得 a=2,m=3或a=-2,m=-3(不合 题意,舍去). ∴ m 的值为3. 10. (1) 设y与x之间的函数表达式 为y=kx+b(k≠0),代入表中数据, 得 30k+b=60, 40k+b=40, 解得 k=-2 , b=120. ∴ y 与x 之间的函数表达式为y= -2x+120. (2) 由题意,得(-2x+120)(x- 20)=600. 化简,得x2-80x+1500=0,解得 x1=30,x2=50. ∴ 当售价为30元/件或50元/件时, 可使得日销售利润为600元. 第2章　对称图形——圆 2.1　圆 第1课时 圆的概念、点 和圆的位置关系 1. A 2. B 3. 2或3 4. 点P'在 ☉O 上 5. 如图,∵ AB=10km,AC=3km, ∴ BC=7km. 由7÷10=0.7(h),知在0h到0.7h 之间,渔船是安全的,0.7h后渔船进 入危险区. (第5题) 6. D 7. B [解析] 在 Rt△ABD 中, ∠B=90°,AB=4,BD=3,∴ AD= 5.∵ BC=7,BD=3,∴ CD=BC- BD=7-3=4.∵ 以点D 为圆心、r 为半径画圆,且点A、B、C中只有1个 点在圆内,∴ r的取值范围是3<r≤ 4.∴ 在四个选项中,r的值可能为4. 8. B [解 析] 如 图,连 接 PB. ∵ AB=AC,AD ⊥BC,BC =6, ∴ CD=BD=12BC=3.∵ E 是PC 的中点,∴ DE 是△PBC 的中位线. ∴ DE=12PB.∴ 当PB 的长取最 大值时,DE 长有最大值.∵ P 是半 径为2的☉A 上一动点,∴ 当线段 PB 过圆心A 时,PB 的长取最大值. 在Rt△ABD 中,∵ BD=3,AD=4, ∴ 由勾股定理,得AB= 32+42= 5.∵ ☉A 的半径为2,∴ PB 长的最 大值为5+2=7.∴ DE 长的最大值 为1 2×7=3.5. (第8题) 9. 3<r<5 [解析] 如 图,在 Rt△BCD 中,CD=AB=3,BC=4, 则BD=5.由图,可知3<r<5. (第9题) 10. (-3,0) [解析] 如图,连接 OP、OM,OM 交☉M 于点P'.∵ 点 M 的坐标为(3,4),∴ 易得OM= 32+42 = 5.∵ PA ⊥ PB, ∴ ∠APB=90°.∵ 点A、B 关于原 点对称,∴ AO=BO,即O 为AB 的 中点.∴ OA=OB=OP=12AB. 当 线段AB 最短时,线段OP 最短,此时 点P 位于点P'的位置,△ABP 位于 △A'B'P'的位置.∵ OM=5,MP'= 2,∴ OP'=3.∴ OA'=3.∵ 点A'在 点B'的左侧,∴ 点A'的坐标为(-3, 0),即当线段AB 最短时,点A 的坐 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 标为(-3,0). (第10题) 11. 11 2 [解析] 如图,∵ C为平面内 一点,BC=1,∴ 点C 在以点B 为圆 心、1为半径的圆上.∵ 点A、B 的坐 标分别为(6,0)、(0,8),∴ OA=6, OB=8.在x轴的负半轴上取点D,使 OD=OA=6,连接CD.∵ M 为AC 的中 点,∴ AM =CM.∴ OM 是 △ACD 的中位线.∴ OM=12CD. 当OM 的长最大时,CD 的长也最大. 易得此时D、B、C 三点共线,且点C 在DB 的延长线上.∵ OB=8,OD= 6, ∠BOD = 90°, ∴ BD = OB2+OD2=10.∴ CD=BD+ BC=11.∴ OM=12CD= 11 2 ,即OM 长的最大值为11 2. (第11题) 12. 如图,连接OC. ∵ ∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴ AB= AC2+BC2= 62+82=10. (1) ∵ 点A、B、C都在☉O 上, ∴ R=OA=OB=OC=5. (2) ∵ 点O、A、C 中有两个点在☉B 内,有一个点在☉B 外, ∴ 8<r<10. (第12题) 13. (1) 如图,连接AD,取AC 的中 点O,连接OD、OM. ∵ △ABC是等边三角形,D 是BC的 中点, ∴ AD⊥BC. ∵ AM⊥CM, ∴ ∠ADC=∠AMC=90°. ∵ OA=OC, ∴ OD=OA=OC=OM. ∴ A、D、C、M 四点在同一个圆上. (2) 如图,连接OB. ∵ AB=AC=BC=2,AO=OC=1, ∴ BO⊥AC. ∴ BO = AB2-AO2 = 22-12=3. ∵ OM=OA=OC=1,OB-OM≤ BM≤OB+OM, ∴ 3-1≤BM≤3+1. ∴ BM 长的最大值为 3+1,最小值 为3-1. (第13题) 14. (1) ∵ DF⊥CE, ∴ ∠CFD=90°. ∴ ∠CDF+∠FCD=90°. ∵ ∠BEC=90°, ∴ ∠BEC=∠CFD. ∵ 四边形ABCD 为菱形, ∴ BC=CD. 在Rt△BCE 和Rt△CDF 中, BC=CD, CE=DF, ∴ Rt△BCE≌Rt△CDF. ∴ ∠BCE=∠CDF. ∴ ∠CDF + ∠FCD = ∠BCE + ∠FCD=90°,即∠BCD=90°. ∴ 菱形ABCD 是正方形. (2) 如图,连接AF、ED. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ ∠ADC=90°,AD=CD. ∵ F 为CE 的中点,DF⊥CE, ∴ DF 是CE 的垂直平分线. ∴ DE=DC=AD. ∴ ∠DAE = ∠DEA,∠DEC = ∠DCE. ∵ ∠DAE + ∠DEA + ∠ADE = 180°,∠DEC+∠DCE+∠CDE= 180°, ∴ ∠DEA = 180°-∠ADE2 , ∠DEC=180°-∠CDE2 . ∴ ∠AEF = ∠DEA + ∠DEC = 180°- 12 (∠ADE + ∠CDE)= 180°-45°=135°. ∴ ∠AEB=360°-135°-90°=135°. ∴ ∠AEF=∠AEB. ∵ △BCE≌△CDF, ∴ BE=CF=FE. 在△ABE 和△AFE 中, ∵ AE =AE,∠AEB = ∠AEF, EB=EF, ∴ △ABE≌△AFE. ∴ AB=AF. ∴ 点F 在以AB 为半径的☉A 上. (第14题) 第2课时 与圆有关的概念 1. D 2. B 3. 30° 4. 相等. 过点O 作OG⊥AB 于点G,OH⊥CD 于点H,连接OA、OC、OB、OD. ∵ O 是∠EPF 平分线上的一点, ∴ OG=OH. 在Rt△OBG 和Rt△ODH 中, ∵ OB=OD,OG=OH, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41