专题特训(十)一次函数与几何问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

∴ 直线y=2x+3与x 轴的交点的 坐标为 -32 ,0 . ∴ 直线CD 在平移的过程中与x 轴 的交 点 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是 -32≤x≤2. 14. -12或3 [解析] ① 若k<0,则 当x=-1时,y 有最大值17,即 -k+5=17,解得k=-12;② 若k> 0,则当x=4时,y 有最大值17,即 4k+5=17,解得k=3.综上所述,k 的值为-12或3. 15. (1) 在y=- 3 4x+6 中,当x= 0时,y=6. ∴ A(0,6). 当y=0时,- 3 4x+6=0 ,解得 x=8. ∴ B(8,0). (2) 如图,过点C 作CH⊥x 轴于 点H. ∵ CD=CB, ∴ DH=BH=12BD= 1 2× [8- (-4)]=6. ∴ OH=OB-BH=2. 当x=2时,y=- 3 4×2+6= 9 2. ∴ 点C的坐标为 2,92 . (3) 连接AD. ∵ △ACE 与△DOE 的面积相等, ∴ △DOC与△AOC的面积相等. ∴ 易得AD∥OC. 设直线AD 对应的函数表达式为y= kx+b. 把 A(0,6)、D (-4,0)代 入,得 b=6, -4k+b=0, 解得 k= 3 2 , b=6. ∴ 直线AD 对应的函数表达式为y= 3 2x+6. ∴ 直线OC对应的函数表达式为y= 3 2x. 联立 y=- 3 4x+6 , y= 3 2x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=83 , y=4. ∴ C 83 ,4 . ∴ △DOC的面积为12×4×4=8. 设Pt,-34t+6 . 当点 P 在 点C 下 方 时,S△PCD = S△BCD-S△PBD. ∵ △DOC与△PCD 的面积相等, ∴ 1 2×12×4- 1 2×12× -34t+ 6 =8,解得t=409. ∴ 此时点P 的坐标为 409 ,8 3 . 当点 P 在 点C 上 方 时,S△PCD = S△PBD-S△BCD. ∵ △DOC与△PCD 的面积相等, ∴ 1 2×12× - 3 4t+6 -12×12× 4=8,解得t=89. ∴ 此时点P 的坐标为 89 ,16 3 . 综上所述,点P 的坐标为 409 ,8 3 或 8 9 ,16 3 . (第15题) 专题特训（十）　一次函数 与几何问题 1. (1) ∵ 直线y=kx+b 与直线 y=-2x平行, ∴ k=-2. ∴ y=-2x+b. ∵ 直线y=-2x+b过点(1,3), ∴ 3=-2×1+b. ∴ b=5. (2) 由(1),得直线对应的函数表达式 为y=-2x+5, ∴ 当y=0时,-2x+5=0,解得x= 5 2 ;当x=0时,y=5. ∴ 直线与两坐标轴的交点坐标分别 是 5 2 ,0 、(0,5). ∴ 直线y=-2x+5与两坐标轴围成 的三角形的面积=12× 5 2×5= 25 4. 2. (1) 设直线AB 对应的函数表达式 为y=kx+b(k≠0). 把A(-2,0)、B(0,-1)代入,得 -2k+b=0, b=-1, 解得 k=- 1 2 , b=-1. ∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y=- 1 2x-1. (2) S△ABC= 1 2× [2-(-1)]×2=3, ∵ S△ABC= 1 2S△ABD , ∴ S△ABD=2S△ABC=2×3=6. ∴ 1 2|m- (-2)|×1=6,解得m= 10或m=-14. ∴ 点D 的坐标为(10,0)或(-14,0). 3. (1) 设直线l对应的函数表达式为 y=kx+b. 由 题 意, 得 0=3k+b, b=2, 解 得 k=-23 , b=2. ∴ 直线l对应的函数表达式为y= -23x+2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 (2) ∵ A(3,0)、B(0,2), ∴ OA=3,OB=2. 在 Rt△OAB 中,由 勾 股 定 理,得 AB2=OA2+OB2=32+22=13. ∵ △ABC为等腰直角三角形, ∴ S△ABC= 1 2AB 2=132. (3) ① 当点P 在y轴的正半轴上时, 如图①,S△ABP= 1 2AO ·BP=132. ∵ AO=3, ∴ BP=133. ∵ B(0,2)、P(0,a), ∴ a-2=133. ∴ a=193. ② 当点P 在y轴的负半轴上时,如图 ②,S△ABP=S△ABO+S△APO= 13 2. ∵ S△ABO= 1 2×2×3=3 , ∴ S△APO= 13 2-3= 7 2 ,即1 2AO · PO=72. ∴ PO=73. ∵ 点P 在y轴的负半轴上, ∴ a=-73. 综上所述,a=193 或a=-73. (第3题) 4. (1) ∵ 直线y= 1 2x+1 与x 轴、 y轴分别交于B、C两点, ∴ 令x=0,得y=1;令y=0,得 x=-2. ∴ B(-2,0)、C(0,1). (2) ∵ 点A(x,y)在第一象限内的直 线y= 1 2x+1 上, ∴ S△AOB= 1 2OB ·y=3. 由(1),知B(-2,0), ∴ OB=2. ∴ y=3. 当y=3时,x=4, ∴ A(4,3). (3) 存在. 设P(m,0). ∵ A(4,3), ∴ OA = 42+32 = 5,AP = (4-m)2+9,OP=|m|. ① 当OA=OP=5时,即|m|=5,解 得m=5或m=-5. ∴ 点P 的坐标为(5,0)或(-5,0). ② 当 AP = OP 时, 即 (4-m)2+9=|m|,整理,得8m= 25,解得m=258. ∴ 点P 的坐标为 258 ,0 . ③ 当 OA = AP 时, 即 (4-m)2+9=5,即(4-m)2=16, 解得 m =0(不 合 题 意,舍 去)或 m=8. ∴ 点P 的坐标为(8,0). 综上所述,点P 的坐标为(8,0)或 25 8 ,0 或(5,0)或(-5,0). 5. (1) 设直线AB 对应的函数表达式 为y=kx+b. 把 A (5,0)、B (0,8)代 入,得 5k+b=0, b=8, 解得 k=- 8 5 , b=8. ∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y=- 8 5x+8. (2) 如图①,过点D 作DM⊥OB 于 点M. ∴ ∠ODM+∠DOM=90°. ∵ 点C、O 关于直线AP 对称, ∴ AP⊥OC. ∴ ∠DOM+∠APO=90°. ∴ ∠ODM=∠APO. ∵ A(5,0), ∴ AO=5. 在△ODM 和△APO 中, ∠OMD=∠AOP=90°, ∠ODM=∠APO, OD=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ODM≌△APO. ∴ OM=AO=5,即yD=5. 在y=- 8 5x+8 中,当y=5时, x=158 , ∴ D 158 ,5 . (3) 如图②,延长EC 交y轴于点F, 过点C作CN⊥x轴于点N. ∵ A(5,0)、B(0,8),E 是AB 的 中点, ∴ E 52 ,4 ,OA=5,OB=8. ∵ CE∥OA,CN⊥x轴,FO⊥x轴, ∴ 易得CF⊥OF,CF=ON,CN= OF. ∵ FE∥OA,CN⊥x轴,E 52 ,4 , ∴ CN=OF=4. 设OP=x,则 FP=OF-OP= 4-x. ∵ 点C、O 关于直线AP 对称, ∴ CA=OA=5,OP=CP=x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 ∴ NA = AC2-CN2 = 52-42=3. ∴ FC=ON=OA-NA=5-3=2. 在Rt△CFP 中,FC2+FP2=CP2, ∴ 22+(4-x)2=x2,解得x=52. ∴ OP=52. (第5题) 6. (1) 由y=2x+6,易得A(-3,0), C(0,6). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0). ∴ 6k+b=0, b=6, 解得 k=-1 , b=6. ∴ 直线 BC 对应的函数表达式为 y=-x+6. (2) 当AC=DC 时,有1个符合条件 的点,坐标为(3,0). 当AD=AC 时,有2个符合条件的 点,坐标为(-3+ 45,0)和(-3- 45,0). 当AD=CD 时,有1个符合条件的 点,坐标为 9 2 ,0 . 综上所述,满足条件的点D 的坐标为 -3+ 45,0 或 -3- 45,0 或 (3,0)或 92 ,0 . (3) ∵ A(-3,0)、C(0,6)、B(6,0), ∴ AB=9. ∴ S△ABC= 1 2×9×6=27. 设G(m,-m+6),0<m<6. ① 当S△ABG∶S△ACG=1∶2时,即 S△ABG= 1 3S△ABC=9 , ∴ 1 2×9 (-m+6)=9. ∴ m=4. ∴ G(4,2). ② 当S△ABG∶S△ACG=2∶1时,即 S△ABG= 2 3S△ABC=18 , ∴ 1 2×9 (-m+6)=18. ∴ m=2. ∴ G(2,4). 综上所述,点G的坐标为(4,2)或(2,4). 6.4　用一次函数解决问题 第1课时 用一次函数解决 实际问题 1. C 2. D 3. 12.5 4. 24 5. (1) ∵ 购买A奖品的数量为x件, ∴ 购买B奖品的数量为(100-x)件. 根 据 题 意, 得 10x+25(100-x)≤1375, x≤4(100-x), 解 得 75≤x≤80. ∴ 购买A奖品的数量范围是75件至 80件(包括75件和80件). (2) 由(1),可得W=10x+25(100- x)=-15x+2500(75≤x≤80), ∵ -15<0, ∴ W 随x的增大而减小. ∴ 当x=80时,W 取得最小值,最小 值为-15×80+2500=1300. 6. C 7. B [解析] 设超过200元的部分 可以享受的优惠是打n折.根据题意, 得y=200+(x-200)× n 10. 由题图, 可知当x=500时,y=410,即410= 200+(500-200)×n10 ,解得n=7. ∴ 超过200元的部分可以享受的优 惠是打7折. 8. -1 9. 3<x≤4 10. (1) 方案一:y=3×36+18(x- 3)=18x+54(x≥3); 方案二:y=(3×36+18x)×80%= 72 5x+ 432 5 (x≥3). ∴ 方案一与方案二中y与x 之间的 函数表达式分别为y=18x+54(x≥ 3)和y= 72 5x+ 432 5 (x≥3). (2) ① 当18x+54>725x+ 432 5 时,解 得x>9. ② 当18x+54=725x+ 432 5 时,解得 x=9. ③ 当18x+54<725x+ 432 5 时,解得 x<9. 又∵ x≥3, ∴ 3≤x<9. ∴ 当x>9时,选择方案二购票师生 门票总费用较少;当x=9时,选择方 案一或方案二师生门票总费用一样 多;当3≤x<9,选择方案一购票师生 门票总费用较少. 11. A 12. (1) 由图像,可知当t=3时,水面 到达长方体铁块的上表面, ∴ 长方体铁块的高度为50-30= 20(cm). (2) 设BC所在直线对应的函数表达 式为y=kt+b(k、b为常数,且k≠0). 将(3,30)、(9,20)代入,得 3k+b=30, 9k+b=20, 解得 k=-53 , b=35. ∴ y=- 5 3t+35. 当该容器注满水时,y=0,即- 5 3t+ 35=0,解得t=21. ∴ 该 容 器 注 满 水 所 用 的 时 间 为 21min. (3) 设圆柱形容器的底面积为Scm2, 每分钟向容器内注水acm3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 108 　　　　 　专题特训（十）　一次函数与几何问题 ▶ “答案与解析”见P52 类型一 一次函数与面积问题 1. (2024·高邮期末)已知直线y=kx+b与直 线y=-2x平行,且过点(1,3).求: (1) k、b的值. (2) 直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角 形的面积. 2. (2024·衢州期末)如图,在平面直角坐标系 中(O 为坐标原点),点A 的坐标为(-2,0), 点B的坐标为(0,-1),点C的坐标是(0,2). (1) 求直线AB 对应的函数表达式. (2) 设D(m,0)为x 轴上一点,且S△ABC= 1 2S△ABD ,求点D 的坐标. (第2题) 3. (2023·长沙期中)如图,直线l与x 轴、y轴 分别交于点A(3,0)、B(0,2),以线段AB 为 直 角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC,∠BAC=90°,P(0,a)为y 轴上一个 动点. (1) 求直线l对应的函数表达式. (2) 求△ABC 的面积. (3) 当△ABC 与△ABP 的面积相等时,求实 数a的值. (第3题) 类型二 一次函数与存在性问题 4. (2024·济南章丘期中)如图,直线y= 1 2x+ 1与x轴、y轴分别交于B、C 两点. (第4题) (1) 求B、C 两点的坐标. (2) 若A(x,y)是第一象限内的直线y= 1 2x+1 上的一个动点,则当点A 运动到什么 位置(求出点A 的坐标)时,△AOB 的面积 是3? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 109 (3) 在(2)成立的情况下,x 轴上是否存在点 P,使△POA 是等腰三角形? 若存在,求出 点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 类型三 一次函数与动态性问题 答案讲解 5. (2024·衢州开化期末)如图①,直 线AB 分别与x 轴、y 轴交于点 A(5,0)、B(0,8),P 为线段BO 上 的动点,点C、O 关于直线AP 对称,连接 AC、CP. (1) 求直线AB 对应的函数表达式. (2) 如图②,连接OC 并延长,交AB 于点D. 若OD=AP,求点D 的坐标. (3) 如图③,E 是AB 的中点,连接CE.当 CE∥OA 时,直接写出OP 的长. (第5题) 类型四 一次函数与等腰三角形问题 答案讲解 6. (2024·眉山东坡期中)如图,在平 面直角坐标系中,直线y=2x+6与 x轴、y轴分别交于点A、C,经过点 C 的直线与x轴交于点B(6,0). (1) 求直线BC 对应的函数表达式. (2) 已知D 是x轴上一点,且△ACD 是等腰 三角形,直接写出点D 的坐标. (3) G 是线段BC 上一动点,若直线AG 把 △ABC 的面积分成1∶2的两部分,求点G 的坐标. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次函数