1.4.3 几何图形相关问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

矩形菜地的宽为xm,则长为(x+ 3)m.根据题意,得x(x+3)=180,解 得x1=12,x2=-15(不合题意,舍 去).∴ x+3=15.∴ 这块矩形菜地 的长为15m,宽为12m.∴ 李叔叔原 来的菜地的周长为2×(15+12)= 54(m). 10. (1) ∵ AB=x米, ∴ AD=(40-x)米. 由题意,得x(40-x)=300,解得 x1=10,x2=30,即 x 的 值 为10 或30. (2) 花园的面积不能为400平方米. 理由:由题意,得x(40-x)=400,解 得x1=x2=20. ∴ 当x=20时,40-x=40-20=20. ∵ 20<24, ∴ 这棵树没有被围在矩形花园内. ∴ 要将这棵树围在矩形花园内(含边 界,不考虑树的粗细),则花园的面积 不能为400平方米. 11. 2 [解析] 设剪去的正方形的边 长为xcm,则易得长方体铁盒底面的 长为(10-2x)cm,宽为12÷2-x= (6-x)cm.根据题意,得(10-2x)· (6-x)=24,解得x1=2,x2=9(不合 题意,舍去).∴ 剪去的正方形的边长 为2cm. 12. (1) 设A社区居民人口有x 万 人,则 B社区居民人口有(7.5- x)万人. 依题意,得7.5-x≤2x,解得x≥2.5, 即A社区居民人口至少有2.5万人. (2) 依题意,得1.2(1+m%)2+1× (1+m%)×(1+2m%)=7.5× 76%. 设 m%=a,方 程 可 化 为1.2(1+ a)2+(1+a)(1+2a)=5.7. 化简,得32a2+54a-35=0,解得a= 0.5或a=-3516 (不合题意,舍去). ∴ m=50. ∴ m 的值为50. 第2课时 市场营销问题 1. A 2. 40 3. 设每张书签应降价x元,则每张可 获利(0.5-x)元,平均每天可售出 500+x0.1×200= (2000x+500)张. 依 题 意,得(0.5-x)(2000x+ 500)=270. 整理,得100x2-25x+1=0,解得 x1=0.2,x2=0.05. ∴ 每 张 书 签 应 降 价 0.2 元 或 0.05元. 4. B [解析] 设每个的售价为x元, 则每个的销售利润为(x-40)元,销 售量为180-10(x-52)=(700- 10x)个.根据题意,得(x-40)(700- 10x)=2000.整理,得x2-110x+ 3000=0,解得x1=50,x2=60.当 x=50时,700-10x=700-10×50= 200>180,不合题意,舍去.当x=60 时,700-10x=700-10×60=100< 180,符合题意.∴ 每个的售价应为 60元. 5. A [解析] 设该天生产的产品是 第x 档次,则该天的产量为[95- 5(x-1)]件,每件利润为[6+2(x- 1)]元.根据题意,得[6+2(x-1)]· [95-5(x-1)]=1120.整理,得 x2-18x+72=0,解得x1=6,x2= 12(不合题意,舍去).∴ 该天生产的 产品是第6档次. 6. 10 7. 100 [解析] 设该头盔的售价为 x元/件.由题意,得(x-80)(30- 0.2x)=200,整理,得x2-230x+ 13000=0,解得x1=100,x2=130. ∵ 80×(1+30%)=104(元),∴ 当 x=100时,100<104,符合题意;当 x=130时,130>104,不合题意,舍 去.∴ x=100,即该头盔的售价应为 100元/件. 8. (1) 设该种商品每次降价的百分 率为x. 依题意,得200(1-x)2=162,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意, 舍去). ∴ 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 为10%. (2) 设每件商品应降价y元. 根据题意,得(200-y-156)(20+ 5y)-150=1450,解 得 y1 =4, y2=36. ∵ 在每件的降价幅度不超过10元的 情况下, ∴ y=4. ∴ 每件商品应降价4元. 9. 10 [解析] 根据题意,得40(1- 4a%)× [250(1+a%)- (1+ 50%)×100]=40×(250-100)× 50%.整 理,得 (1-4a%)(100+ 2.5a)=75,即(a+25)(a-10)=0, 解得a1=-25(不合题意,舍去), a2=10.∴ a的值为10. 10. 根据题意,得200×(10-6)+ (10-x-6)(200+50x)+(4-6)· [600-200-(200+50x)]=1250. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. ∵ 售价不得低于进价, ∴ 10-x≥6,即x≤4. ∴ x=1符合题意. ∴ 第二周每个旅游纪念品的售价为 10-1=9(元). 第3课时 几何图形相关问题 1. C 2. A 3. 24 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 4. 设当△DPQ 的面积比△PBQ 的 面积大19.5cm2时,点P 的移动时间 为xs,则AP=xcm,BQ=2xcm. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD=6cm,BC=AD= 8cm. ∴ BP = (6-x)cm,CQ = (8- 2x)cm. 根 据 题 意,得 S△ADP +S△PBQ + S△CDQ+S△DPQ=S矩形ABCD. ∴ 1 2×8x+ 1 2×2x (6-x)+12× 6(8-2x)+ 12 ×2x(6-x)+ 19.5 =6×8. 化简,得4x2-20x+9=0,解得x1= 0.5,x2=4.5. 由题意,易得0<x≤4. ∴ x=0.5. ∴ 当△DPQ 的面积比△PBQ 的面 积大19.5cm2 时,点P 的移动时间 为0.5s. 5. D [解析] 如图,设AA'=xcm, 则A'D=(12-x)cm.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形,∴ ∠D =90°, AD=CD.∴ ∠DAC=45°.同理可证 ∠B'A'C'=45°.∵ △A'B'C'由 △ABC 沿 着 AD 方 向 平 移 得 到, ∴ A'B'⊥AD.∴ ∠A'EA=45°. ∴ ∠B'A'C'=∠A'EA=∠DAC. ∴ A'F∥EC,A'E=AA'=xcm. ∵ A'E∥CF,∴ 四边形A'ECF 为平 行四边形.∴ 易得S▱A'ECF=A'E· A'D=x(12-x)=32,解得x1=4, x2=8. (第5题) 6. 6 5 [解析] 如图,过点P 作PE⊥ CD 于点E.∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AD=BC=6cm,AB=CD= 14cm.当移动时间为ts时,AP= 4tcm,PB=(14-4t)cm,CQ=tcm. 易知四边形BPEC 是矩形,∴ CE= PB=(14-4t)cm,PE=BC=6cm. ∴ QE=|14-4t-t|cm.在Rt△PEQ 中,由勾股定理,得 PE2+QE2= PQ2.∴ 62+|14-4t-t|2=102.整 理,得25t2-140t+132=0,解得t1= 22 5 ,t2= 6 5. 又∵ 14-4t≥0,∴ t≤ 7 2.∴ t=65.∴ 当t=65 时,P、Q 两 点之间的距离是10cm. (第6题) 7. 2 [解析] 在Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB=10cm,BC=6cm,∴ 易得 AC=8cm.∵ 8÷1=8(s),6÷2= 3(s),∴ 当运动时间为t(0<t≤3)s 时,AP=tcm,CP=(8-t)cm,CQ= 2tcm.根据题意,得12CQ ·CP= 1 2× 1 2AC ·BC,即12×2t ·(8- t)=12× 1 2×8×6. 整理,得t2- 8t+12=0,解得t1=2,t2=6(不合题 意,舍去).∴ 当t=2时,PQ 平分 △ABC的面积. 8. 设经过ys后△PBQ 的面积为 12cm2. ① 当0≤y< 16 3 时,点P 在AB 上, ∴ PB=(16-3y)cm. ∴ 1 2PB ·BC=12,即 12 (16- 3y)×6=12,解得y=4. ② 当16 3≤y≤ 22 3 时,点P 在BC上, ∴ BP=(3y-16)cm,QC=2ycm. ∴ 1 2BP ·CQ=12 (3y-16)×2y= 12,解得y1=6,y2=- 2 3 (不合题意, 舍去). ③ 当22 3<y≤8 时,点P 在CD 上, ∴ 易得QP=CQ-PC=(22-y)cm. ∴ 1 2QP ·CB=12 (22-y)×6= 12,解得y=18(不合题意,舍去). 综上所述,经过4s或6s,△PBQ 的 面积为12cm2. 9. 17或754 [解析] 在Rt△ABC中, BC= AB2-AC2=24.分两种情况 讨论:① 当∠EDB'=90°时,如图①, 过点B'作B'F⊥AC,交AC的延长线 于点 F.由折叠的性 质,得 AB= AB'=25,BD=B'D.易得四边形 B'DCF 为矩形.∴ CD=B'F,CF= B'D.设BD=x,则B'D=CF=x, B'F=CD=24-x,AF=7+x.在 Rt△AFB'中,由勾股定理,得(7+ x)2+(24-x)2=252,即x2-17x= 0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2= 17.∴ BD=17.② 当∠DEB'=90° 时,如图②,此时点E 与点C 重合.由 折叠 的 性 质,得 AB=AB'=25, ∴ B'C=25-7=18.设BD=y,则 B'D=y,CD=24-y.在Rt△B'CD 中,由勾股定理,得(24-y)2+182= y2,解得y= 75 4.∴ BD=754. 综上所 述,BD 的长是17或754. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 (第9题) 10. (1) 当0<t<10时,点P 在线段 AB 上,此时CQ=tcm,PB=(10- t)cm. ∴ S=12×t (10-t)=12 (10t-t2). 当t=10时,易得无法构成△PCQ. 当t>10时,点P 在AB 的延长线上, 此时CQ=tcm,PB=(t-10)cm. ∴ S=12×t (t-10)=12 (t2-10t). 综 上 所 述, S = 1 2 (10t-t2)(0<t<10), 1 2 (t2-10t)(t>10). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) ∵ △ABC 的面积= 12AB · BC=50cm2, ∴ 当t<10时,12 (10t-t2)=50. 整理,得t2-10t+100=0,此方程 无解. 当t>10时,12 (t2-10t)=50. 整理,得t2-10t-100=0,解得t1= 5+55,t2=5-55(不合题意,舍去). ∴ 当点P 运动(5+55)s时,△PCQ 的面积等于△ABC的面积. (3) 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 如图,当点P 在点B 的左侧时,过点 Q 作QM⊥AC,交直线AC 于点M, 连 接 QE、PM,易 证 △APE ≌ △QCM. ∴ 易得 AE=PE=CM =QM = 2 2tcm ,四边形PEQM 是平行四边 形,且DE=12EM. 又∵ EM=EC+CM=EC+AE= AC=102cm, ∴ DE=52cm. ∴ 当点P、Q 运动时,线段DE 的长 度不会改变. 同理,当点P 在点B 右侧时,DE= 52cm. 综上所述,当点P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会改变. (第10题) 专题特训（三）　一元二次 方程的应用 1. 设这个两位数的个位上的数字为 x,则十位上的数字为6-x. 由题意,得x(6-x)= 13 [10(6- x)+x],解得x1=4,x2=5. 当x=4时,十位上的数字为2; 当x=5时,十位上的数字为1. ∴ 这个两位数是15或24. 2. 设每轮1人要向x人发送短信. 根据题意,得x(1+x)=56,解得 x1=7,x2=-8(不合题意,舍去). ∴ 每轮1人要向7人发送短信. 3. (1) 设B型设备每小时铺设路面 x米,则A型设备每小时铺设路面 (2x+30)米. 由题意,得32x+32(2x+30)= 4800,解得x=40. ∴ 2x+30=110. ∴ A型设备每小时铺设路面110米. (2) 根据题意,得40(32+m+25)+ (110-3m)(m+32)=4800+1000, 解得 m1=18,m2=0(不合题意, 舍去). ∴ m 的值是18. 4. (1) (80-x);x100 (80-x). (2) 根据表格提供的数据,可以知道 x≥50. 根据9月用水情况,可以列出方程: 10+x100 (85-x)=25,解得x1=60, x2=25. ∵ x≥50, ∴ x=60. ∴ x的值是60. 5. (1) 如图①,取AB 的中点M,连接 EM. ∵ 四边形ABCD 是正方形,E 是对 角线AC的中点, ∴ AB=BC=CD=AD=8,EM 是 △ABC的中位线. ∴ AM=12AB=4 ,EM=12BC=4 , EM∥BC. ∴ ∠AME=∠B=90°. 当t=1时,AP=1, ∴ PM=AM-AP=3. ∴ PE = PM2+EM2 = 32+42=5. (2) ∵ 四边形PEQF 是平行四边形, ∴ PF=EQ,PF∥EQ. 当点F 恰好落在线段AB 上时,PF⊥ BC, ∴ EQ⊥BC. ∴ 易知此时Q 为BC的中点. ∴ EQ 是△ABC的中位线. ∴ BQ=12BC=4 ,EQ=12AB=4. ∴ PF=4. ∵ 动点Q 从点B 出发,以每秒2个 单位长度的速度先沿BC 方向运动到 点C, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 20 第3课时 几何图形相关问题 ▶ “答案与解析”见P8 1. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm, BC=7cm.点P 从点B 开始,沿边BA 向 点A 以2cm/s的速度移动,同时点Q 从点C 开始,沿边CB 向点B 以1cm/s的速度移 动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止 移动,连接PQ.当四边形APQC 的面积为 11cm2时,点P 的移动时间为 ( ) (第1题) A. 1s B. 1s或2.5s C. 2s D. 2s或5s 2. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm, BC=3cm,点P 以1cm/s的速度从点A 开 始,沿边AB 向点B 移动,点Q 以2cm/s的 速度从点B 开始,沿边BC 向点C 移动.当 点Q 移动到点C 时停止,点P 也随之停止移 动,连接PQ.如果点P、Q 分别从点A、B 同 时出 发,ts后 点 P、Q 之 间 的 距 离 为 42cm,那么t的值为 ( ) (第2题) A. 2 5 B. 2 C. 6 5 D. 2 5 或2 3. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶 数,那么它的周长为 . 4. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC= 8cm,点P 从点A 开始,沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动,同时点Q 从点B 开始, 沿边BC 以2cm/s的速度向点C 移动,当 P、Q 两点中有一个点到达终点时,另一个点 也停止移动,连接DP、PQ、DQ.当△DPQ 的面积比△PBQ 的面积大19.5cm2 时,求 点P 的移动时间. (第4题) 5. 如图,将边长为12cm的正方形ABCD 沿其 对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向 平移,得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分 的面积为32cm2,则△ABC 移动的距离AA' 等于 ( ) (第5题) A. 4cm B. 8cm C. 6cm D. 4cm或8cm 6. 如图,在矩形ABCD 中,CD=14cm,AD= 6cm,点P 从点A 出发,沿AB 以4cm/s的 速度向点B 移动,同时点Q 从点C 出发,沿 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 21 CD 以1cm/s的速度向点D 移动,两点同时 出发,当其中一点到达终点时,另一点也停止 移动,连接PQ.设移动时间为ts,则当t= 时,P、Q 两点之间的距离是10cm. (第6题) (第7题) 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB= 10cm,BC=6cm,现有动点P 从点A 出发, 沿AC 以1cm/s的速度向点C 运动,动点Q 从点C 出发,沿CB 以2cm/s的速度向点B 运动,P、Q 两点同时出发,当有一点到达所 在线段的端点时,另一点停止运动,连接 PQ.设运动时间为ts.当t= 时, PQ 平分△ABC 的面积. 答案讲解 8. 如图,在矩形ABCD 中,AB=16cm, BC=6cm,动点P、Q 分别以3cm/s、 2cm/s的速度从点A、C 同时出发, 沿规定路线移动.若点P 沿着A→B→C→D 移动,当点Q 从点C 沿CD 移动到点D 停止 时,点P 也随之停止移动,连接BQ,则经过 多长时间△PBQ 的面积为12cm2? (第8题) 答案讲解 9. 如图,在直角三角形纸片ABC 中, ∠C=90°,AC=7,AB=25,点D 在 边BC 上,沿AD 将△ADB 折叠, 得到△ADB',AB'与边BC 交于点E.如果 △EDB'为直角三角形,那么 BD 的长是 . (第9题) 10. 如图,等腰三角形ABC 的直角边AB= BC=10cm,点P、Q 分别从A、C 两点同时 出发,均以1cm/s的速度做直线运动,已知 点P 沿射线AB 运动,点Q 沿边BC 的延 长线运动,PQ 与直线AC 相交于点D.设 点P 运动时间为ts,△PCQ 的面积为 Scm2. (1) 用含t的代数式表示S. (2) 当点P 运动几秒时,△PCQ 的面积等 于△ABC 的面积? (3) 作PE⊥AC 于点E,当点P、Q 运动 时,线段DE 的长度是否改变? 证明你的 结论. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程