专题特训(三)线段的垂直平分线与角平分线-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

36 　 专题特训（三）　线段的垂直平分线与角平分线 ▶ “答案与解析”见P18 类型一 利用垂直平分线的性质求线段的长 1. 如图,在△ABC 中,边AB 的垂直平分线DE 分别与AB、AC 交于点D、E,边BC 的垂直 平分线FG 分别与BC、AC 交于点F、G.若 △BEG的周长为16,且GE=1,则AC的长为 ( ) A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点D、E,AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点F、G,连接AE、AG.若△AEG 的周长为10,则线段BC 的长为 . 3. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,EF 垂 直平分AC,交AC 于点F,交BC 于点E,且 BD=DE.若△ABC 的周长为15.6cm, AC=6cm,求DC 的长. (第3题) 类型二 利用线段的垂直平分线的性质构造 全等三角形 4. 如图,AB=CD,线段AC 的垂直平分线与线 段BD 的垂直平分线相交于点E.求证: ∠ABE=∠CDE. (第4题) 答案讲解 5. 如图①,射线BD 交△ABC 的外角 ∠ACF的平分线CE 于点P,∠A= 78°,∠BPC=39°,BC=7,AB=4. (1) 求证:BD 平分∠ABC. (2) 如图②,AC 的垂直平分线交BD 于点 Q,交AC 于点G,QM⊥BC 于点M,求MC 的长. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 37 类型三 利用角平分线的性质探究线段之间的 关系 6. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,DB 平 分∠ADC,CE 平分∠BCD,交AB 于点E, 交BD 于点O,连接ED.求证:点O 到EB 与 ED 的距离相等. (第6题) 7. ★如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB 于点E,点F 在AC 上,且 DF=DB.试判断AE、AF 与BE 之间的数 量关系,并说明理由. (第7题) 8. 如图,∠B=∠C=90°,M 是BC 的中点,DM 平分∠ADC,连接AM. (1) 求证:AM 平分∠BAD. (2) 线段DM 与AM 之间有怎样的位置关 系? 请说明理由. (3) 线段CD、AB、AD 之间有怎样的数量关 系? 请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形 ∴ ∠REF = ∠RED + ∠DEB + ∠BEF=28°+65°+37°=130°. ∵ ∠ARE=∠AFE=90°,∴ ∠CAM= 360°-90°-90°-130°=50°.∵ AE 平分 ∠CAM,∴ ∠CAE=12∠CAM=25°. ∴ ∠DOE = ∠CAE + ∠ACB = 25°+28°=53°.∵ ED ⊥ BC, ∴ ∠EDB=90°.∴ ∠AED=90°- ∠DOE=90°-53°=37°. (第9题) 10. 连接CO,过点O 作OM⊥BC, ON⊥AC,OH⊥AB,垂足分别为M、 N、H. ∵ AE、BF 是△ABC的角平分线, ∴ ON=OH,OM=OH. ∴ OM=ON. 在Rt△OEM 和Rt△OFN 中, OE=OF, OM=ON, ∴ Rt△OEM≌Rt△OFN. ∴ ∠EOM=∠FON. ∴ 易得∠EOF=∠MON=180°- ∠ACB. ∵ AE、BF 是△ABC的角平分线, ∴ 易得∠AOB=90°+12∠ACB. ∵ ∠AOB=∠EOF, ∴ 90°+12∠ACB=180°-∠ACB. ∴ ∠ACB=60°. 11. (1) 如图,过点P 作PC⊥OA 于 点C,PD⊥MN 于点D,PE⊥OB 于 点E. ∵ MP 平 分 ∠AMN,PC ⊥OA, PD⊥MN, ∴ PC=PD. ∵ NP 平 分 ∠MNB,PD ⊥MN, PE⊥OB, ∴ PD=PE. ∴ PC=PE. 又∵ PC⊥OA,PE⊥OB, ∴ OP 平分∠AOB. (2) ∵ △PMN 的面积是16,MN=8, ∴ 1 2MN ·PD=16, 即1 2×8PD=16. ∴ PD=4. ∴ PD=PC=PE=4. ∵ △OMN 的面积是24, ∴ 四边形MONP 的面积=△PMN 的面 积+△OMN 的 面 积=16+ 24=40. ∴ △POM 的面积+△PON 的面 积=40. ∴ 1 2OM ·PC+12ON ·PE=40, 即1 2OM ·4+12ON ·4=40. ∴ OM+ON=20. ∴ 线段OM 与ON 的长度之和为20. (第11题) 12. 50° [解析] 过点P 作PN⊥BD 于点N,PF⊥BA,交BA 的延长线于 点F,PM⊥AC 于点M.设∠PCD= x°.∵ CP 平分∠ACD,∴ ∠ACP= ∠PCD=x°,PM=PN.∵ BP 平分 ∠ABC,∴ ∠ABP=∠PBC,PF= PN.∴ PF =PM.∴ AP 平 分 ∠CAF.∴ ∠FAP = ∠MAP. ∵ ∠BPC = 40°,∴ ∠ABP = ∠PBC=∠PCD-∠BPC=x°- 40°.∴ ∠BAC=∠ACD-∠ABC= 2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°. ∴ ∠CAF =100°.∴ ∠FAP = ∠MAP=50°,即∠CAP=50°. 13. (1) 过点A 作AH⊥BC于点H. 在△ABC和△ADE 中, BC=DE, ∠C=∠E, CA=EA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE. ∴ S△ABC=S△ADE. ∴ 1 2BC ·AH=12DE ·AF. ∴ AH=AF. 又∵ AF⊥DE,AH⊥BC, ∴ GA 平分∠DGB. (2) ∵ △ABC≌△ADE, ∴ AB=AD. 在Rt△ADF 和Rt△ABH 中, AD=AB, AF=AH, ∴ Rt△ADF≌Rt△ABH. ∴ S△ADF=S△ABH. ∴ S四边形DGBA=S四边形AFGH=6. 在Rt△AFG 和Rt△AHG 中, AG=AG, AF=AH, ∴ Rt△AFG≌Rt△AHG. ∴ S△AFG=S△AHG=3. ∵ AF=32 , ∴ 1 2FG ·3 2=3. ∴ FG=4. 专题特训（三）　线段的 垂直平分线与角平分线 1. C [解析] ∵ DE 是边AB 的垂 直平分线,∴ EB=EA.∵ FG 是边 BC 的 垂 直 平 分 线,∴ GB=GC. ∵ △BEG 的 周 长 为16,∴ GB+ GE+EB=16.∴ GC+GE+EA= 16.∴ AC+GE+GE=16.∵ GE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 1,∴ AC=16-2=14. 2. 10 [解析] ∵ DE 是AB 的垂直 平分线,∴ EA=EB.∵ GF 是AC的 垂直平分线,∴ GA=GC.∵ △AEG 的周长为10,∴ EA+EG+GA= EB+EG+GC=10,即BC=10. 3. ∵ AD⊥BC,BD=DE, ∴ AD 垂直平分BE. ∴ AB=AE. 又∵ EF 垂直平分AC, ∴ AE=EC. ∴ AB=EC. ∵ △ABC 的周长为15.6cm,AC= 6cm, ∴ 易得AB+BE+EC=9.6cm, 即2DE+2EC=9.6cm. ∴ DC=DE+EC=4.8cm. 4. 连接AE、CE. ∵ AC、BD 的垂直平分线相交于点E, ∴ AE=CE,BE=DE. 在△ABE 和△CDE 中, AB=CD, AE=CE, BE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDE. ∴ ∠ABE=∠CDE. 5. (1) ∵ ∠ACF=∠A+∠ABF, ∠ECF=∠BPC+∠DBF, ∴ ∠ABF=∠ACF-78°,∠DBF= ∠ECF-39°. ∵ CE 平分∠ACF, ∴ ∠ACF=2∠ECF. ∴ ∠ABF = 2∠ECF - 78°= 2(∠ECF-39°)=2∠DBF. ∴ BD 平分∠ABC. (2) 如图,连接AQ、CQ,过点Q 作 QN⊥BA,交BA 的延长线于点N. ∵ QG 垂直平分AC, ∴ AQ=CQ. ∵ BD 平 分 ∠ABC,QM ⊥BC, QN⊥BA, ∴ QM=QN. ∴ Rt△QNA≌Rt△QMC. ∴ NA=MC. ∵ QN=QM,BQ=BQ, ∴ Rt△QNB≌Rt△QMB. ∴ BN=BM. ∴ BC=BM+MC=BN+MC= AB+NA+MC. ∴ 7=4+2MC. ∴ MC=1.5. (第5题) 6. ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADC+∠BCD=180°. ∵ DB 平分∠ADC,CE 平分∠BCD, ∴ ∠ODC= 12 ∠ADC ,∠OCD = ∠OCB=12∠BCD. ∴ ∠ODC+∠OCD=12 (∠ADC+ ∠BCD)=90°. ∴ ∠DOC=90°. ∴ ∠DOC=∠BOC=90°. 又∵ CO=CO,∠OCD=∠OCB, ∴ △DCO≌△BCO. ∴ CD=CB. 又∵ ∠DCE=∠BCE,CE=CE, ∴ △DCE≌△BCE. ∴ ∠DEC=∠BEC. ∴ EC平分∠BED. ∴ 点O 到EB 与ED 的距离相等. 7. AF+BE=AE. 理由:∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∠C=90°, ∴ DC=DE. 在Rt△DCF 和Rt△DEB 中, DF=DB, DC=DE, ∴ Rt△DCF≌Rt△DEB. ∴ FC=BE. 在Rt△DCA 和Rt△DEA 中, AD=AD, DC=DE, ∴ Rt△DCA≌Rt△DEA. ∴ AC=AE. ∴ AF+FC=AE, 即AF+BE=AE. 探求以角平分线为背景的 线段的数量关系问题 探求这类问题时,往往需要运 用角平分线的性质构造全等三角 形,寻找问题条件下隐含的相等线 段,并且根据它们之间的相等关系, 确定考察对象之间的数量关系. 8. (1) 过点M 作ME⊥AD 于点E. ∵ ∠C=90°,ME⊥AD,DM 平分 ∠ADC, ∴ ME=MC. ∵ M 是BC的中点, ∴ MB=MC. ∴ ME=MB. 又∵ ME⊥AD,∠B=90°, ∴ AM 平分∠BAD. (2) DM⊥AM. 理由:∵ DM 平分∠ADC,AM 平 分∠BAD, ∴ ∠ADM=12∠ADC ,∠DAM= 1 2∠BAD. ∵ ∠B+∠C=90°+90°=180°, ∴ CD∥AB. ∴ ∠ADC+∠BAD=180°. ∴ ∠ADM+∠DAM=90°. ∴ ∠DMA =180°- (∠ADM + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 ∠DAM)=90°,即DM⊥AM. (3) CD+AB=AD. 理由:∵ ME⊥AD, ∴ ∠DEM=90°=∠C. 在Rt△DCM 和Rt△DEM 中, DM=DM, MC=ME, ∴ Rt△DCM≌Rt△DEM. ∴ CD=ED. 同理,可得AE=AB. ∵ ED+AE=AD, ∴ CD+AB=AD. 2.5　等腰三角形的轴对称性 第1课时 等腰三角形的性质 1. D 2. A 3. 60° 4. 25 5. (1) 如图,连接AE. ∵ EF 垂直平分AB, ∴ AE=BE. ∵ BE=AC, ∴ AE=AC. ∵ D 是EC的中点, ∴ AD⊥BC. (2) 设∠B=x. ∵ AE=BE, ∴ ∠BAE=∠B=x. 由三角形的外角的性质,得∠AEC= 2x. ∵ AE=AC, ∴ ∠AEC=∠C=2x. 在△ABC 中,x+2x+75°=180°,解 得x=35°. ∴ ∠B=35°. (第5题) 6. B 7. D 8. 25° [解 析] ∵ AD =AE, ∴ ∠ADE=∠AED.∵ ∠B=∠C, ∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC= ∠B+∠BAD,∴ ∠B+∠BAD= ∠EDC+∠C+∠EDC,即∠BAD= 2∠EDC. ∵ ∠BAD = 50°, ∴ ∠EDC=25°. 9. 100° [解析] 如图,连接 OB. ∵ OD 垂直平分AB,∴ OA=OB. ∴ ∠A=∠ABO.∴ ∠AOB=180°- 2∠ABO.∵ OE 垂 直 平 分 BC, ∴ OC =OB.∴ ∠C = ∠CBO. ∴ ∠COB = 180° - 2∠CBO. ∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°, ∴ ∠AOC=360°-(180°-2∠CBO+ 180°-2∠ABO)=2(∠CBO + ∠ABO)=2∠ABC=2×50°=100°. (第9题) 10. (1) ∵ AB∥CD, ∴ ∠ABD=∠EDC. 在△ABD 和△EDC中, ∠1=∠2, ∠ABD=∠EDC, AB=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EDC. ∴ DB=CD. (2) ∵ △ABD≌△EDC, ∴ ∠A=∠DEC=120°. ∵ ∠BDC=2∠1, ∴ ∠BDC=2∠2. ∵ ∠BDC+∠2+∠DEC=2∠2+ ∠2+120°=180°, ∴ ∠2=20°. ∴ ∠BDC=40°. ∵ DB=CD, ∴ ∠DBC=∠DCB= 12 (180°- ∠BDC)=12× (180°-40°)=70°. 11. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=100°, ∴ ∠ABC=∠ACB=40°. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠DBC=20°. ∵ BD=AB, ∴ ∠ADB=∠DAB=80°. ∴ ∠CAD=20°. ∴ ∠CAD=∠DBC. (2) 如图,延长 AD 到点E,使得 AE=BC,连接EC. ∵ AB=AC,BD=AB, ∴ BD=AC. 又∵ BC=AE,∠CAD=∠DBC, ∴ △DBC≌△CAE. ∴ CD=EC,∠BDC=∠ACE. ∴ ∠CDE=∠CED. 设∠CDE=∠CED=α. ∵ ∠ADB=80°, ∴ ∠BDE=100°. ∴ ∠BDC=∠ACE=100°+α. ∵ 在△ACE 中,20°+100°+α+ α=180°, ∴ α=30°. ∴ ∠BDC=130°. (第11题) 12. 36°或45° [解析] 如图①,在 △ABC 中,∵ AB=AC,BD=AD, AC=CD,∴ ∠B=∠C=∠BAD, ∠CAD = ∠CDA.∵ ∠CDA = ∠B+∠BAD=2∠B,∴ ∠BAC= 3∠B.∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴ 5∠B=180°.∴ ∠B=36°.如图 ②,在△ABC 中,∵ AB=AC,AD= BD=CD,∴ ∠B=∠C=∠DAC= ∠DAB. ∴ ∠BAC = 2∠B. ∵ ∠BAC + ∠B + ∠C =180°, ∴ 4∠B=180°.∴ ∠B=45°.综上所 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02