1.2.4 因式分解法-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

10 第4课时 因式分解法 ▶ “答案与解析”见P4 1. 方程x2=5x的根是 ( ) A. x1=x2=5 B. x1=x2=0 C. x1=0,x2=5 D. x1=-5,x2=0 2. 一元二次方程x(x-2)+x-2=0的根为 ( ) A. x1=x2=-1 B. x1=x2=1 C. x1=2,x2=-1 D. x1=2,x2=1 3. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3 的解与(x-1)(x-4)=0的解相同,则a+ b+c的值为 . 4. 用因式分解法解下列方程: (1) x2+16x=0. (2) (3x+2)2-4x2=0. (3) 2x(x+3)-3(x+3)=0. (4) (x-3)(x-1)=3. 5. 已知关于x 的一元二次方程(a+c)x2+ 2bx+(b-c)=0,其中,a、b、c 分别是 △ABC 的三边长. (1) 如果x=-1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由. (2) 如果△ABC 是等边三角形,试求这个一 元二次方程的根. 6. (易错题)若x2-x-1=(x+1)0,则x 的 值为 ( ) A. 2或-1 B. 0或1 C. 2 D. -1 7. 方程2(x-3)2=9-x2的根是 ( ) A. x1=0,x2=3 B. x1=1,x2=-3 C. x1=1,x2=3 D. x1=x2=3 8. 若某三角形两边的长分别是方程x(x-9)+ 4(9-x)=0的两个实数根,则这个三角形第 三边的长可能是 ( ) A. 5 B. 10 C. 13 D. 14 9. 如图,数轴上点A 代表的数为3x+1,点B 代表的数为x2+2x.已知AB=5,且点A 在 数轴的负半轴上,则x的值为 . (第9题) 10. 若关于x的方程x2-2px+3q=0的两个 根分别是-3和5,则多项式2x2-4px+6q 可以分解因式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 11 11. 已知a为一元二次方程x2-4x+3=0的 根,则以a、a+2、4为三边长的三角形的周 长为 . 12. 阅读材料: 解方程:x2+|x-1|-1=0. 解:当x-1≥0,即x≥1时,原方程可化为 x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0,解得 x1=1,x2=-2(不合题意,舍去). 当x-1<0,即x<1时,原方程可化为x2- (x-1)-1=0,即x2-x=0,解得x3=0, x4=1(不合题意,舍去). 综上所述,原方程的解为x1=1,x2=0. 请按材料提供的方法解方程:x2+|x+ 3|-9=0. 答案讲解 13. 已知关于y的一元二次方程(m+ 1)y2-3my-9=0的根都是整数, 且 m 满 足 等 式 (1-m)2 = (1-m)2,则满足条件的所有整数m 的 和是 ( ) A. -5 B. -4 C. 0 D. -6 14. 解方程时,把某个式子看成一个整体,用一 个新的未知数去代替它,从而使方程得到简 化,这叫换元法.先阅读材料,再解方程. 解方程:2 x-3=0. 解:设 x=t(t≥0), ∴ 原方程化为2t-3=0. ∴ t=32 ,而t=32>0. ∴ x=32. ∴ x=94. (1) x+2 x-8=0. (2) x+ x-4-6=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 n1=n2=1.∴ ④不正确.综上所述, 正确的是①②. 8. D [解析] ∵ 直线y=2x+a不 经过第二象限,∴ a≤0.当a<0时, b2-4ac=22-4a=4-4a>0,∴ 方 程有两个不相等的实数根.当a=0 时,原方程可化为2x+1=0,∴ 实数 根的个数为1.综上所述,关于x的方 程ax2+2x+1=0的实数根的个数 为1或2. 9. -12 [解析] 设|x|=y,此方程 变形为y2-3y+2=0,解得y1=2, y2=1.∴ |x|=2或|x|=1.∴ x= ±2或x=±1.∴ 最小的根为-2,它 的倒数是-12. 10. 7 2 [解析] 由题意,可知b2- 4ac=4m2-2(-4m+1)=4m2+ 8m-2=0.∴ m2+2m=12.∴ (m- 2)2-2m(m-1)=-m2-2m+ 4=-(m2+2m)+4=-12+4= 7 2. 11. 先解方程y2+6y-49× 1 7=0 , 即y2 +6y-7=0,得 y1 =1, y2=-7. ∴ 方程49x2+6x-17=0 的两个根 是x1= 1 49 ,x2= -7 49 ,即x1= 1 49 , x2=- 1 7. 12. ±3或-5 [解析] ① 当原方程 是一元一次方程时,方程只有一个实 数根,则k2-9=0,解得k=±3. ② 当原方程是一元二次方程时,方程 有两个相等的实数根,即b2-4ac= 0.∴ 4(k+1)2-4(k2-9)=0,解得 k=-5.综上所述,k 的值为±3 或-5. 13. (1) ∵ b2-4ac=[-(3k+ 1)]2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1- 8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0, ∴ 无论k取何值,方程总有实数根. (2) ① 若a为底边长,则b、c为腰长. ∴ b=c. ∴ (k-1)2=0,解得k=1. ∴ 原方程可化为x2-4x+4=0. ∴ x1=x2=2. ∴ b=c=2,此时△ABC 的三边长为 6、2、2,不能构成三角形,舍去. ② 若a为腰长,则b、c中有一个为腰 长,不妨设b=a=6. 将x=6代入方程,得62-6(3k+ 1)+2k2+2k=0,解得k=3或k=5. 当k=3时,原方程可化为x2-10x+ 24=0,解得x1=4,x2=6. ∴ b=6,c=4,此时△ABC 的三边长 为6、6、4,能构成三角形. 当k=5时,原方程可化为x2-16x+ 60=0,解得x3=6,x4=10. ∴ b=6,c=10,此时△ABC 的三边 长为6、6、10,能构成三角形. ∴ △ABC的周长为6+6+4=16或 6+6+10=22. 解决一元二次方程与等腰 三角形问题的一般步骤 往往先根据一元二次方程根 的判别式与0的大小关系,确定方 程总有实数根,再根据三角形的形 状和已知边长分情况讨论方程根 的情况,求得方程中的待定系数及 其解,并结合三角形三边关系确定 三角形的三边长和周长.在特殊情 况下,也可以根据一元二次方程根 的判别式为完全平方式,直接运用 公式法求得方程的根,再分类讨论 求得符合条件的三角形的三边长 和周长. 第4课时 因式分解法 1. C 2. C 3. 3 4. (1) x1=0,x2=-16. (2) x1=-2,x2=- 2 5. (3) x1=-3,x2= 3 2. (4) x1=0,x2=4. 5. (1) △ABC是等腰三角形. 理由:把x=-1代入方程(a+c)· x2+2bx+(b-c)=0,得a+c-2b+ b-c=0. ∴ a=b. ∴ △ABC为等腰三角形. (2) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ a=b=c. ∴ 方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0 可化为 x2+x=0,解 得 x1=0, x2=-1. 6. C [解析] ∵ x2-x-1=(x+ 1)0,∴ x2-x-1=1,即(x-2)(x+ 1)=0,解得 x1=2,x2=-1.又 ∵ x+1≠0,即x≠-1,∴ x=2. 7. C [解析] ∵ 2(x-3)2=9-x2, ∴ 2(x-3)2+(x+3)(x-3)=0. ∴ (x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0, 即(x-3)(3x-3)=0.∴ x1=1, x2=3. 8. B [解析] 方程x(x-9)+4(9- x)=0可变形为(x-9)(x-4)=0, 解得x1=9,x2=4.∴ 9-4<三角形 第三边的长<9+4,即5<三角形第 三边的长<13.∴ 在四个选项中,这 个三角形第三边的长只可能是10. 9. -2 [解析] 根据题意,得x2+ 2x-(3x+1)=5.整理,得x2-x- 6=0,即(x-3)(x+2)=0,解得 x1=3,x2=-2.当x=3时,3x+1= 10>0,不符合题意,舍去;当x=-2 时,3x+1=-5<0,符合题意.∴ x 的值为-2. 10. 2(x+3)(x-5) [解析] ∵ x2- 2px+3q=0的两个根分别是-3和 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 5,∴ 2x2-4px+6q=2(x2-2px+ 3q)=2(x+3)(x-5). 11. 12 [解析] 解x2-4x+3=0,得 x1=1,x2=3.由题意,得a=1或3. 当a=1时,三边长为1、3、4.∵ 1+ 3=4,∴ 长为1、3、4的三条线段不能 组成三角形.当a=3时,三边长为3、 5、4.∵ 3+4>5,∴ 长为3、5、4的三 条线段能组成三角形.∴ 三角形的周 长为3+4+5=12. 12. 当x+3≥0,即x≥-3时,原方 程可化为x2+(x+3)-9=0,即 x2+x-6=0. 分解因式,得(x-2)(x+3)=0,解得 x1=-3,x2=2. 当x+3<0,即x<-3时,原方程可 化为x2-(x+3)-9=0,即x2-x- 12=0. 分解因式,得(x-4)(x+3)=0,解得 x3=4,x4=-3. 两个解都不符合x<-3,舍去. 综上所述,原方程的解为x1=-3, x2=2. 13. D [解析] ∵ m 满 足 等 式 (1-m)2=(1-m)2,∴ 1-m≥ 0,解得m≤1.由(m+1)y2-3my- 9=0,即(y-3)[(m+1)y+3]=0, 解得y1=3,y2=- 3 m+1.∵ m 是整 数,且关于y的一元二次方程(m+1)· y2-3my-9=0的根都是整数, ∴ m=0、-2、-4.∴ 满足条件的所 有整数m 的和是0-2-4=-6. 14. (1) 设 x=t(t≥0), ∴ 原方程化为t2+2t-8=0,解得 t1=2,t2=-4,而t=2>0. ∴ x=2. ∴ x=4. (2) 设 x-4=t(t≥0), ∴ 原方程化为t2+t-2=0,解得 t1=1,t2=-2,而t=1>0. ∴ x-4=1. ∴ x=5. 专题特训（一）　一元二次 方程解法的灵活应用 1. (1) 由原方程,得x2=36,解得 x1=6,x2=-6. (2) 整理,得x2=4,解得x1=2, x2=-2. 2. 由原方程,得x2+6x=8091. ∴ x2+6x+32=8091+32,即(x+ 3)2=8100. ∴ x+3=90或x+3=-90,解得 x1=87,x2=-93. 3. 原方程可变形为 2x2+3x- 22=0. ∵ a=2,b=3,c=-22, ∴ b2-4ac=32-4×2×(-22)= 25>0. ∴ x=-3± 25 22 . ∴ x1 = -3+5 22 = 22 ,x2 = -3-5 22 =-22. 4. (1) 原方程可变形为2x(x-3)+ (x-3)=0,得(x-3)(2x+1)=0. ∴ x1=3,x2=- 1 2. 未正确理解等式的基本性质 导致错误 解一 元 二 次 方 程 ax2=bx (a≠0)时,有的同学往往会直接将 方程变形为ax=b,得到方程的解 为x=ba ,没有考虑到在方程两边 同时除以的整式x必须是不等于0 的整式,从而导致出现失根(x=0) 的错误结果. (2) ∵ 2(4-x)2=x2-16, ∴ 2(x-4)2-(x+4)(x-4)=0. 分解因式,得(x-4)(x-12)=0. ∴ x-4=0或x-12=0,解得x1= 4,x2=12. 5. 设2x-5=y,则原方程可化为 y2-y-2=0,解得y1=2,y2=-1. 当y=2,即2x-5=2时,解得x= 3.5. 当y=-1,即2x-5=-1时,解得 x=2. ∴ 原方程的解为x1=3.5,x2=2. *1.3　一元二次方程的根 与系数的关系 1. A 2. C [解析] 设方程的另一个根为 a,根据题意,得-1+a=4,解得 a=5. 3. (1) 3 2 (2) 6 4. (1) 1- 5 (2) x=2 5. (1) ∵ 方程有两个不相等的实 数根, ∴ b2-4ac=(-4)2-4(m+1)= 16-4m-4=12-4m>0. ∴ m<3. (2) 由根与系数的关系,得x1+x2= 4,x1x2=m+1. 又∵ (x1-1)(x2-1)=-4, ∴ x1x2-(x1+x2)+1=-4. ∴ m+1-4+1=-4. ∴ m=-2. 6. D [解析] ∵ a是方程x2+x- 2023=0的 实 数 根,∴ a2+a- 2023=0.∴ a2 = -a+2023. ∴ a2+2a+b=-a+2023+2a+ b=2023+a+b.∵ a、b是方程x2+ x-2023=0的两个实数根,∴ a+ b=-1.∴ a2+2a+b=2023+ (-1)=2022. 7. A [解析] 由勾股定理,可得 AO2+BO2=25.由根与系数的关系, 得AO+BO=-2m+1,AO·BO= m2+3.∴ AO2+BO2=(AO+ BO)2-2AO·BO=(-2m+1)2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5