1.2.3 公式法与根的判别式-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

8 第3课时 公式法与根的判别式 ▶ “答案与解析”见P3 1. 若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为 相反数,则x的值为 ( ) A. 1或-32 B. 1或-23 C. -1或23 D. 1或32 2. 若关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+ m2+3=0有实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≥134 B. m≤-411 C. m≤-114 D. m<-114 3. 已知a、b满足|b-2|+ 3a+9=0,则关于 x 的方程(1-a)x2+bx=2-4a 的根是 . 4. 若关于x的一元二次方程x2+bx+4=0的 两个根中较小的一个根是m(m≠0),则b+ b2-16= (用含m 的代数式表示). 5. 小明在解方程x2-5x=1时出现了错误,其 解答过程如下: 解:∵ a=1,b=-5,c=1(第一步), ∴ b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21(第二步). ∴ x=5± 212 (第三步). ∴ x1= 5+ 21 2 ,x2= 5- 21 2 (第四步). (1) 小明的解答过程从第 步开始出 错,其错误原因是 . (2) 写出此题正确的解答过程. 6. (易错题)(2023·锦州)若关于x的一元二次 方程kx2-2x+3=0有两个实数根,则k的 取值范围是 ( ) A. k<13 B. k≤13 C. k<13 且k≠0 D. k≤13 且k≠0 7. (易错题)已知方程甲:ax2+2bx+a=0,方 程乙:bx2+2ax+b=0都是关于x的一元二 次方程(a≠b).有下列说法:① 若x=1是方 程甲的根,则x=1也是方程乙的根;② 若方 程甲有两个相等的实数根,则方程乙也有两 个相等的实数根;③ 若方程甲有两个不相等 的实数根,则方程乙也有两个不相等的实数 根;④ 若x=n既是方程甲的根,又是方程乙 的根,则n可以取1或-1.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ③④ C. ①②③④ D. ①②④ 8. 在平面直角坐标系中,若直线y=2x+a不 经过第二象限,则关于x 的方程ax2+2x+ 1=0的实数根的个数为 ( ) A. 0 B. 0或1 C. 2 D. 1或2 9. 方程x2-3|x|+2=0的最小一个根的倒数 是 . 10. 若关于x 的一元二次方程12x 2-2mx- 4m+1=0有两个相等的实数根,则(m- 2)2-2m(m-1)的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 9 答案讲解 11. 阅读材料: 关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的 根 是 x = -b± b2-4ac 2a . 关于y 的方程y2+by+ ac=0的根是y= -b± b2-4ac 2 . 因此,要 求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,只要 求出方程y2+by+ac=0的根,再除以a 就可以了. 例:解方程72x2+8x+16=0. 解:先解方程y2+8y+72× 1 6=0 ,得y1= -2,y2=-6. ∴ 方程72x2+8x+16=0 的两个根是 x1= -2 72 ,x2= -6 72 ,即x1=- 1 36 ,x2= -112. 请 按 材 料 提 供 的 方 法 解 方 程:49x2+ 6x-17=0. 12. 如果恰好只有一个实数a是关于x 的方程 (k2-9)x2-2(k+1)x+1=0的根,那么k 的值为 . 答案讲解 13. ★已知关于x 的方程x2-(3k+ 1)x+2k2+2k=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有 实数根. (2) 若等腰三角形ABC 的一边长a=6,另 两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求 △ABC 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 是正整数,∴ c=3.∴ △ABC的周长 为1+3+3=7. 10. (1) 把x=0代入方程,得a2- 4=0,解得a1=2,a2=-2. 由题意,得a+2≠0. ∴ a≠-2. ∴ a=2. (2) 把a=1代入方程,得3x2+3x- 3=0,即x2+x=1. 配方,得 x2 +x + 14 = 5 4 ,即 x+12 2 =54 ,解得x1=- 1 2+ 5 2 ,x2=- 1 2- 5 2. 11. (1) 1;小;3. (2) 2;大;7. (3) 设花 园 垂 直 于 墙 的 边 的 长 为 xm,则平行于墙的边的长为(20- 2x)m. ∵ x(20-2x)= -2x2+20x= -2(x2-10x+25)+50=-2(x- 5)2+50, ∴ 花园的面积为[-2(x-5)2+ 50]m2. ∵ -2(x-5)2≤0, ∴ -2(x-5)2+50≤50,即-2(x- 5)2+50有最大值50,此时x=5. ∴ 当花园垂直于墙的边的长为5m 时,花园的面积最大,最大面积是 50m2. 求ax2+bx+c的最大值 或最小值的一般方法 对于二次三项式ax2+bx+c 的最大值或最小值问题,往往先运 用配方法将它化成a(x+m)2+h 的形式,再根据(x+m)2≥0,结合 a与0的大小关系确定a(x+m)2 与0的大小关系,即当a>0时, a(x+m)2≥0,a(x+m)2+h≥h, 此时,该二次三项式有最小值,为 h;当a<0时,a(x+m)2≤0, a(x+m)2+h≤h,此时,该二次三 项式有最大值,为h. 12. 3 [解 析] 由 题 意,得 3x-y=3a2-6a+9, x+y=a2+6a-9, 解得 x=a2, y=6a-9. ∵ x≤y,∴ a2≤6a-9.整理,得 (a-3)2≤0.∴ a-3=0,解得a=3. 13. 0 [解析] ∵ (a2+4a+6)· (2b2-4b+7)≤10,∴ (a2+4a+4+ 2)(2b2-4b+2+5)≤10.∴ [(a+ 2)2+2][2(b-1)2+5]≤10.∴ 2(a+ 2)2(b-1)2+5(a+2)2+4(b-1)2+ 10≤10.∴ 2(a+2)2(b-1)2+5(a+ 2)2+4(b-1)2≤0.∵ 2(a+2)2(b- 1)2≥0,5(a+2)2≥0,4(b-1)2≥0, ∴ a+2=0,b-1=0.∴ a=-2,b= 1.∴ a+2b=-2+2=0. 14. 将原方程拆成两个二次三项式组 成的方程,得(a2x2-2abx+b2)+ (b2x2-2bcx+c2)=0. ∴ (ax-b)2+(bx-c)2=0. 又∵ a、b、c、x 都是实数,即(ax- b)2≥0,(bx-c)2≥0, ∴ ax-b=0,bx-c=0. 又∵ a、b均不为0, ∴ 易得c b= b a=x. 第3课时 公式法与根的判别式 1. B 2. C 3. x1= -1+ 57 4 ,x2= -1- 57 4 [解析] ∵ |b-2|+ 3a+9=0, ∴ b-2=0,3a+9=0.∴ b=2, a=-3.把b=2,a=-3代入方程 (1-a)x2+bx=2-4a,得4x2+ 2x-14=0.∴ x= -1± 574 . ∴ x1= -1+ 57 4 ,x2= -1- 57 4 . 4. -2m [解析] ∵ x2+bx+4=0 的两个根中较小的一个根是m(m≠ 0),∴ -b- b2-16 2 =m.∴ b+ b2-16=-2m. 5. (1) 一;原方程没有化成一般形式. (2) 把方程x2-5x=1化为一般形 式,得x2-5x-1=0. ∵ a=1,b=-5,c=-1, ∴ b2-4ac= (-5)2-4×1× (-1)=25+4=29>0. ∴ x=5± 292 . ∴ x1= 5+ 29 2 ,x2= 5- 29 2 . 6. D [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程kx2-2x+3=0有两个实数根, ∴ k≠0,且b2-4ac=(-2)2-4k× 3≥0.∴ k 的取值范围是k≤13 且 k≠0. 7. A [解析] 若x=1是方程甲的 根,则a+2b+a=0,即a=-b.∴ 方 程乙:bx2+2ax+b=0变为bx2- 2bx+b=0,解得x1=x2=1.∴ x=1 也是方程乙的根.∴ ①正确.若方程 甲有两个相等的实数根,则(2b)2- 4a·a=0,即4b2=4a2.∴ 4a2- 4b2=0.∴ 在方程乙:bx2+2ax+b= 0中,其根的判别式(2a)2-4b·b= 4a2-4b2=0.∴ 方程乙有两个相等 的实数根.∴ ②正确.若方程甲有两 个不相等的实数根,则(2b)2-4a· a>0,解得 4b2>4a2.∴ 4a2-4b2< 0.∴ 在方程乙:bx2+2ax+b=0中, 其根的判别式(2a)2-4b·b=4a2- 4b2<0.∴ 方 程 乙 没 有 实 数 根. ∴ ③不正确.若x=n既是方程甲的 根, 又 是 方 程 乙 的 根, 则 an2+2bn+a=0①, bn2+2an+b=0②. ①-②,得(a- b)n2-2(a-b)n+(a-b)=0. ∵ a≠b,∴ n2-2n+1=0,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 n1=n2=1.∴ ④不正确.综上所述, 正确的是①②. 8. D [解析] ∵ 直线y=2x+a不 经过第二象限,∴ a≤0.当a<0时, b2-4ac=22-4a=4-4a>0,∴ 方 程有两个不相等的实数根.当a=0 时,原方程可化为2x+1=0,∴ 实数 根的个数为1.综上所述,关于x的方 程ax2+2x+1=0的实数根的个数 为1或2. 9. -12 [解析] 设|x|=y,此方程 变形为y2-3y+2=0,解得y1=2, y2=1.∴ |x|=2或|x|=1.∴ x= ±2或x=±1.∴ 最小的根为-2,它 的倒数是-12. 10. 7 2 [解析] 由题意,可知b2- 4ac=4m2-2(-4m+1)=4m2+ 8m-2=0.∴ m2+2m=12.∴ (m- 2)2-2m(m-1)=-m2-2m+ 4=-(m2+2m)+4=-12+4= 7 2. 11. 先解方程y2+6y-49× 1 7=0 , 即y2 +6y-7=0,得 y1 =1, y2=-7. ∴ 方程49x2+6x-17=0 的两个根 是x1= 1 49 ,x2= -7 49 ,即x1= 1 49 , x2=- 1 7. 12. ±3或-5 [解析] ① 当原方程 是一元一次方程时,方程只有一个实 数根,则k2-9=0,解得k=±3. ② 当原方程是一元二次方程时,方程 有两个相等的实数根,即b2-4ac= 0.∴ 4(k+1)2-4(k2-9)=0,解得 k=-5.综上所述,k 的值为±3 或-5. 13. (1) ∵ b2-4ac=[-(3k+ 1)]2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1- 8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0, ∴ 无论k取何值,方程总有实数根. (2) ① 若a为底边长,则b、c为腰长. ∴ b=c. ∴ (k-1)2=0,解得k=1. ∴ 原方程可化为x2-4x+4=0. ∴ x1=x2=2. ∴ b=c=2,此时△ABC 的三边长为 6、2、2,不能构成三角形,舍去. ② 若a为腰长,则b、c中有一个为腰 长,不妨设b=a=6. 将x=6代入方程,得62-6(3k+ 1)+2k2+2k=0,解得k=3或k=5. 当k=3时,原方程可化为x2-10x+ 24=0,解得x1=4,x2=6. ∴ b=6,c=4,此时△ABC 的三边长 为6、6、4,能构成三角形. 当k=5时,原方程可化为x2-16x+ 60=0,解得x3=6,x4=10. ∴ b=6,c=10,此时△ABC 的三边 长为6、6、10,能构成三角形. ∴ △ABC的周长为6+6+4=16或 6+6+10=22. 解决一元二次方程与等腰 三角形问题的一般步骤 往往先根据一元二次方程根 的判别式与0的大小关系,确定方 程总有实数根,再根据三角形的形 状和已知边长分情况讨论方程根 的情况,求得方程中的待定系数及 其解,并结合三角形三边关系确定 三角形的三边长和周长.在特殊情 况下,也可以根据一元二次方程根 的判别式为完全平方式,直接运用 公式法求得方程的根,再分类讨论 求得符合条件的三角形的三边长 和周长. 第4课时 因式分解法 1. C 2. C 3. 3 4. (1) x1=0,x2=-16. (2) x1=-2,x2=- 2 5. (3) x1=-3,x2= 3 2. (4) x1=0,x2=4. 5. (1) △ABC是等腰三角形. 理由:把x=-1代入方程(a+c)· x2+2bx+(b-c)=0,得a+c-2b+ b-c=0. ∴ a=b. ∴ △ABC为等腰三角形. (2) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ a=b=c. ∴ 方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0 可化为 x2+x=0,解 得 x1=0, x2=-1. 6. C [解析] ∵ x2-x-1=(x+ 1)0,∴ x2-x-1=1,即(x-2)(x+ 1)=0,解得 x1=2,x2=-1.又 ∵ x+1≠0,即x≠-1,∴ x=2. 7. C [解析] ∵ 2(x-3)2=9-x2, ∴ 2(x-3)2+(x+3)(x-3)=0. ∴ (x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0, 即(x-3)(3x-3)=0.∴ x1=1, x2=3. 8. B [解析] 方程x(x-9)+4(9- x)=0可变形为(x-9)(x-4)=0, 解得x1=9,x2=4.∴ 9-4<三角形 第三边的长<9+4,即5<三角形第 三边的长<13.∴ 在四个选项中,这 个三角形第三边的长只可能是10. 9. -2 [解析] 根据题意,得x2+ 2x-(3x+1)=5.整理,得x2-x- 6=0,即(x-3)(x+2)=0,解得 x1=3,x2=-2.当x=3时,3x+1= 10>0,不符合题意,舍去;当x=-2 时,3x+1=-5<0,符合题意.∴ x 的值为-2. 10. 2(x+3)(x-5) [解析] ∵ x2- 2px+3q=0的两个根分别是-3和 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4