专题特训(二)添加辅助线构造全等三角形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

AC=CB, ∠ACD=∠B, CD=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△CBE. (2) 由(1),知∠ACD=∠B. ∵ ∠A=87°,∠D=32°, ∴ ∠ACD=180°-∠A-∠D = 180°-87°-32°=61°. ∴ ∠B=61°. 4. (1) AC⊥CE. 理由:∵ AB⊥BD,DE⊥BD, ∴ ∠B=∠D=90°. 在△ABC和△CDE 中, AB=CD, ∠B=∠D, BC=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△CDE. ∴ ∠A=∠DCE. ∵ ∠A+∠ACB=90°, ∴ ∠DCE+∠ACB=90°. ∵ ∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°, ∴ ∠ACE=90°. ∴ AC⊥CE. (2) AC⊥BE. 理由:记题图②中AC 与BE 的交点 为F. 由(1),知△ABC≌△BDE, ∴ ∠A=∠EBD. ∵ ∠A+∠ACB=90°, ∴ ∠EBD+∠ACB=90°. ∴ ∠BFC=90°. ∴ AC⊥BE. 5. DE=BE. 理由:在△ADC和△ABC中, DA=BA, AC=AC, DC=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△ABC. ∴ ∠DAC=∠BAC. 在△ADE 和△ABE 中, DA=BA, ∠DAE=∠BAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△ABE. ∴ DE=BE. 6. (1) 在△ABC和△BAD 中, AC=BD, BC=AD, AB=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△BAD. (2) ∵ △ABC≌△BAD, ∴ ∠CBA=∠DAB. ∵ OE⊥AB, ∴ ∠AEO=∠BEO=90°. 在△AOE 和△BOE 中, ∠OAE=∠OBE, ∠AEO=∠BEO, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△BOE. ∴ AE=BE. 7. (1) AE=BD;AE⊥BD. [解析] 如图①,延长BD 交AE 于点 H.∵ CE=CB,∠ACE=∠BCD= 90°,CA=CD,∴ △ACE≌△DCB. ∴ AE = DB,∠EAC = ∠BDC. ∵ ∠CBD + ∠CDB = 90°, ∴ ∠CBD + ∠EAC = 90°. ∴ ∠AHB=90°.∴ AE⊥BD. (2) 成立. 理由:如图②,设CE 与BD 相交于 点G. ∵ ∠ACD=∠BCE=90°, ∴ 易得∠ACE=∠BCD. 又∵ CE=CB,AC=CD, ∴ △ACE≌△DCB. ∴ AE=DB,∠AEC=∠DBC. ∵ ∠DBC+∠CGB=90°,∠EGF= ∠CGB, ∴ ∠AEC+∠EGF=90°. ∴ ∠AFB=90°. ∴ AE⊥BD. 综上所述,AE=BD,AE⊥BD. (第7题) 专题特训（二）　添加 辅助线构造全等三角形 1. 连接BC. 在△ABC和△DCB 中, AB=DC, AC=DB, BC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠A=∠D. 2. 如图,连接AC. 在△ACE 和△ACF 中, AE=AF, CE=CF, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△ACF. ∴ ∠EAC=∠FAC. 在△ACB 和△ACD 中, ∠BAC=∠DAC, ∠B=∠D=90°, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△ACD. ∴ CB=CD. (第2题) 3. 如图,延长FD 至点G,使得GD= DF,连接BG、EG. ∵ AD 是△ABC的中线, ∴ CD=BD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 在△DFC和△DGB 中, DF=DG, ∠CDF=∠BDG, CD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DFC≌△DGB. ∴ CF=BG. ∵ DE⊥DF, ∴ ∠FDE=∠GDE=90°. 在△EDF 和△EDG 中, DF=DG, ∠FDE=∠GDE, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EDF≌△EDG. ∴ EF=EG. 在△BEG 中,BE+BG>EG, ∴ BE+CF>EF. (第3题) 4. 如图,延长AM 到点E,使AM= ME,连接BE,延长A'M'到点E',使 A'M'=M'E',连接B'E'. ∵ AM 是边BC上的中线, ∴ BM=CM. 在△AMC和△EMB 中, AM=EM, ∠AMC=∠EMB, CM=BM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AMC≌△EMB. ∴ ∠MAC=∠E,AC=EB. 同理,可得∠E'=∠M'A'C',B'E'= A'C'. ∵ AC=A'C', ∴ BE=B'E'. ∵ AE=2AM,A'E'=2A'M',且 AM=A'M', ∴ AE=A'E'. 在△ABE和△A'B'E'中, AE=A'E', BE=B'E', AB=A'B', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△A'B'E'. ∴ ∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E'. 又∵ ∠E=∠MAC,∠E'=∠M'A'C', ∴ ∠MAC=∠M'A'C'. ∴ ∠BAM+∠MAC=∠B'A'M'+ ∠M'A'C',即∠BAC=∠B'A'C'. 在△ABC和△A'B'C'中, AB=A'B', ∠BAC=∠B'A'C', AC=A'C', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△A'B'C'. (第4题) 5. 如图,在AB 上截取AE,使AE= AC,连接PE. 在△AEP 和△ACP 中, AE=AC, ∠1=∠2, AP=AP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEP≌△ACP. ∴ PE=PC. 在△PBE 中,∵ BE>PB-PE, ∴ AB-AE>PB-PC,即 AB- AC>PB-PC. (第5题) 6. (1) ∵ 在△ABC中,∠B=60°, ∴ ∠BAC+∠ACB=180°-∠B= 180°-60°=120°. ∵ AD 平分∠BAC,CE 平分∠ACB, ∴ ∠OAC= ∠OAB= 12 ∠BAC , ∠OCD=∠OCA=12∠ACB. ∴ 在 △OAC 中,∠AOC=180°- (∠OAC + ∠OCA )= 180° - 1 2 (∠BAC+∠ACB)=180°-12× 120°=120°. (2) ∵ ∠AOC=120°, ∴ ∠AOE = ∠DOC = 180° - ∠AOC=180°-120°=60°. 如图,在 AC 上截取AF=AE,连 接OF. 在△AOE 和△AOF 中, AE=AF, ∠OAE=∠OAF, OA=OA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△AOF. ∴ ∠AOE=∠AOF=60°. ∴ ∠COF = ∠AOC - ∠AOF = 120°-60°=60°. 又∵ ∠COD=60°, ∴ ∠COD=∠COF. 在△COD 和△COF 中, ∠COD=∠COF, OC=OC, ∠OCD=∠OCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COD≌△COF. ∴ CD=CF. 又∵ AF=AE, ∴ AC=AF+CF=AE+CD,即 AE+CD=AC. (3) ∵ △AOE≌△AOF,△COD≌ △COF, ∴ OE=OF,OD=OF. ∴ OE=OD. (第6题) 7. EF=BE+CF. 理由:如 图,延 长 AB 到 点 M,使 BM=CF,连接MD. ∵ ∠ABD+∠C=180°,∠ABD+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∠MBD=180°, ∴ ∠MBD=∠C. 在△BDM 和△CDF 中, BD=CD, ∠MBD=∠C, BM=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDM≌△CDF. ∴ DM=DF,∠BDM=∠CDF. ∵ ∠EDB + ∠CDF = ∠CDB - ∠EDF=120°-60°=60°, ∴ ∠EDM = ∠EDB+ ∠BDM = 60°=∠EDF. 在△DEM 和△DEF 中, DE=DE, ∠EDM=∠EDF, DM=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEM≌△DEF. ∴ EM=EF. ∵ EM=BE+BM=BE+CF, ∴ EF=BE+CF. (第7题) 8. C [解析] 如图,延长AP 交BC 于 点 D.∵ BP 平 分 ∠ABD, ∴ ∠ABP=∠DBP.∵ BP⊥AP, ∴ ∠BPA=∠BPD=90°.又∵ BP= BP,∴ △BAP≌ △BDP.∴ AP= DP.∴ △BAP 的面积=△BDP 的 面积,△APC 的面积=△DPC 的面 积.∵ △ABC 的 面 积 为 12cm2, ∴ △PBC 的 面 积=△BDP 的 面 积+△DPC的面积=12△ABC 的面 积=12×12=6 (cm2). (第8题) 9. B [解析] 如图,过点E 作EF⊥ AD 于点F.∴ ∠AFE=∠DFE= 90°.∵ AB∥CD,∠C=90°,∴ ∠B+ ∠C=180°.∴ ∠B=90°.∵ AE、DE 分别平分∠BAD、∠CDA,∴ ∠BAE= ∠FAE,∠CDE=∠FDE.在△ABE 和△AFE 中,∵ ∠B=∠AFE=90°, ∠BAE = ∠FAE,AE = AE, ∴ △ABE≌△AFE.∴ AB=AF= 12.在△CDE 和△FDE 中,∵ ∠C= ∠DFE =90°,∠CDE = ∠FDE, ED =ED,∴ △CDE ≌ △FDE. ∴ CD=FD=4.∴ AD=AF+ FD=12+4=16. (第9题) 第1章复习 ［知识体系构建］ 完全重合 相等 相等 夹角 夹边 ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. 130° [解析] 设 ∠FAB、∠ABF、∠AFB 的度数分别 为4x、7x、25x,则4x+7x+25x= 180°,解 得 x =5°.∴ ∠FAB、 ∠ABF、∠AFB 的度数分别为20°、 35°、125°.∵ △ABF ≌ △ACF ≌ △DBF,∴ ∠CAF=∠BAF=20°, ∠DFB = ∠AFB = 125°. ∴ ∠AFE = 110°.∴ ∠AED = ∠CAF+∠AFE=130°. 典例2 答案不唯一,如BE=CD [跟踪训练] 2. (1) ∵ AB⊥DB, AC⊥EC, ∴ ∠ABD=∠ACE=90°. 在Rt△ADB 和Rt△AEC中, AD=AE, AB=AC, ∴ Rt△ADB≌Rt△AEC. ∴ ∠ADB=∠AEC. (2) ∵ Rt△ADB≌Rt△AEC, ∴ BD=CE. 在Rt△AFC和Rt△AFB 中, AF=AF, AC=AB, ∴ Rt△AFC≌Rt△AFB. ∴ CF=BF. ∴ CE-CF=BD-BF,即EF=DF. 在△DCF 和△EBF 中, CF=BF, ∠CFD=∠BFE, DF=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCF≌△EBF. ∴ CD=BE. (3) 5. 典例3 由题意,得 BP=3tcm, BC=8cm,CQ=atcm. ∴ CP=BC-BP=(8-3t)cm. ∵ AB=10cm,D 为AB 的中点, ∴ BD=12AB=5cm. 分两种情况讨论: ① 当BD=CP 时,△BDP≌△CPQ. 由BD=CP,得5=8-3t,解得t=1. 又∵ △BDP≌△CPQ, ∴ BP=CQ,即3×1=a×1,解得 a=3. ② 当BP=CP 时,△BDP≌△CQP. 由BP=CP,得3t=8-3t,解得 t=43. 又∵ △BDP≌△CQP, ∴ BD=CQ,即5=43a ,解得a=154. 综上所述,a的值为3或154. [跟踪训练] 3. 0或6或12或18 [解析] ① 当点 P 在线段BC 上, AC =BP 时,△ACB ≌ △PBN, ∵ AC=3cm,∴ BP=3cm.∴ CP= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 20 　 　专题特训（二）　添加辅助线构造全等三角形 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 直接连线法 1. 如图,AB=DC,AC=DB,AC 和DB 相交于 点E.求证:∠A=∠D. (第1题) 2. 如图,在四边形ABCD 中,∠B=∠D=90°, 点E、F 分别在AB、AD 上,AE=AF,CE= CF.求证:CB=CD. (第2题) 类型二 倍长线段法 3. 如图,AD 是△ABC 的中线,点E、F 分别在 AB、AC 上,且 DE⊥DF,连接EF.求证: BE+CF>EF. (第3题) 4. 如图,在△ABC 和△A'B'C'中,AM,A'M'分 别是边BC,B'C'上的中线,AB=A'B', AC=A'C',AM=A'M'.求证:△ABC≌ △A'B'C'. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 21 类型三 截长补短法 5. 如图,在△ABC 中,AB>AC,∠1=∠2,P 为AD 上一点,连接PB、PC.求证:AB- AC>PB-PC. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角 平分线AD、CE 相交于点O. (1) 求∠AOC 的度数. (2) 求证:AE+CD=AC. (3) 求证:OE=OD. (第6题) 答案讲解 7. 如图,在四边形ABDC 中,∠B+ ∠C=180°,DB=DC,∠BDC= 120°,以D 为顶点作一个60°角,角 的两边分别交AB、AC 于E、F 两点,连接 EF.试写出线段BE、CF 和EF 之间的数量 关系,并说明理由. (第7题) 类型四 利用角平分线构造全等三角形 8. 如图,△ABC 的面积为12cm2,AP 垂直于 ∠ABC 的平分线BP 于点P,连接PC,则 △PBC 的面积为 ( ) A. 9cm2 B. 8cm2 C. 6cm2 D. 5cm2 (第8题) (第9题) 9. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,∠C= 90°,E 是BC 上一点,AE、DE 分别平分 ∠BAD、∠CDA.若AB=12,DC=4,则AD 的长为 ( ) A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形