1.2.2 配方法-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

6 第2课时 配 方 法 ▶ “答案与解析”见P2 1. 用配方法解一元二次方程x2-2x=9时,原 方程可变形为 ( ) A. (x-1)2=10 B. (x+1)2=10 C. (x-1)2=-8 D. (x+1)2=-8 2. 解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方, 如图①所示为甲的做法,如图②所示为乙的 做法.对于两人的做法,下列说法中正确的是 ( ) (第2题) A. 两人都正确 B. 甲正确,乙不正确 C. 甲不正确,乙正确 D. 两人都不正确 3. (2024·无锡期末)若方程x2-4096576=0 的两根为x1=2024,x2=-2024,则方程 x2-2x-4096575=0的两根为 . 4. (学科内综合)(2024·常州期末)如图,用配 方法解一元二次方程x2+6x=40时,配方 的过程可以用拼图直观地表示,即看成将一 个长是x+6、宽是x、面积是40的矩形割补 成一个正方形,则m 的值是 . (第4题) 5. 用配方法解下列方程: (1) x2-2=-10x. (2) 1 2x 2+2x-2=0. (3) 3x2-4x-2=0. (4) -2x2-7x+4=0. 6. (2022·雅安)若关于x 的一元二次方程 x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2= 2c,则c的值为 ( ) A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 7. 若关于x的方程x2-8x+m=0可以通过配 方写成(x-n)2=6的形式,则x2+8x+ m=5可以配方成 ( ) A. (x-n+5)2=1 B. (x+n)2=1 C. (x-n+5)2=11 D. (x+n)2=11 8. 已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a、b、c是常数,a≠0)配方后为(x+1)2= d(d为常数),则b2a= . 9. 已知△ABC 的三边长a、b、c都是正整数,且 满足2a2+b2-4a-6b+11=0,则△ABC 的周长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 7 10. 已知关于x 的一元二次方程(a+2)x2+ 3x+a2-4=0. (1) 若方程有一个根为0,求实数a的值. (2) 当a=1时,用配方法解方程. 11. ★ 配方法可以用来解一元二次方程,还可以 用来解决很多其他问题,例如:∵ 3a2≥0, ∴ 3a2+1≥1,即3a2+1有最小值1,此时 a=0.同样,∵ -3(a+1)2≤0,∴ -3(a+ 1)2+6≤6,即-3(a+1)2+6有最大值6, 此时a=-1. (1) 当x= 时,代数式2(x-1)2+3 有最 (填“大”或“小”)值,为 . (2) 当x= 时,代数式-x2+4x+ 3有最 (填“大”或“小”)值,为 . (3) 如图,矩形花园的一面靠墙(墙足够 长),另外三面的栅栏总长为20m,当花园 垂直于墙的边的长为多少时,花园的面积最 大? 最大面积是多少? (第11题) 12. 已知3x-y=3a2-6a+9,x+y=a2+6a- 9.若x≤y,则实数a的值为 . 13. 已知实数a、b满足(a2+4a+6)(2b2-4b+ 7)≤10,则a+2b= . 答案讲解 14. 已知关于x 的方程(a2+b2)x2- 2b(a+c)x+b2+c2=0,其中a、 b、c、x都是实数,且a、b均不为0. 求证:c b= b a=x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 (不合题意,舍去). 3. 4 4. 6+3 [解析] 解(x-2)2=3,得 x1=2+3,x2=2-3.∵ 方程(x- 2)2=3的两个根为a 和b,且a>b, ∴ a=2+3,b=2- 3.∴ 2a+b= 2×(2+3)+2-3=6+3. 5. (1) x1=23,x2=-23. (2) x1=4,x2=-4. (3) x1=6,x2=-2. (4) y1=0,y2=-8. 6. B [解析] 把关于x 的一元二次 方程a(x+m-2022)2+n=0看成 关于x-2022的一元二次方程. ∵ 关于x 的一元二次方程a(x+ m)2+n=0(a≠0)的两个根分别为 x1=-2,x2=1,∴ x-2022=-2 或x-2022=1,解得x1=2020, x2=2023,即关于x的一元二次方程 a(x+m-2022)2+n=0(a≠0)的两 个根分别为x1=2020,x2=2023. 7. D [解析] 由题意,知3x2=54, ∴ x2=18.∴ x1=32,x2=-32. 8. 7或-2 [解析] 由题意,得(m- 2+m-3)2-(m-2-m+3)2=80. 化简,得(2m-5)2=81,解得m1=7, m2=-2. 9. 2或-1 [解析] ∵ min{(x- 1)2,x2}=1,∴ 当(x-1)2=1时,解 得x1=2,x2=0(不合题意,舍去);当 x2=1时,解得x3=-1,x4=1(不合 题意,舍去). 10. 小明的解答有错误. ②;直接开平方求的是平方根而不是 算术平方根. 移项,得4(2x-1)2=25(x+1)2. 直接开平方,得2(2x-1)=±5(x+1). ∴ x1=-7,x2=- 1 3. 11. 解方程2(x-3)2-8=0,得x1= 1,x2=5. ∵ 三角形的两边长分别是3和4, ∴ 第三边的长x 的取值范围是1< x<7. ∴ x=5. ∵ 32+42=52, ∴ 这个三角形是直角三角形. 12. 设原正方形铁皮的边长为xcm, 则无盖的长方体盒子的长、宽均为 (x-6×2)cm,高为6cm. 根据题意,得(x-6×2)(x-6×2)× 6=3750,即(x-12)2=625,解得 x1=37,x2=-13(不合题意,舍去). ∴ 原正方形铁皮的边长为37cm. 13. 11 4 或9 4 [解析] ∵ 方程a(x+ m)2+b=0的两个根为x1=3和 x2=7,∴ a(3+m)2+b=0, a(7+m)2+b=0, 解得 m=-5, a b=- 1 4. ∵ 4b x+12m 2+a= 0,b≠0,∴ 4x+12m 2 +ab =0. ∴ 4x-52 2 -14=0 ,解得x1= 11 4 ,x2= 9 4. 14. (1) 32;9. (2) ∵ |d(a,2)|=8, ∴ d(a,2)=±8. 若d(a,2)=8, 当a>2时,4a-a=8,解得a=83 ; 当a<2时,2a2-2=8,解得a1= -5,a2=5(不合题意,舍去). 若d(a,2)=-8, 当a>2时,4a-a=-8,解得a= -83 (不合题意,舍去); 当a<2时,2a2-2=-8,无解. 综上所述,当|d(a,2)|=8时,a的值 为8 3 或-5. 第2课时 配 方 法 1. A 2. A 3. x1=2025,x2=-2023 [解析] x2-2x-4096575=0,则 x2-2x=4096575.∴ x2-2x+1= 4096575+ 1.∴ (x - 1)2 = 4096576.∴ x-1=±2024.∴ x1= 2025,x2=-2023. 4. 3 5. (1) x1=-5+33,x2=-5- 33. (2) x1=-2+22,x2=-2-22. (3) x1= 2+ 10 3 ,x2= 2- 10 3 . (4) x1=-4,x2= 1 2. 6. C [解析] 由x2+6x+c=0,得 x2+6x=-c.∴ x2+6x+9=-c+ 9.∴ (x+3)2=-c+9.∵ (x+ 3)2=2c,∴ 2c=-c+9,解得c=3. 7. D [解析] ∵ x2-8x+m=0, ∴ x2-8x=-m.∴ x2-8x+ 16=-m+16.∴ (x-4)2=-m+ 16.由题意,得n=4,-m+16=6. ∴ n=4,m=10.∴ x2+8x+m=5 可化为x2+8x+5=0.∴ x2+8x+ 16=-5+16.∴ (x+4)2=11,即 (x+n)2=11. 8. 1 9. 7 [解析] ∵ 2a2+b2-4a-6b+ 11=0,∴ 2a2-4a+2+b2-6b+9= 0.∴ 2(a-1)2+(b-3)2=0.∴ a- 1=0,b-3=0,解得a=1,b=3. ∴ 3-1<c<3+1,即2<c<4.∵ c 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 是正整数,∴ c=3.∴ △ABC的周长 为1+3+3=7. 10. (1) 把x=0代入方程,得a2- 4=0,解得a1=2,a2=-2. 由题意,得a+2≠0. ∴ a≠-2. ∴ a=2. (2) 把a=1代入方程,得3x2+3x- 3=0,即x2+x=1. 配方,得 x2 +x + 14 = 5 4 ,即 x+12 2 =54 ,解得x1=- 1 2+ 5 2 ,x2=- 1 2- 5 2. 11. (1) 1;小;3. (2) 2;大;7. (3) 设花 园 垂 直 于 墙 的 边 的 长 为 xm,则平行于墙的边的长为(20- 2x)m. ∵ x(20-2x)= -2x2+20x= -2(x2-10x+25)+50=-2(x- 5)2+50, ∴ 花园的面积为[-2(x-5)2+ 50]m2. ∵ -2(x-5)2≤0, ∴ -2(x-5)2+50≤50,即-2(x- 5)2+50有最大值50,此时x=5. ∴ 当花园垂直于墙的边的长为5m 时,花园的面积最大,最大面积是 50m2. 求ax2+bx+c的最大值 或最小值的一般方法 对于二次三项式ax2+bx+c 的最大值或最小值问题,往往先运 用配方法将它化成a(x+m)2+h 的形式,再根据(x+m)2≥0,结合 a与0的大小关系确定a(x+m)2 与0的大小关系,即当a>0时, a(x+m)2≥0,a(x+m)2+h≥h, 此时,该二次三项式有最小值,为 h;当a<0时,a(x+m)2≤0, a(x+m)2+h≤h,此时,该二次三 项式有最大值,为h. 12. 3 [解 析] 由 题 意,得 3x-y=3a2-6a+9, x+y=a2+6a-9, 解得 x=a2, y=6a-9. ∵ x≤y,∴ a2≤6a-9.整理,得 (a-3)2≤0.∴ a-3=0,解得a=3. 13. 0 [解析] ∵ (a2+4a+6)· (2b2-4b+7)≤10,∴ (a2+4a+4+ 2)(2b2-4b+2+5)≤10.∴ [(a+ 2)2+2][2(b-1)2+5]≤10.∴ 2(a+ 2)2(b-1)2+5(a+2)2+4(b-1)2+ 10≤10.∴ 2(a+2)2(b-1)2+5(a+ 2)2+4(b-1)2≤0.∵ 2(a+2)2(b- 1)2≥0,5(a+2)2≥0,4(b-1)2≥0, ∴ a+2=0,b-1=0.∴ a=-2,b= 1.∴ a+2b=-2+2=0. 14. 将原方程拆成两个二次三项式组 成的方程,得(a2x2-2abx+b2)+ (b2x2-2bcx+c2)=0. ∴ (ax-b)2+(bx-c)2=0. 又∵ a、b、c、x 都是实数,即(ax- b)2≥0,(bx-c)2≥0, ∴ ax-b=0,bx-c=0. 又∵ a、b均不为0, ∴ 易得c b= b a=x. 第3课时 公式法与根的判别式 1. B 2. C 3. x1= -1+ 57 4 ,x2= -1- 57 4 [解析] ∵ |b-2|+ 3a+9=0, ∴ b-2=0,3a+9=0.∴ b=2, a=-3.把b=2,a=-3代入方程 (1-a)x2+bx=2-4a,得4x2+ 2x-14=0.∴ x= -1± 574 . ∴ x1= -1+ 57 4 ,x2= -1- 57 4 . 4. -2m [解析] ∵ x2+bx+4=0 的两个根中较小的一个根是m(m≠ 0),∴ -b- b2-16 2 =m.∴ b+ b2-16=-2m. 5. (1) 一;原方程没有化成一般形式. (2) 把方程x2-5x=1化为一般形 式,得x2-5x-1=0. ∵ a=1,b=-5,c=-1, ∴ b2-4ac= (-5)2-4×1× (-1)=25+4=29>0. ∴ x=5± 292 . ∴ x1= 5+ 29 2 ,x2= 5- 29 2 . 6. D [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程kx2-2x+3=0有两个实数根, ∴ k≠0,且b2-4ac=(-2)2-4k× 3≥0.∴ k 的取值范围是k≤13 且 k≠0. 7. A [解析] 若x=1是方程甲的 根,则a+2b+a=0,即a=-b.∴ 方 程乙:bx2+2ax+b=0变为bx2- 2bx+b=0,解得x1=x2=1.∴ x=1 也是方程乙的根.∴ ①正确.若方程 甲有两个相等的实数根,则(2b)2- 4a·a=0,即4b2=4a2.∴ 4a2- 4b2=0.∴ 在方程乙:bx2+2ax+b= 0中,其根的判别式(2a)2-4b·b= 4a2-4b2=0.∴ 方程乙有两个相等 的实数根.∴ ②正确.若方程甲有两 个不相等的实数根,则(2b)2-4a· a>0,解得 4b2>4a2.∴ 4a2-4b2< 0.∴ 在方程乙:bx2+2ax+b=0中, 其根的判别式(2a)2-4b·b=4a2- 4b2<0.∴ 方 程 乙 没 有 实 数 根. ∴ ③不正确.若x=n既是方程甲的 根, 又 是 方 程 乙 的 根, 则 an2+2bn+a=0①, bn2+2an+b=0②. ①-②,得(a- b)n2-2(a-b)n+(a-b)=0. ∵ a≠b,∴ n2-2n+1=0,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3