1.2.1 直接开平方法-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

4 1.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·常州期末)方程(x+1)2=4的根为 ( ) A. x1=1,x2=-3 B. x1=-1,x2=3 C. x1=2,x2=-2 D. x1=1,x2=-1 2. 若(a2+b2-3)2=25,则a2+b2的值为 ( ) A. 8或-2 B. -2 C. 8 D. 2或-8 3. 如果关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0) 的两个根分别是m-1和2m+4,那么ba 的 值为 . 4. 已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根为a 和b,且a>b,则2a+b的值为 . 5. 用直接开平方法解下列方程: (1) x2-12=0. (2) 1 2x 2-2=6. (3) (x-2)2=16. (4) 2(y+4)2+3=35. 6. 若关于x 的一元二次方程a(x+m)2+n= 0(a≠0)的两个根分别为x1=-2,x2=1,则 关于x的一元二次方程a(x+m-2022)2+ n=0(a≠0)的两个根分别为 ( ) A. x1=-2,x2=1 B. x1=2020,x2=2023 C. x1=-2020,x2=2023 D. x1=-2024,x2=-2019 7. 给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'= nxn-1.例如:若函数y=x5,则有y'=5x4.已 知函数y=x3,则方程y'=54的根是 ( ) A. x1=x2=0 B. x1=23,x2=-23 C. x1=2,x2=-2 D. x1=32,x2=-32 答案讲解 8. 对于实数a、b,定义运算“*”如下:a* b=(a+b)2-(a-b)2.若(m-2)* (m-3)=80,则m= . 9. 对于实数p、q,我们用符号min{p,q}表示 p、q两数中较小的数,如 min{1,2}=1.若 min{(x-1)2,x2}=1,则x= . 10. 用直接开平方法解一元二次方程4(2x- 1)2-25(x+1)2=0. 小明的解答如下:移项,得4(2x-1)2= 25(x+1)2①. 直接开平方,得2(2x-1)=5(x+1)②. ∴ x=-7③. 小明 的 解 答 有 无 错 误? 若 有,错 在 第 步,原因是 ,写出正确的解答过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 5 11. 已知三角形的两边长分别是3和4,第三边 的长是方程2(x-3)2-8=0的根,试判断 这个三角形的形状. 12. 如图,将一块正方形铁皮的四个角各剪去一 个边长为6cm的小正方形,做成一个无 盖的 长 方 体 盒 子.已 知 盒 子 的 容 积 为 3750cm3,求原正方形铁皮的边长. (第12题) 13. 已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、 m 均为常数,且a≠0,b≠0)的两个根是 x1=3和x2=7,则方程4b x+12m 2 + a=0的根是 . 答案讲解 14. 已知a、b为实数,且a、b均不为0, 现定义有序实数对(a,b)的“真诚 值”为d(a,b)= ab2-a(a>b), ba2-b(a<b), 如数对(3,2)的“真诚值”为d(3,2)=3× 22-3=9;数对(-5,-2)的“真诚值”为 d(-5,-2)=(-2)×(-5)2-(-2)= -48. (1) 根据上述的定义填空:d(-3,4)= ,d(3,-2)= . (2) 数对(a,2)的“真诚值”的绝对值为 |d(a,2)|.若|d(a,2)|=8,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 第1章　一元二次方程 1.1　一元二次方程 1. A 2. C 3. 3 [解析] ∵ (m+3)x|m|-1- (m-3)x-5=0是关于x 的一元二 次方程,∴ m+3≠0, |m|-1=2, 解得m=3. 4. -1 [解析] 把x=1代入(a- 1)x2-ax+a2=0中,得a2=1. ∴ a=±1.由题意,得a-1≠0, 即a≠1.∴ a=-1. 5. (1) x2-x-27=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-1,常数项 为-27. (2) -x2+14x+28=0,它的二次项 系数为-1,一次项系数为14,常数项 为28. (3) 3x2-14x+8=0,它的二次项系 数为3,一次项系数为-14,常数项 为8. (4) -5x2-42x+27=0,它的二次 项系数为-5,一次项系数为-42,常 数项为27. 6. B 7. A [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程x2+ax+b=0有一个非零实数 根-b,∴ b2-ab+b=0.∵ -b≠0, 即b≠0,∴ 方程两边同时除以b,得 b-a+1=0.∴ a-b=1. 8. A [解析] ∵ 关于x的两个不同 的方程x2+ax+1=0和x2-x- a=0有一个公共根,∴ x2+ax+1= x2-x-a,即(a+1)x+a+1=0. ∵ 易 得 a ≠ -1,∴ a+1≠0. ∴ x=-1.∴ x=-1是公共根.把 x=-1代入x2+ax+1=0,得1- a+1=0,解得a=2. 根据方程的根确定待定 系数的一般方法 对于这类几个方程具有公共 根,需确定其中待定系数的问题, 解答时,往往先根据它们存在的一 个公共根联立方程组,通过消元、 降次的方法,找到方程的根与待定 系数之间的数量关系,再根据隐含 的条件确定这几个方程的公共根, 最后将方程的根代入方程求得待 定系数. 9. x=-2 10. n2+n-1=239 [解析] 题图① 中有12+1-1=1(个)“”,题图②中 有22+2-1=5(个)“”,题图③中有 32+3-1=11(个)“”,题图④中有 42+4-1=19(个)“”,由此,可得题 图 中有(n2+n-1)个“”.∴ 可列 方程为n2+n-1=239. 11. 2027 [解析] ∵ m 是方程x2+ x-3=0的根,∴ m2+m-3=0. ∴ m2+m=3.∴ m3+2m2-2m+ 2024=m3+m2+m2-2m+2024= m(m2+m)+m2-2m+2024= 3m+m2-2m+2024=m2+m+ 2024=3+2024=2027. 12. ∵ a 是方程x2-2023x+1=0 的一个根, ∴ a2-2023a+1=0. ∴ a2=2023a-1. ∴ 原 式 =2023a-1-2022a+ 2023 2023a-1+1 = a2+1 a - 1 = 2023a-1+1 a -1=2023-1=2022. 13. (1) 4. (2) 由题意,得m 2=3 ,解得m=6. 把x=2,m=6代入x2-mx+n=0, 得4-6×2+n=0,解得n=8. ∴ mn=6×8=48. 14. A [解析] 把x=a代入ax2+ bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ ax+b=0,得a·a2+ba+c=0, ba2+ca+a=0,ca2+a·a+b=0. 相加,得(a+b+c)a2+(b+c+a)· a+(a+b+c)=0,即(a+b+c)· (a2+a+1)=0.∵ a2+a+1= a+ 1 2 2 +34>0 ,∴ a+b+c=0. 15. (1) 设所求方程的根为 m,则 m=-x. ∴ x=-m. 把x=-m 代入已知方程x2+x- 2=0,得(-m)2+(-m)-2=0. 化简,得m2-m-2=0. (2) 设所求方程的根为n,则n=1x. ∴ x=1n. 把x=1n 代入已知方程ax2+bx+ c=0(a≠0),得a 1n 2 +b·1n + c=0. 去分母,得 a+bn+cn2=0. 若c=0,则原方程ax2+bx+c= 0(a≠0)一定有一个根为0,不合题意. ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cn2+bn+a=0(c≠0). 1.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 1. A 2. C [解析] 由(a2+b2-3)2=25, 得a2+b2-3=±5.∴ a2+b2=3± 5,解得 a2+b2=8或a2+b2=-2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 (不合题意,舍去). 3. 4 4. 6+3 [解析] 解(x-2)2=3,得 x1=2+3,x2=2-3.∵ 方程(x- 2)2=3的两个根为a 和b,且a>b, ∴ a=2+3,b=2- 3.∴ 2a+b= 2×(2+3)+2-3=6+3. 5. (1) x1=23,x2=-23. (2) x1=4,x2=-4. (3) x1=6,x2=-2. (4) y1=0,y2=-8. 6. B [解析] 把关于x 的一元二次 方程a(x+m-2022)2+n=0看成 关于x-2022的一元二次方程. ∵ 关于x 的一元二次方程a(x+ m)2+n=0(a≠0)的两个根分别为 x1=-2,x2=1,∴ x-2022=-2 或x-2022=1,解得x1=2020, x2=2023,即关于x的一元二次方程 a(x+m-2022)2+n=0(a≠0)的两 个根分别为x1=2020,x2=2023. 7. D [解析] 由题意,知3x2=54, ∴ x2=18.∴ x1=32,x2=-32. 8. 7或-2 [解析] 由题意,得(m- 2+m-3)2-(m-2-m+3)2=80. 化简,得(2m-5)2=81,解得m1=7, m2=-2. 9. 2或-1 [解析] ∵ min{(x- 1)2,x2}=1,∴ 当(x-1)2=1时,解 得x1=2,x2=0(不合题意,舍去);当 x2=1时,解得x3=-1,x4=1(不合 题意,舍去). 10. 小明的解答有错误. ②;直接开平方求的是平方根而不是 算术平方根. 移项,得4(2x-1)2=25(x+1)2. 直接开平方,得2(2x-1)=±5(x+1). ∴ x1=-7,x2=- 1 3. 11. 解方程2(x-3)2-8=0,得x1= 1,x2=5. ∵ 三角形的两边长分别是3和4, ∴ 第三边的长x 的取值范围是1< x<7. ∴ x=5. ∵ 32+42=52, ∴ 这个三角形是直角三角形. 12. 设原正方形铁皮的边长为xcm, 则无盖的长方体盒子的长、宽均为 (x-6×2)cm,高为6cm. 根据题意,得(x-6×2)(x-6×2)× 6=3750,即(x-12)2=625,解得 x1=37,x2=-13(不合题意,舍去). ∴ 原正方形铁皮的边长为37cm. 13. 11 4 或9 4 [解析] ∵ 方程a(x+ m)2+b=0的两个根为x1=3和 x2=7,∴ a(3+m)2+b=0, a(7+m)2+b=0, 解得 m=-5, a b=- 1 4. ∵ 4b x+12m 2+a= 0,b≠0,∴ 4x+12m 2 +ab =0. ∴ 4x-52 2 -14=0 ,解得x1= 11 4 ,x2= 9 4. 14. (1) 32;9. (2) ∵ |d(a,2)|=8, ∴ d(a,2)=±8. 若d(a,2)=8, 当a>2时,4a-a=8,解得a=83 ; 当a<2时,2a2-2=8,解得a1= -5,a2=5(不合题意,舍去). 若d(a,2)=-8, 当a>2时,4a-a=-8,解得a= -83 (不合题意,舍去); 当a<2时,2a2-2=-8,无解. 综上所述,当|d(a,2)|=8时,a的值 为8 3 或-5. 第2课时 配 方 法 1. A 2. A 3. x1=2025,x2=-2023 [解析] x2-2x-4096575=0,则 x2-2x=4096575.∴ x2-2x+1= 4096575+ 1.∴ (x - 1)2 = 4096576.∴ x-1=±2024.∴ x1= 2025,x2=-2023. 4. 3 5. (1) x1=-5+33,x2=-5- 33. (2) x1=-2+22,x2=-2-22. (3) x1= 2+ 10 3 ,x2= 2- 10 3 . (4) x1=-4,x2= 1 2. 6. C [解析] 由x2+6x+c=0,得 x2+6x=-c.∴ x2+6x+9=-c+ 9.∴ (x+3)2=-c+9.∵ (x+ 3)2=2c,∴ 2c=-c+9,解得c=3. 7. D [解析] ∵ x2-8x+m=0, ∴ x2-8x=-m.∴ x2-8x+ 16=-m+16.∴ (x-4)2=-m+ 16.由题意,得n=4,-m+16=6. ∴ n=4,m=10.∴ x2+8x+m=5 可化为x2+8x+5=0.∴ x2+8x+ 16=-5+16.∴ (x+4)2=11,即 (x+n)2=11. 8. 1 9. 7 [解析] ∵ 2a2+b2-4a-6b+ 11=0,∴ 2a2-4a+2+b2-6b+9= 0.∴ 2(a-1)2+(b-3)2=0.∴ a- 1=0,b-3=0,解得a=1,b=3. ∴ 3-1<c<3+1,即2<c<4.∵ c 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2