考向一三角形全等的判定与性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

［综合素能提升］ 1. C 2. B 3. B 4. C [解析] 如图①,当a>0,k< 0时,不等式kx+3>ax+6的解集是 x<-3,方程kx+3=ax+6的解是 x=-3.如图②,当a>0,k>0时,不 等式kx+3>ax+6的解集是x< -3,方程kx+3=ax+6的解是 x=-3.如图③,当a<0,k<0时,不 等式kx+3>ax+6的解集是x< -3,方程kx+3=ax+6的解是 x=-3.综上所述,正确的是③④. (第4题) 5. 27 6. 2 [解 析] 联 立 方 程 组,得 y=x+1, y=-2x+4, 解得 x=1, y=2, 即两函数 图像交点的坐标为(1,2).在-5≤ x≤5的范围内,由于y1 随x 的增大 而增大,y2 随x 的增大而减小,则当 x=1时,m 的值最大,m 的最大值 是2. 7. y=2x-2 [解析] 如 图,作 AD⊥AB 交BC 于点D,过点D 作 DH ⊥x 轴 于 点 H,则 ∠BAD = ∠AHD =90°.∵ 一 次 函 数 y= 1 3x-2 的图像分别交y 轴、x 轴于 点B、C,∴ B(0,-2)、C(6,0). ∴ OB=2,OC=6.∵ ∠OAB + ∠DAH=90°,∠ADH+∠DAH= 90°,∴ ∠OAB=∠ADH.∵ ∠ABD= 45°,∠BAD=90°,∴ ∠ADB=45°. ∴ ∠ABD=∠ADB.∴ AB=AD. 在 △AOB 和 △DHA 中, ∠OAB=∠HDA, ∠AOB=∠DHA, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB ≌ △DHA.∴ BO=AH =2,OA = HD.∴ OH=AH+OA.设OA=m, 则 A(m,0)、D(m+2,-m).把 D(m+2,-m)代入y= 1 3x-2 ,得 -m=13 (m+2)-2,解得 m=1. ∴ A(1,0).设直线AB 对应的函数表 达式为y=kx-2.∴ k-2=0. ∴ k=2.∴ 直线AB 对应的函数表 达式为y=2x-2. (第7题) 8. (1) 设甲种服装每件的进价是 m 元,则乙种服装每件的进价是(m- 20)元. 根据题意,得3m=4(m-20),解得 m=80. ∴ m-20=80-20=60. ∴ 甲种服装每件的进价是80元,乙 种服装每件的进价是60元. (2) 设甲种服装购进的件数为x. ① ∵ 甲种服装不少于65件,购进这 100件服装的总费用不得超过7500元, ∴ x≥65, 80x+60(100-x)≤7500, 解 得 65≤x≤75. ∴ 甲种服装最多购进的件数为75. ② 设获得利润为y元. 根据题意,得y=(130-a-80)x+ (100-60)(100-x)=(10-a)x+ 4000. 当0<a<10时,y 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=75时,y 取最大值,此时购 进甲种服装75件,乙种服装25件. 当a=10时,所有进货方案利润都是 4000元. 当10<a<40时,y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=65时,y 取最大值,此时购 进甲种服装65件,乙种服装35件. 综上所述,当0<a<10时,购进甲种 服装75件,乙种服装25件利润最大; 当a=10时,所有进货方案利润都是 4000元;当10<a<40时,购进甲种 服装65件,乙种服装35件利润最大. 期末压轴题特训 考向一　三角形全等的 判定与性质 1. D 2. B 3. B 4. D [解析] ∵ ∠BAC=∠DAE= α,∴ ∠BAD=∠CAE=α+∠CAD. 在 △BAD 和 △CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD ≌ △CAE.∴ BD =CE,∠ABD = ∠ACE.故 ① 正 确.∵ ∠BPC = ∠BMC - ∠ACE = ∠BMC - ∠ABD=∠BAC=α,∴ ∠BPE= 180°-∠BPC=180°-α≠180°-2α. 故②错误.如图①,过点 A 分别作 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06 AF⊥BD 于点F,AL⊥CE 于点L. ∵ △BAD ≌ △CAE,∴ S△BAD = S△CAE.∵ S△BAD = 1 2BD ·AF, S△CAE = 1 2CE ·AL,BD =CE, ∴ AF=AL.∴ 点A 在∠BPE 的平 分线上.∴ PA 平分∠BPE.故③正 确.如图②,若∠BAC=∠DAE=α= 60°,则 ∠BPE =180°-α=120°. ∵ PA 平 分 ∠BPE,∴ ∠APE = ∠APB=12∠BPE=60°. 在PE 上 截取PH=AP,连接AH,则△APH 是 等 边 三 角 形.∴ AP =AH, ∠PAH = 60°. ∴ ∠PAD = ∠HAE=60°-∠DAH.在△APD 和 △AHE 中, AP=AH, ∠PAD=∠HAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APD≌△AHE.∴ PD=HE. ∴ PE=PH+HE=AP+PD.故④ 正确.综上所述,正确的是①③④. (第4题) 5. 8 6. 45°或 135° 7. 84° 8. 2s或5s [解析] ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠A+∠CBD=90°.∵ CD 为 边 AB 上 的 高,∴ ∠CDB =90°. ∴ ∠BCD+∠CBD=90°.∴ ∠A= ∠BCD = ∠ECF.∵ EF ⊥BC, ∴ ∠CEF=90°=∠ACB.在△CEF 和 △ACB 中, ∠CEF=∠ACB, ∠ECF=∠A, CF=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CEF≌△ACB.∴ CE=AC= 7cm.分两种情况讨论:① 如图①,当 点E 在射线BC 上移动时,BE= CE+BC=7+3=10(cm).∴ 点E 移 动了10 2=5 (s).② 如图②,当点E 在 射线CB 上移动时,BE=CE-BC= 7-3=4(cm).∴ 点E 移动了42= 2(s).综上所述,当点E 移动2s或5s 时,CF=AB. (第8题) 9. 如图,在BC 上截取BF=BA,连 接EF. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABE=∠FBE. 在△ABE 和△FBE 中, BA=BF, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△FBE. ∴ AE=FE,∠EAB=∠EFB. ∵ ∠EAB =2∠ECB,∠EFB = ∠FEC+∠ECB, ∴ 2∠ECB=∠FEC+∠ECB. ∴ ∠ECB=∠FEC. ∴ EF=FC. ∴ AE=FC. ∵ BF+FC=BC, ∴ AB+AE=BC. (第9题) 10. 如图,过点D 作DG⊥AE,交EA 的延长线于点G,过点B 作BH⊥AC 于点H. ∴ ∠AGD=∠AHB=90°. ∵ ∠CAE=90°, ∴ ∠CAG =180°-90°=90°= ∠BAD. ∴ ∠CAG - ∠GAB = ∠BAD - ∠GAB,即∠BAH=∠DAG. ∵ △ABD 和△ACE 是等腰直角三 角形, ∴ AB=AD,AC=AE. 在△ABH 和△ADG 中, ∠AHB=∠AGD, ∠BAH=∠DAG, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABH≌△ADG. ∴ BH=DG. 又∵ S△ABC= 1 2AC ·BH,S△ADE= 1 2AE ·DG,AC=AE, ∴ S△ABC=S△ADE. (第10题) 11. (1) 如图①,连接AM. 由题意,得△ABD≌△ACE, ∴ AD=AE,AB=AC,∠BAD= ∠CAE. ∵ M 是DE 的中点, ∴ MD=ME. ∴ ∠MAD=∠MAE. ∴ ∠MAD - ∠BAD = ∠MAE- ∠CAE,即∠BAM=∠CAM. 在△ABM 和△ACM 中, AB=AC, ∠BAM=∠CAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△ACM. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 ∴ MB=MC. (2) MB=MC. 理由:如图②,延长CM 交BD 于点T. 由题意,易知EC∥DT, ∴ ∠CEM=∠TDM. ∵ M 是DE 的中点, ∴ EM=DM. 在△ECM 和△DTM 中, ∠CEM=∠TDM, EM=DM, ∠EMC=∠DMT, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECM≌△DTM. ∴ MC=MT. ∵ ∠CBT=90°, ∴ MB=MC. (3) 成立. 理由:如图③,延长BM 交CE于点F. 由题意,知CE∥BD, ∴ ∠MDB = ∠MEF,∠MBD = ∠MFE. ∵ M 是DE 的中点, ∴ MD=ME. 在△MDB 和△MEF 中, ∠MDB=∠MEF, ∠MBD=∠MFE, MD=ME, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MDB≌△MEF. ∴ MB=MF. ∵ ∠ACE=90°, ∴ ∠BCF=90°. ∴ MB=MC. (第11题) 考向二　等腰三角形的 性质与判定 1. D 2. B 3. A 4. B [解析] 设直线AD、BC 交于 点E.∵ △ABC 为 等 边 三 角 形, ∴ ∠ABC=∠BAC=60°.∵ △ACD 为 等 腰 直 角 三 角 形,AC =CD, ∴ ∠CAD = 45°.∴ ∠BAD = ∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°. ∴ ∠AEB =180°- (∠ABC + ∠BAD)=180°-(60°+105°)=15°. ∴ 直线BC 与直线AD 相交所成的 锐角度数为15°. 5. C [解析] 如图,分三种情况讨 论:当AB=AC 时,以点A 为圆心, AB 长为半径作圆,符合题意的格点 为C1、C2、C3、C4、C5、C6;当BA= BC时,以点B 为圆心,BA 长为半径 作圆,符合题意的格点为C7、C8、C9、 C10、C11、C12;当CA=CB 时,作AB 的垂直平分线,与正方形网格中的格 点没有交点.综上所述,这样的格点C 有12个. (第5题) 6. 30° 7. 14 [解析] 如图,过点A 作AE⊥ BC 于 点 E.∴ ∠AED = 90°. ∵ ∠ADB=60°,∴ ∠DAE=30°. ∴ 易得 DE=12AD= 1 2×6=3. ∴ CE =DE +CD =3+4=7. ∵ AB=AC,AE⊥BC,∴ BC= 2CE=2×7=14. (第7题) 8. 88°或90°或99°或108°或116° 9. (1) ① ∵ CD∥AB, ∴ ∠BAC+∠ACF=180°. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠ACF=90°. ∵ AB=AC,∠BAC=90°, ∴ ∠BCA=45°. ∴ ∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°. ∴ ∠BCA=∠BCF. ② 如图①,过点 P 作PM ⊥AC, PN⊥CF,垂足分别为M、N. ∵ ∠ACB=∠BCF=45°,PM⊥AC, PN⊥CF, ∴ ∠PMC=∠PNC=90°,PM=PN. 又∵ ∠ACB=∠BCN=45°, ∴ △PMC与△PNC都为等腰直角三 角形. ∴ ∠MPC = ∠NPC = 45°,即 ∠MPN=90°. ∵ ∠APE=∠BAC=90°, ∴ ∠APE- ∠MPE= ∠MPN - ∠MPE, 即∠APM=∠EPN. 在△APM 和△EPN 中, ∠AMP=∠ENP=90°, PM=PN, ∠APM=∠EPN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APM≌△EPN. ∴ AP=EP. (2) AP=EP. 理由:如图②,过点P 作PM⊥AC, PN⊥CF,垂足分别为M、N. ∵ CD∥AB, ∴ ∠B=∠BCF. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠ACB. ∴ ∠ACB=∠BCF. ∵ PM⊥AC,PN⊥CF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 124 考向一　三角形全等的判定与性质 ▶ “答案与解析”见P60 1. 如图,点A、D、C、F 在同一条直线上,∠B= ∠E=90°,AB∥DE,再添加一个条件可使得 △ABC≌△DEF,添加的条件可以是( ) (第1题) A. ∠BAC=∠EDF B. ∠BCA=∠F C. BC∥EF D. AD=CF 2. 如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且 BC=CD,按照图中所标注的数据计算图中 实线所围成的图形的面积为 ( ) (第2题) A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 3. 如图,把两把含45°角的三角尺放在一起,点 B 在CE 上,A、C、D 三点在一条直线上,连 接AE、DB,DB 的延长线交AE 于点F.若 AE=6,DF=7,则△ABE的面积为 ( ) (第3题) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. (2024·黄山期末)如图,在等腰三角形ABC 与等腰三角形ADE 中,AB=AC,AD= AE,∠BAC=∠DAE=α,连接BD 和CE 交于点P,BD 交AC 于点M,CE 交AD 于 点N,连接AP.有下列结论:① BD=CE; ② ∠BPE=180°-2α;③ PA 平分∠BPE; ④ 若α=60°,则PE=AP+PD.其中,正确 的是 ( ) (第4题) A. ①② B. ①②③C. ①③ D. ①③④ 5. 如图,四边形ACDF 是正方形,∠CEA= ∠ABF=90°,E、A、B 三点共线,AB=4,则 涂色部分的面积是 . (第5题) 答案讲解 6. 在△ABC 中,AD、CE 为高,两条高 所在的直线相交于点 H.若CH= AB,则∠ACB 的度数为 . 7. (2024· 抚 顺 新 抚 期 末)如 图,CA 平 分 ∠DCB,CB=CD,DA 的延长线交BC 于点 E.若∠EAC=48°,则∠BAE 的 度 数 为 . (第7题) (第8题) 8. (2024· 淮 安 期 中)如 图,在 △ABC 中, ∠ACB=90°,AC=7cm,BC=3cm,CD 为 边AB 上的高,点E 从点B 出发,在直线BC 上以2cm/s的速度移动,过点E 作BC 的垂 线,交直线CD 于点F.当点E 移动 时,CF=AB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 期末压轴题特训 125 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB<60°,BD 平分 ∠ABC,交AC 于点D,点E 在线段BD 上 (不与点B、D 重合),且∠EAB=2∠ECB. 求证:AB+AE=BC. (第9题) 10. 如图,分别以△ABC 的边AB、AC 为腰向 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE,∠BAD=90°,∠CAE=90°,连接 DE.求证:S△ABC=S△ADE. (第10题) 答案讲解 11. 如图①,将两个全等的Rt△ABD 和Rt△ACE 拼在一起. (1) 如图②,若将图①中的△ACE 绕点A 按逆时针方向旋转,连接DE,M 是 DE的中点,连接MB、MC,求证:MB=MC. (2) 如图③,若将图①中的CE 向上平移, ∠CAE 不变,连接DE,M 是DE 的中点, 连接MB、MC,试判断 MB、MC 的数量关 系,并说明理由. (3) 如图④,在(2)的条件中,若∠CAE 的 度数改变,其他条件不变,则(2)中的MB、 MC 的数量关系还成立吗? 请说明理由. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训