1.1 一元二次方程-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

2 1.1　一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P1 1. 若关于x的方程(a-2)x2-2x+1=0是一 元二次方程,则下列结论中,正确的是( ) A. a≠2 B. a≠0 C. a=2 D. a=0 2. (易错题)若m 是一元二次方程x2+2x-1= 0的一个根,则2m2+4m 的值为 ( ) A. -2 B. 5 C. 2 D. 4 3. (2024·常州天宁期中)若(m+3)x|m|-1- (m-3)x-5=0是关于x的一元二次方程, 则m 的值为 . 4. 若关于x的一元二次方程(a-1)x2-ax+ a2=0的一个根为1,则a的值为 . 5. 把下列关于x 的一元二次方程化成一般形 式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项. (1) (x-4)(x+3)=15. (2) (x+5)2-2x(x-4)=4x-3. (3) 3x(x-4)=2(x-4). (4) 4(x-3)2=9(x+1)2. 6. (2023·阜新)近年来,由于新能源汽车的崛 起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑, 经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽 车今年三月份每台的售价为23万元,五月份 每台的售价为16万元.设该款燃油汽车这两 月售价的月平均下降率是x,则所列方程正 确的是 ( ) A. 16(1+x)2=23 B. 23(1-x)2=16 C. 23(1-2x)=16 D. 23-23(1-x)2=16 7. 已知关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0 有一个非零实数根-b,则a-b的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 8. ★若关于x的两个不同的方程x2+ax+1=0 和x2-x-a=0有一个公共根,则a的值为 ( ) A. 2 B. -3 C. -3或2 D. 2或3 9. 若在关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 中,4a+2b+c=0,则此方程必有一根为 . 10. 将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆 放,观察每个图形中“”的个数.若图 中有 239个“”,则可列方程为 . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 第1章　一元二次方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 3 11. 已知m 是方程x2+x-3=0的根,则m3+ 2m2-2m+2024的值为 . 答案讲解 12. 已知a是方程x2-2023x+1=0 的一个根,求a2-2022a+2023a2+1 的值. 13. 在关于x的一元二次方程x2-2ax+b=0 中,若a2-b>0,则称a 是该方程的“中 点值”. (1) 方程x2-8x+3=0的“中点值”是 . (2) 已知方程x2-mx+n=0的“中点值” 是3,其中一个根是x=2,求mn的值. 14. (易错题)已知下列三个关于x 的一元二次 方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根 a,则a+b+c的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 答案讲解 15. 阅读材料: 问题:已知方程x2+x-1=0,求 一个一元二次方程,使它的根分别 是已知方程的根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则y=2x. ∴ x=y2. 把x=y2 代入已知方程x2+x-1=0,得 y 2 2 +y2-1=0. 化简,得y2+2y-4=0. 这种利用方程根的替换求新方程的方法,我 们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”求新方程(把所求 方程化成一般形式). (1) 已知方程x2+x-2=0,求一个一元二 次方程,使它的根分别是已知方程的根的相 反数. (2) 已知关于x 的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数 根,求一个一元二次方程,使它的根分别是 已知方程的根的倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 第1章　一元二次方程 1.1　一元二次方程 1. A 2. C 3. 3 [解析] ∵ (m+3)x|m|-1- (m-3)x-5=0是关于x 的一元二 次方程,∴ m+3≠0, |m|-1=2, 解得m=3. 4. -1 [解析] 把x=1代入(a- 1)x2-ax+a2=0中,得a2=1. ∴ a=±1.由题意,得a-1≠0, 即a≠1.∴ a=-1. 5. (1) x2-x-27=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-1,常数项 为-27. (2) -x2+14x+28=0,它的二次项 系数为-1,一次项系数为14,常数项 为28. (3) 3x2-14x+8=0,它的二次项系 数为3,一次项系数为-14,常数项 为8. (4) -5x2-42x+27=0,它的二次 项系数为-5,一次项系数为-42,常 数项为27. 6. B 7. A [解析] ∵ 关于x的一元二次 方程x2+ax+b=0有一个非零实数 根-b,∴ b2-ab+b=0.∵ -b≠0, 即b≠0,∴ 方程两边同时除以b,得 b-a+1=0.∴ a-b=1. 8. A [解析] ∵ 关于x的两个不同 的方程x2+ax+1=0和x2-x- a=0有一个公共根,∴ x2+ax+1= x2-x-a,即(a+1)x+a+1=0. ∵ 易 得 a ≠ -1,∴ a+1≠0. ∴ x=-1.∴ x=-1是公共根.把 x=-1代入x2+ax+1=0,得1- a+1=0,解得a=2. 根据方程的根确定待定 系数的一般方法 对于这类几个方程具有公共 根,需确定其中待定系数的问题, 解答时,往往先根据它们存在的一 个公共根联立方程组,通过消元、 降次的方法,找到方程的根与待定 系数之间的数量关系,再根据隐含 的条件确定这几个方程的公共根, 最后将方程的根代入方程求得待 定系数. 9. x=-2 10. n2+n-1=239 [解析] 题图① 中有12+1-1=1(个)“”,题图②中 有22+2-1=5(个)“”,题图③中有 32+3-1=11(个)“”,题图④中有 42+4-1=19(个)“”,由此,可得题 图 中有(n2+n-1)个“”.∴ 可列 方程为n2+n-1=239. 11. 2027 [解析] ∵ m 是方程x2+ x-3=0的根,∴ m2+m-3=0. ∴ m2+m=3.∴ m3+2m2-2m+ 2024=m3+m2+m2-2m+2024= m(m2+m)+m2-2m+2024= 3m+m2-2m+2024=m2+m+ 2024=3+2024=2027. 12. ∵ a 是方程x2-2023x+1=0 的一个根, ∴ a2-2023a+1=0. ∴ a2=2023a-1. ∴ 原 式 =2023a-1-2022a+ 2023 2023a-1+1 = a2+1 a - 1 = 2023a-1+1 a -1=2023-1=2022. 13. (1) 4. (2) 由题意,得m 2=3 ,解得m=6. 把x=2,m=6代入x2-mx+n=0, 得4-6×2+n=0,解得n=8. ∴ mn=6×8=48. 14. A [解析] 把x=a代入ax2+ bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ ax+b=0,得a·a2+ba+c=0, ba2+ca+a=0,ca2+a·a+b=0. 相加,得(a+b+c)a2+(b+c+a)· a+(a+b+c)=0,即(a+b+c)· (a2+a+1)=0.∵ a2+a+1= a+ 1 2 2 +34>0 ,∴ a+b+c=0. 15. (1) 设所求方程的根为 m,则 m=-x. ∴ x=-m. 把x=-m 代入已知方程x2+x- 2=0,得(-m)2+(-m)-2=0. 化简,得m2-m-2=0. (2) 设所求方程的根为n,则n=1x. ∴ x=1n. 把x=1n 代入已知方程ax2+bx+ c=0(a≠0),得a 1n 2 +b·1n + c=0. 去分母,得 a+bn+cn2=0. 若c=0,则原方程ax2+bx+c= 0(a≠0)一定有一个根为0,不合题意. ∴ c≠0. ∴ 所求方程为cn2+bn+a=0(c≠0). 1.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 1. A 2. C [解析] 由(a2+b2-3)2=25, 得a2+b2-3=±5.∴ a2+b2=3± 5,解得 a2+b2=8或a2+b2=-2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1