6.4.1 用一次函数解决实际问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

110 6.4　用一次函数解决问题 第1课时 用一次函数解决实际问题 ▶ “答案与解析”见P54 1. 一个条形测力计上不挂物体时长5cm,挂上 物体后,在弹性限度内弹簧伸长的长度与所 挂物体的质量成正比,弹簧总长度y(cm)关于 所挂物体质量x(kg)的函数图像如图所示, 则图中a的值是 ( ) A. 15 B. 18 C. 20 D. 33 (第1题) (第2题) 2. 小明全家乘车去景区游玩然后返回家中,小 明离家的距离y(km)与所用时间x(h)的对 应关系如图所示.下列说法中,错误的是( ) A. 小明全家去景区时的平均车速为80km/h B. 小明全家停车游玩了4.5h C. 小明全家返回时的平均车速为60km/h D. 小明全家出发后,距家90km时,所用时 间为9 8h 3. (2024·南京鼓楼期中)某弹簧秤弹簧总长 y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数, 其部分对应值如下表: x/kg … 2 5 7 10 … y/cm … 13.5 15 16 17.5 … 此弹簧秤弹簧原长(不挂物体)是 cm. 4. 已知某品牌鞋子的长度y(cm)与鞋子的码数 x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长 度为16cm,44码鞋子的长度为27cm,则 38码鞋子的长度为 cm. 5. (2024·西安雁塔期中)某校运动会需购买 A、B两种奖品,其中A奖品的单价是10元, B奖品的单价是25元.计划购买A、B两种 奖品共100件,购买费用不超过1375元,且 购买A奖品的数量不大于购买B奖品数量 的4倍.设购买A奖品的数量为x件. (1) 求出购买A奖品的数量范围. (2) 设购买费用为W 元,写出W(元)与购买 A奖品的数量x(件)之间的函数关系,并确 定W 的最小值. 6. 如图,购买一种苹果所付款金额y(元)与购 买量x(千克)之间的函数图像由线段OA 和 射线AB 组成,则一次购买3千克这种苹果 比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 ( ) A. 4元 B. 3元 C. 2元 D. 1元 (第6题) (第7题) 7. 某商店在节日期间开展优惠促销活动:购买 原价超过200元的商品,超过200元的部分 可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款 金额y(元)与商品原价x(元)之间的函数关 系如图所示,则超过200元的部分可以享受 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 111 的优惠是 ( ) A. 打8折 B. 打7折 C. 打6折 D. 打5折 8. 气温随着高度的升高而下降,下降的规律是 从地面到高空11km处(包括11km),每升 高1km气温下降6℃;高于11km时,气温 不再发生变化.当地面的气温为20℃时,在离 地面3.5km的高空处,气温是 ℃. 9. (易错题)甲快递公司关于普通小件物品的收 费标准如下表: 1千克及以内 超过1千克的部分 8元 2元/千克(不足1千克 按1千克计) 设物品的质量为x 千克,甲快递公司的快递 费为y 元.若y=14,则x的取值范围是 . 10. (2023·合肥肥东期末)学校有3位教师准 备带领部分学生(不少于3人)参观野生动 物园.经洽谈,门票价格为教师票每张 36元,学生票每张18元,且有两种购票优 惠方案.方案一:购买一张教师票赠送一张 学生票;方案二:按全部师生门票总价的 80%付款,只能选择其中一种方案购买.设 学生人数为x,师生门票总费用为y元. (1) 分别求出两种优惠方案中y 与x 之间 的函数表达式. (2) 选择哪种优惠方案师生门票总费用较少? 答案讲解 11. (2024·常州一模)如图①,底面积 为30cm2的空圆柱容器内水平放 置着由两个实心圆柱组成的“几何 体”,现向容器内匀速注水,注满为止,在注 水过程中,水面高度h(cm)与注水时间 t(s)之间的关系如图②所示.若“几何体”的 下方圆柱的底面积为15cm2,则“几何体”上 方圆柱的底面积为 ( ) (第11题) A. 24cm2 B. 12cm2 C. 18cm2 D. 21cm2 12. 在深50cm的圆柱形容器的底部放入一个 长方体的铁块,现在以一定的速度向容器内 注水,如图所示为容器顶部离水面的距离 y(cm)随时间t(min)的变化图像. (1) 求放入的长方体铁块的高度. (2) 求该容器注满水所用的时间. (3) 若长方体铁块的底面积为6cm2,求圆 柱形容器的底面积. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次函数 ∴ NA = AC2-CN2 = 52-42=3. ∴ FC=ON=OA-NA=5-3=2. 在Rt△CFP 中,FC2+FP2=CP2, ∴ 22+(4-x)2=x2,解得x=52. ∴ OP=52. (第5题) 6. (1) 由y=2x+6,易得A(-3,0), C(0,6). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0). ∴ 6k+b=0, b=6, 解得 k=-1 , b=6. ∴ 直线 BC 对应的函数表达式为 y=-x+6. (2) 当AC=DC 时,有1个符合条件 的点,坐标为(3,0). 当AD=AC 时,有2个符合条件的 点,坐标为(-3+ 45,0)和(-3- 45,0). 当AD=CD 时,有1个符合条件的 点,坐标为 9 2 ,0 . 综上所述,满足条件的点D 的坐标为 -3+ 45,0 或 -3- 45,0 或 (3,0)或 92 ,0 . (3) ∵ A(-3,0)、C(0,6)、B(6,0), ∴ AB=9. ∴ S△ABC= 1 2×9×6=27. 设G(m,-m+6),0<m<6. ① 当S△ABG∶S△ACG=1∶2时,即 S△ABG= 1 3S△ABC=9 , ∴ 1 2×9 (-m+6)=9. ∴ m=4. ∴ G(4,2). ② 当S△ABG∶S△ACG=2∶1时,即 S△ABG= 2 3S△ABC=18 , ∴ 1 2×9 (-m+6)=18. ∴ m=2. ∴ G(2,4). 综上所述,点G的坐标为(4,2)或(2,4). 6.4　用一次函数解决问题 第1课时 用一次函数解决 实际问题 1. C 2. D 3. 12.5 4. 24 5. (1) ∵ 购买A奖品的数量为x件, ∴ 购买B奖品的数量为(100-x)件. 根 据 题 意, 得 10x+25(100-x)≤1375, x≤4(100-x), 解 得 75≤x≤80. ∴ 购买A奖品的数量范围是75件至 80件(包括75件和80件). (2) 由(1),可得W=10x+25(100- x)=-15x+2500(75≤x≤80), ∵ -15<0, ∴ W 随x的增大而减小. ∴ 当x=80时,W 取得最小值,最小 值为-15×80+2500=1300. 6. C 7. B [解析] 设超过200元的部分 可以享受的优惠是打n折.根据题意, 得y=200+(x-200)× n 10. 由题图, 可知当x=500时,y=410,即410= 200+(500-200)×n10 ,解得n=7. ∴ 超过200元的部分可以享受的优 惠是打7折. 8. -1 9. 3<x≤4 10. (1) 方案一:y=3×36+18(x- 3)=18x+54(x≥3); 方案二:y=(3×36+18x)×80%= 72 5x+ 432 5 (x≥3). ∴ 方案一与方案二中y与x 之间的 函数表达式分别为y=18x+54(x≥ 3)和y= 72 5x+ 432 5 (x≥3). (2) ① 当18x+54>725x+ 432 5 时,解 得x>9. ② 当18x+54=725x+ 432 5 时,解得 x=9. ③ 当18x+54<725x+ 432 5 时,解得 x<9. 又∵ x≥3, ∴ 3≤x<9. ∴ 当x>9时,选择方案二购票师生 门票总费用较少;当x=9时,选择方 案一或方案二师生门票总费用一样 多;当3≤x<9,选择方案一购票师生 门票总费用较少. 11. A 12. (1) 由图像,可知当t=3时,水面 到达长方体铁块的上表面, ∴ 长方体铁块的高度为50-30= 20(cm). (2) 设BC所在直线对应的函数表达 式为y=kt+b(k、b为常数,且k≠0). 将(3,30)、(9,20)代入,得 3k+b=30, 9k+b=20, 解得 k=-53 , b=35. ∴ y=- 5 3t+35. 当该容器注满水时,y=0,即- 5 3t+ 35=0,解得t=21. ∴ 该 容 器 注 满 水 所 用 的 时 间 为 21min. (3) 设圆柱形容器的底面积为Scm2, 每分钟向容器内注水acm3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 根据题意,得 50S=6×20+21a, 30S=(21-3)a, 解 得 S=8, a=403. ∴ 圆柱形容器的底面积为8cm2. 第2课时 解决两个一次 函数的实际问题 1. C 2. 1.5 3. (1) 根据题意,得y甲 =15x,当 15x=45时,x=3; y乙=25(x-1)=25x-25,当25x- 25=45时,x=145. ∴ y甲 关于x 的函数表达式为y甲= 15x(0≤x≤3),y乙 关于x 的函数表 达式为y乙=25x-251≤x≤145 . (2) 甲、乙两人能在途中相遇. 令15x=25x-25,解得x=52. 当x=52 时,y甲=y乙= 75 2. ∴ 甲、乙两人能在途中相遇,此时离 A地的距离为752km. 4. D [解析] 设y甲 =kx.将(6, 600)代入,得6k=600,∴ k=100. ∴ y甲 =100x.当0≤x<2时,设 y乙=mx.将(2,300)代入,得2m= 300,∴ m=150.∴ y乙 =150x.当 x≥2时,设y乙=nx+b.将(2,300)、 (6,500)代入,得 2n+b=300, 6n+b=500, 解得 n=50, b=200. ∴ y乙 = 50x + 200. ∵ 600÷6=100(米),∴ ①正确. ∵ (500-300)÷(6-2)=50(米), ∴ ②正确.∵ 当 x=4时,y甲 = 100x=400,y乙=50×4+200=400, ∴ ③正确.当y甲=100x=600时, x=6.当y乙=50x+200=600时, x=8.∴ 8-6=2(天).∴ ④正确. 5. B [解析] ∵ 第一次相遇两人共 走了2800m,第二次相遇两人共走了 (3×2800)m,且 两 人 速 度 不 变, ∴ c=60÷3=20.故选项C不符合题 意.∵ 当x=35时,出现拐点,∴ 此 时亮亮到达A地,路程为2800m,亮 亮的速度为2800÷35=80(m/min). 又∵ 两人的速度和为2800÷20= 140(m/min),∴ 明明的速度为140- 80=60(m/min).∴ a=140×(35- 20)=2100.故选项A不符合题意.在 35≤x≤d 时,两人同向而行,当x= d时,明明到达B地,∴ d=2800÷ 60=1403 . 故选项D不符合题意.明明 到达B地时,亮亮与明明的距离为 2800-801403 -35 =56003 (m),即 b=56003 . 故选项B符合题意. 6. 20 [解析] 设甲仓库的快件数量 y(件)与时间x(min)之间的函数表 达式为y=k1x+40.根据题意,得 60k1+40=400,解得k1=6.∴ y= 6x+40.设 乙 仓 库 的 快 件 数 量 y(件)与时间x(min)之间的函数表 达式为y=k2x+240.根据题意,得 60k2+240=0,解得k2=-4.∴ y= -4x+240.联立 y=6x+40, y=-4x+240, 解 得 x=20, y=160. ∴ 经过20min,两仓库快 递件数相同. 7. (1) 25 (2) 100 [解析] 由图像可得,小聪的 速度为4500÷56.25=80(m/min), 则小明的速度为4500÷25-80= 180-80=100(m/min). 8. (1) 设l1 对应的函数表达式为 y=k1x+b1(k1、b1为常数,且k1≠0). 将 (0,5)、(20,25)代 入,得 b1=5, 20k1+b1=25, 解得 k1=1, b1=5. ∴ l1对应的函数表达式为y=x+5. 设l2对应的函数表达式为y=k2x+ b2(k2、b2为常数,且k2≠0). 将 (0,15)、(20,25)代 入,得 b2=15, 20k2+b2=25, 解得 k2= 1 2 , b2=15. ∴ l2 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= 1 2x+15. (2) 当两气球之间的海拔相差5m 时,得 x+5- 12x+15 =5. 经整理,得 1 2x-10 =5 ,即10- 1 2x=5 或1 2x-10=5 ,解得x= 10或30. ∴ 当两气球之间的海拔相差5m时, 气球上升的时间为10min或30min. 9. (1) 设yA=k1x. 根据题意,得6k1=180,解得k1=30. ∴ yA=30x. 设yB=k2x+b. 根据 题 意,得 4k2+b=180, 13k2+b=360, 解 得 k2=20, b=100. ∴ yB=20x+100. (2) 令yA<yB,则30x<20x+100, 解得x<10. ∴ 一个季度的游泳时长少于10h时, 选择A套餐更省钱. (3) 由题意,得30x-(20x+100)= 5x,解得x=20. ∴ 小明估计的本季度的游泳时长为 20h. 专题特训（十一）　巧用 分段函数解决实际问题 1. D [解析] 当0≤x<10时,设 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55