期中拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

数学(人教版)八年级上 7 期中拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 如图,直线a∥b,∠1=63°,∠B=45°,则∠2的度数为 ( ) (第1题) A. 105° B. 108° C. 117° D. 135° 2. 下列图案中,属于轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,点C 和点E 分别在AD 和AB 上,BC 与DE 交于点F,AB= AD.若要使△ABC≌△ADE,添加下列条件后不能得到的是 ( ) A. BC=DE B. AC=AE C. ∠ACB=∠AED D. ∠BCD=∠DEB (第3题) (第4题) (第5题) 4. 四边形ABCD 的边长如图所示,对角线AC 的长随四边形ABCD 形状的改变而变化.当△ABC 为等腰三角形时,对角线AC 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图,在△ABC 中,M,N 为边AC 上的两点,AM=NM,BM⊥ AC,ND⊥BC 于点D,且NM=ND.若∠A=α,则∠C 的度数为 ( ) A. 3 2α B. 90°-12α C. 120°-α D. 2α-90° 6. 如图,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠C=30°,BD 平分∠ABC 交边 AC 于点D,过点A 作AE⊥BD 于点E,延长AE 交边BC 于点F, 连接DF,则∠CDF 的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° (第6题) (第7题) (第8题) 7. 如图,△ABC 的两条外角平分线交于点D,若AB=DC-AC, ∠DAC=57°,则∠DCA 的度数是 ( ) A. 80° B. 81° C. 82° D. 83° 8. 如图,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,OA<OD, ∠OAB=∠OCD=70°,连接AC,BD 交于点H,连接OH.有下列 结论:① AC=BD;② ∠AHB=40°;③ OH 平分∠BOC;④ HO 平 分∠AHD;⑤ 直线BD 平分线段OC.其中,正确的结论有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,M 为BC 的中点,H 为AB 上一 点,过点C 作CG∥AB,交HM 的延长线于点G.若AC=8,AB= 6,则四边形ACGH 的周长的最小值为 ( ) A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 (第9题) (第10题) 10. 如图,A 是x轴上的一个定点,点B 从原点O 出发沿y 轴的正方 向移动,以线段OB 为边在y轴的右侧作等边三角形OBD,以线段 AB 为边在AB 的上方作等边三角形ABC,连接CD.下列说法中, 错误的是 ( ) A. △BOA≌△BDC B. ∠ODC=150° C. 直线CD 与x轴所夹的锐角恒为60° D. 随着点B 的移动,线段CD 的长度逐渐增大 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 如图,正五边形的对角线AC,BD 相交于点O,则∠AOD 的度数 为 . (第11题) (第12题) (第13题) 12. 如图,将△ABC 沿DE,EF 翻折,使顶点A,B 均落在点O 处,且 EA 与EB 重合于线段EO.若∠CDO+∠CFO=100°,则∠C 的度 数为 . 13. 如图,AB 平分∠DAC,AB⊥BC,垂足为B.若∠ADC 与∠ACB 互补,BC=5,则CD 的长为 . 14. 如图,在四边形ABCD 中,DB=DC,∠DCA=60°,∠DAC=78°, ∠CAB=24°,则∠ACB 的度数为 . (第14题) (第15题) 15. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,3),点B 的坐标为 (4,0),AB=5,∠OAB 的平分线交x 轴于点C,P,Q 分别为线段 AC 和线段AO 上的动点,则OP+PQ 的最小值为 . 三、 解答题(共55分) 16. (10分)如图所示为由边长是1的小正方形构成的网格,每个小正 方形的顶点叫做格点,△ABC 的顶点在格点上,仅用无刻度的直 尺作图(不写作法,保留作图痕迹),并解答问题(作图过程用虚线, 作图结果用实线). (1) 作△ABC 关于y轴对称的图形△A1B1C1. (2) 在x轴上作点P,使AP+PB 的值最小. (3) 已知M 是线段AB 上一点,画点M 关于y轴的对称点N. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 17. (10分)如图①,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠ACB=2∠B,AD 平分∠BAC 交BC 于点D. (1) 求∠B 的度数. (2) 若CE⊥AD 于点F,交AB 于点E,求∠ECD 的度数. (3) 如图②,若CE 平分∠ACB 交AB 于点E,交AD 于点F,求 ∠AFC 的度数. (第17题) 18. (10分)如图,线段AC∥y轴,点B 在第一象限,AO 平分∠BAC, AB 交y轴于点G,连接OB,OC. (1) 判断△AOG 的形状,并加以证明. (2) 若点B,C 关于y轴对称,求证:AO⊥BO. (第18题) 19. (12分)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是直线BC 上一点(不与 点B,C 重合),以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE,使AE= AD,∠BAC=∠DAE,连接CE. (1) 当点D 在BC 的延长线上移动时,若∠BAC=25°,则∠DCE 的度数为 . (2) 设∠BAC=α,∠DCE=β,当点D 在直线BC 上移动时,α与β 之间有什么数量关系? 请说明理由. (第19题) 20. (13分)在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB 于点E. (1) 如图①,连接EC,求证:△EBC 是等边三角形. (2) M 是线段CD 上的一点(不与点C,D 重合),以BM 为一边, 在BM 的下方作∠BMG=60°,MG 交DE 的延长线于点G.请在 图②中画出完整的图形,并求出MD,DG 与AD 之间的数量关系. (3) 如图③,N 是线段AD 上的一点,以BN 为一边,在BN 的下 方作∠BNG=60°,NG 交DE 的延长线于点G.试探究ND,DG 与AD 之间的数量关系,并说明理由. (第20题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ∴ ∠C = ∠ABC,易 得 ∠EAB = ∠DAC. ∴ △EAB≌△DAC. ∴ ∠EBA=∠C. ∵ EF∥BC, ∴ ∠EFB=∠ABC. ∴ ∠EFB=∠EBA. ∵ 在△BEF 中,∠EFB=∠EBF, ∴ 易得△BEF 是等腰三角形. ② △BEF 是等腰三角形. ∵ AB=AC,AE=AD,∠BAC= ∠DAE, ∴ △AED 和△ABC是等腰三角形. ∴ ∠ACB=∠ABC,易得∠EAB= ∠DAC. ∴ △EAB≌△DAC. ∴ ∠EBA=∠DCA. ∴ 易得∠EBF=∠ACB. ∵ EF∥BC, ∴ ∠AFE=∠ABC. ∵ ∠ABC=∠ACB, ∴ ∠AFE=∠ACB. ∴ ∠EBF=∠AFE. ∵ 在△BEF 中,∠EBF=∠BFE, ∴ 易得△BEF 是等腰三角形. 20. (1) 如图①. ∵ △ABC 与△ADE 互为“顶补等腰 三角形”, ∴ AB=AC=AD=AE,∠BAC+ ∠DAE=180°. ∴ ∠B=∠C. 又∵ AM⊥BC,AN⊥ED, ∴ ∠3=∠4=90°,易得∠1=∠2, EN=ND. ∴ ∠BAC+2∠1=180°. 又∵ ∠BAC+2∠B=180°, ∴ ∠B=∠2=∠1. 在△ABM 和△EAN 中, ∠3=∠4, ∠B=∠1, AB=EA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△EAN. ∴ AM=EN. (2) 存在. 如图②,连接AC,取AC的中点P,连 接PB,PD. ∵ AD=AB,CD=CB,AC=AC, ∴ △ADC≌△ABC. ∴ ∠ADC=∠ABC=90°,∠DAC= ∠BAC=12∠BAD=30°. ∴ ∠DCA = ∠BCA =60°,CD = CB=12AC. ∵ P 是AC的中点, ∴ AP=CP=12AC. ∴ CD=CP=CB. ∴ △CPD 和△CPB 是等边三角形. ∴ PD=PC,PB=PC,∠DPC= ∠CPB=60°. ∴ PA=PB=PC=PD. 又∵ ∠CPB=60°, ∴ ∠APB=120°. ∴ ∠APB+∠DPC=180°. ∴ △PAB 与△PDC 互为“顶补等腰 三角形”. (第20题) 期中拔尖测评 一、 1. B 2. B 3. A 4. B 5. D [解析] ∵ AM=NM,BM⊥ AC,∠A=α,∴ BA=BN.∴ 易得 ∠ABM = ∠NBM = 90° - α. ∵ NM=ND,BM⊥AC,ND⊥BC, ∴ BN 平分∠MBD.∴ ∠ABM = ∠DBN = ∠NBM = 90° - α. ∴ ∠ABC= ∠ABM + ∠DBN + ∠NBM=270°-3α.∴ ∠C=180°- ∠A-∠ABC=2α-90°. 6. D [解 析] 在 △ABC 中, ∠ABC=50°,∠C=30°,∴ ∠BAC= 180°-(∠ABC+∠C)=100°.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠FBE. ∵ AE⊥BD,∴ ∠AEB=∠FEB= 90°. 在 △ABE 和 △FBE 中, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, ∠AEB=∠FEB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △FBE.∴ ∠BAE=∠BFE,AE= FE.∵ 在△ABF 中,∠ABC=50°, ∴ ∠BAE=∠BFE= 12 (180°- ∠ABC)=12× (180°-50°)=65°. ∴ ∠DAF = ∠BAC - ∠BAE = 100°-65°=35°.∵ AE=FE,AE⊥ BD,∴ BD 为AF 的垂直平分线. ∴ AD=DF.∴ ∠DFA=∠DAF= 35°.∴ ∠ADF=180°-(∠DFA+ ∠DAF)=180°-(35°+35°)=110°. ∴ ∠CDF=180°-∠ADF=70°. 7. C [解析] 如图,延长CA 至点E, 使AE=AB,连接BD,ED,ED 交 BA 的延长线于点N.∵ AB=DC- AC,∴ AB+AC=DC=AE+AC. ∴ EC=DC.∵ AD 平分∠NAC, ∴ ∠NAD=∠DAC.∵ ∠BAC= ∠EAN,∴ 易得∠EAD=∠BAD. 在△EAD 和△BAD 中, AE=AB, ∠EAD=∠BAD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAD ≌ △BAD.∴ ∠E = ∠ABD.设 ∠DCA=x.∵ EC=DC,∴ ∠E= ∠CDE= 12× (180°-x)=90°- 1 2x.∴ ∠ABD=90°-12x. 过点D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 作DM⊥BA,交BA的延长线于点M, DH⊥AC于点H,DQ⊥BC交BC的 延长线于点Q,则由题意,可得DM= DH=DQ.∴ 易得BD 平分∠ABC. ∴ ∠ABC=2∠ABD=180°-x. ∵ ∠DAC = 57°,∴ ∠NAC = 2∠DAC =114°.∵ 易得∠ACB + 2∠DCA=180°,∴ ∠ACB=180°- 2x.∵ ∠NAC=∠ABC+∠ACB, ∴ 114°=180°-x+180°-2x.∴ x= 82°,即∠DCA=82°. (第7题) 8. B [解析] ∵ OA=OB,OC=OD, ∠OAB = ∠OCD =70°,∴ 易 得 ∠AOB=∠COD=180°-2×70°= 40°.∴ ∠AOB+∠BOC=∠COD+ ∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC 和 △BOD 中, OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC≌△BOD.∴ ∠OAC= ∠OBD,AC=BD,故①正确.∵ 易得 ∠AHB + ∠OBD = ∠AOB + ∠OAC,∴ ∠AHB=∠AOB=40°, 故②正确.如图,过点O 作OG⊥AH 于点 G,OM ⊥ HD 于 点 M,则 ∠OGA=∠OMB=90°.在△OAG 和 △OBM 中, ∠OGA=∠OMB, ∠OAG=∠OBM, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAG≌△OBM.∴ OG=OM. ∴ HO 平分∠AHD,故④正确.假设 OH 平 分 ∠BOC,则 ∠BOH = ∠COH. ∴ ∠AOH = ∠DOH. ∵ HO 平分∠AHD,∴ ∠OHA= ∠OHD.在△AOH 和 △DOH 中, ∠AOH=∠DOH, OH=OH, ∠OHA=∠OHD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOH ≌ △DOH.∴ OA=OD,与OA<OD 矛盾,故③错误.根据题意,无法证得 直线BD 平分线段OC,故⑤错误.综 上所述,正确的结论有3个. (第8题) 9. B [解析] ∵ CG∥AB,∴ ∠B= ∠MCG.∵ M 是 BC 的 中 点, ∴ BM=CM.在△BMH 和△CMG 中, ∠B=∠MCG, BM=CM, ∠BMH=∠CMG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BMH≌ △CMG.∴ HM =GM,BH =CG. ∵ AB=6,AC=8,∴ 四边形ACGH 的周长=AC+CG+AH+GH= AC+BH+AH+GH=AB+AC+ GH=14+GH.∴ 当GH 的长取最 小值,即GH⊥AB 时,四边形ACGH 的周 长 有 最 小 值.∵ ∠A =90°, GH⊥AB,∴ GH ∥AC.∴ 易 得 GH=AC=8.∴ 四边形ACGH 的周 长的最小值为14+8=22. 10. D [解析] ∵ △OBD 和△ABC 都是 等 边 三 角 形,∴ ∠ABC = ∠OBD= ∠ODB= ∠BOD =60°, BO=BD,BC=AB.∴ ∠ABC- ∠DBA = ∠OBD - ∠DBA,即 ∠CBD = ∠ABO.在 △BOA 和 △BDC中, BO=BD, ∠ABO=∠CBD, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOA≌△BDC.故选项A正确. ∵ △BOA≌△BDC, ∴ ∠BOA= ∠BDC=90°.∴ ∠ODC=∠ODB+ ∠BDC=60°+90°=150°.故选项B 正确.如图,延长CD,交x轴于点E. ∵ ∠ODC = 150°, ∴ ∠ODE= 180°- ∠ODC =30°.∵ ∠BOA= 90°,∠BOD = 60°,∴ ∠DOA = ∠BOA-∠BOD=30°.∴ ∠DEA= ∠DOA+∠ODE=60°.∴ 直线CD 与x轴所夹的锐角恒为60°.故选项C 正确.∵ △BOA≌△BDC,∴ OA= DC.∵ A 是x 轴上的一个定点, ∴ OA 的长是一个定值.∴ DC 的长 也是一个定值.∴ 随着点B 的移动, 线段CD 的长度不变.故选项D错误. (第10题) 二、 11. 108° 12. 40° 13. 10 [解析] 如图,延长AD,CB 交于点E.∵ AB⊥BC,∴ ∠ABC= ∠ABE=90°.∵ AB 平分∠DAC, ∴ ∠BAE= ∠BAC.在 △ABC 和 △ABE 中, ∠BAC=∠BAE, AB=AB, ∠ABC=∠ABE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ABE.∴ BC=BE= 5,∠ACB=∠AEB.∴ CE=BE+ BC=10.∵ ∠ADC 与∠ACB 互补, ∴ ∠ADC + ∠ACB = 180°.又 ∵ ∠ADC + ∠CDE = 180°, ∴ ∠CDE = ∠ACB = ∠CED. ∴ CD=CE=10. (第13题) 14. 18° [解析] 如图,延长CA 到点 E,使 AE = AB,连 接 DE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 ∵ ∠DAC=78°,∴ ∠DAE=102°. ∵ ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB = 78°+24°=102°,∴ ∠DAE = ∠DAB.又∵ DA=DA,AE=AB, ∴ △DAE≌△DAB.∴ DE=DB= DC.∵ ∠DCA=60°,∴ △DEC是等 边 三 角 形.∴ ∠EDC = 60°. ∵ ∠ADC= 180° - ∠DAC - ∠DCA=180°-78°-60°=42°, ∴ ∠EDA=60°-42°=18°.∴ ∠ADB= ∠EDA=18°.∴ ∠BDC=60°-2× 18°=24°.∵ DB=DC,∴ ∠DBC= ∠DCB= 12 × (180°-24°)=78°. ∴ ∠ACB=78°-60°=18°. (第14题) 15. 12 5 [解析] 如图,在AB 上取一 点G,使AG=AQ,连接PG,过点O 作OH ⊥AB 于点 H.∵ AC 平分 ∠OAB, ∴ ∠CAO = ∠BAC. ∵ AQ= AG,∠PAQ = ∠PAG, AP =AP,∴ △APQ ≌ △APG. ∴ PQ=PG.∴ OP+PQ=OP+ PG.∵ 点O 到直线AB 上一点的所 有线段中,垂线段最短,∴ OP+PG 的最小值为OH 的长.∵ S△ABO = 1 2AB ·OH=12AO ·BO,又∵ 易 知AO=3,BO=4,AB=5,∴ OH= AO·BO AB = 3×4 5 = 12 5.∴ OP+PQ 的最小值为12 5. (第15题) 三、 16. (1) 如 图,△A1B1C1 即 为 所求. (2) 如图,点P 即为所求. (3) 如图,点N 即为所求. (第16题) 17. (1) 在△ABC中,∠BAC=60°, ∴ ∠B+∠ACB=180°-∠BAC= 180°-60°=120°. 又∵ ∠ACB=2∠B, ∴ ∠B+2∠B=120°. ∴ ∠B=40°. (2) 由(1),可知∠ACB=2∠B=2× 40°=80°. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠CAD = 12 ∠BAC = 1 2 × 60°=30°. ∵ CE⊥AD, ∴ ∠AFC=90°. ∴ ∠ACF=90°-∠CAD=90°- 30°=60°. ∴ ∠ECD=∠ACB-∠ACF=80°- 60°=20°. (3) ∵ CE 平分∠ACB, ∴ ∠ACF = 12 ∠ACB = 1 2 × 80°=40°. 在 △ACF 中,∵ ∠CAF =30°, ∠ACF=40°, ∴ ∠AFC = 180° - ∠CAF - ∠ACF=180°-30°-40°=110°. 18. (1) △AOG 是等腰三角形. ∵ AC∥y轴, ∴ ∠CAO=∠AOG. ∵ AO 平分∠BAC, ∴ ∠CAO=∠GAO. ∴ ∠GAO=∠AOG. ∴ AG=GO. ∴ △AOG 是等腰三角形. (2) 如图,连接BC 交y轴于点K,过 点A 作AN⊥y轴于点N. ∵ AC∥y轴,点B,C关于y轴对称, ∴ 易得AN=CK=BK,∠BKG= ∠CKG=∠ANG=90°. 在△ANG 和△BKG 中, ∠AGN=∠BGK, ∠ANG=∠BKG, AN=BK, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ANG≌△BKG. ∴ AG=BG. 由(1),知AG=OG. ∴ AG=OG=BG. ∴ ∠BOG = ∠OBG,∠OAG = ∠AOG. ∵ ∠OAG + ∠AOG + ∠BOG + ∠OBG=180°, ∴ ∠AOG + ∠BOG = 90°,即 ∠AOB=90°. ∴ AO⊥BO. (第18题) 19. (1) 25°. [解析] ∵ ∠BAC= ∠DAE,∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD.∴ ∠BAD = ∠CAE.在 △BAD 和 △CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD ≌ △CAE. ∴ ∠ABD = ∠ACE. ∵ ∠ACD= ∠ABD + ∠BAC = ∠ACE+∠DCE,∴ ∠BAC=∠DCE. ∵ ∠BAC=25°,∴ ∠DCE=25°. (2) 当点D 在线段BC的延长线上或 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 线段CB 的延长线上移动时,α与β之 间的数量关系是α=β;当点D 在线段 BC上时,α+β=180°. 理由:如图①,当点D 在线段BC的延 长线上时: ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD. ∴ ∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAE. ∴ ∠ABD=∠ACE. ∵ ∠ACD = ∠ABD + ∠BAC = ∠ACE+∠DCE, ∴ ∠BAC=∠DCE. ∵ ∠BAC=α,∠DCE=β, ∴ α=β. 如图②,当点D 在线段CB 的延长线 上时: 同理,可得∠DAB=∠EAC. 在△DAB 和△EAC中, AD=AE, ∠DAB=∠EAC, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAB≌△EAC. ∴ ∠ABD=∠ACE. ∵ ∠ABD = ∠ACD + ∠BAC, ∠ACE=∠ACD+∠DCE, ∴ ∠BAC=∠DCE. ∴ α=β. 如图③,当点D 在线段BC上时. ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ 易得∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAE. ∴ ∠ABD=∠ACE. ∵ ∠ACM = ∠ABD + ∠BAC = ∠ACE+∠MCE, ∴ ∠BAC=∠MCE=α. ∵ ∠DCE=β,∠DCE+∠MCE= 180°, ∴ α+β=180°. 综上所述,当点D 在线段BC 的延长 线上或线段CB 的延长线上移动时,α 与β之间的数量关系是α=β;当点D 在线段BC上时,α与β之间的数量关 系是α+β=180°. (第19题) 20. (1) ∵ 如图①,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,∠A=30°, ∴ ∠ABC=60°,BC=12AB. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠1=∠DBA=∠A=30°. ∴ DA=DB. ∵ DE⊥AB, ∴ AE=BE=12AB. ∴ BC=BE. ∴ △EBC是等边三角形. (2) 画出图形如图②所示,延长ED 使得DW=DM,连接MW. ∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,BD 是 △ABC 的角 平 分 线,DE⊥AB 于 点E, ∴ 易 得 ∠ADE = ∠BDE = ∠MDB=60°,AD=BD. ∴ ∠WDM=∠ADE=60°. 又∵ DM=DW, ∴ △WDM 是等边三角形. ∴ MW=DM,∠W=∠WMD=60°. ∵ ∠WMG = ∠WMD + ∠DMG, ∠DMB = ∠DMG + ∠GMB, ∠WMD=∠GMB=60°, ∴ ∠WMG=∠DMB. 在△WGM 和△DBM 中, ∠W=∠MDB, MW=MD, ∠WMG=∠DMB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △WGM≌△DBM. ∴ BD=GW=DG+DW=DG+ MD. ∴ AD=DG+MD. (3) AD=DG-ND. 理由:如图③,延长BD 至点H,使得 DH=DN,连接HN. 由(1),得DA=DB,∠A=30°. ∵ DE⊥AB 于点E, ∴ 易得∠2=∠3=60°. ∴ ∠4=∠5=60°. ∵ DH=DN, ∴ △NDH 是等边三角形. ∴ NH=ND,∠H=∠6=60°. ∴ ∠H=∠2. ∵ ∠BNG=60°, ∴ ∠BNG + ∠7= ∠6+ ∠7,即 ∠DNG=∠HNB. 在△DNG 和△HNB 中, ∠DNG=∠HNB, DN=HN, ∠2=∠H, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DNG≌△HNB. ∴ DG=HB. ∵ HB=HD+DB=ND+AD, ∴ DG=ND+AD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 66 ∴ AD=DG-ND. (第20题) 第十四章拔尖测评 一、 1. C 2. A 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C [解析] ∵ A=(3x+m)2= 9x2+6mx+m2=ax2+bx+c, ∴ a=9,故①正确.当 m=1时, (3x+1)2=9x2+6x+1=ax2+bx+ c,∴ a=9,b=6,c=1.∴ a-b+c= 4,故②错误.∵ B=x2-x+n, ∴ A·B=(9x2+6mx+m2)· (x2-x+n)=9x4+(6m-9)x3+ (9n+m2-6m)x2+(6mn-m2)x+ m2n.∴ k5=m2n,故 ③ 正 确.当 x=-m3 时,A=(-m+m)2=0, ∴ A·B=k1x4+k2x3+k3x2+ k4x+k5=0,故④正确.∴ 正确的个 数是3. 8. C 9. C [解析] 由题意,得lg10=1.原 式=lg5×(lg5+lg2)+lg2=lg5× lg(5×2)+lg2=lg5×lg10+lg2= lg5+lg2=lg10=1. 10. B [解析] 设正方形A,B的边长 分别为a,b.根据题意,可得(a- b)2=a2+b2-2ab=3,(a+b)2- a2-b2=a2+2ab+b2-a2-b2= 2ab=42.∴ a2+b2=2ab+3=42+ 3=45. 二、 11. 2(a-2b)(a+2b) 12. 1025 13. -32x8y6 [解析] ∵ 单项式 -22x2my3 与23x4yn+1 的差是一个 单项 式,∴ 单 项 式 -22x2my3 与 23x4yn+1是同类项.∴ 2m=4,n+ 1= 3,解 得 m = 2,n = 2. ∴ -22x4y3·23x4y3=-32x8y6. 14. -13 [解析] ∵ (ax-b)· (4x2-3x+8)=4ax3-3ax2+ 8ax-4bx2+3bx-8b=4ax3-(3a+ 4b)x2+(8a+3b)x-8b,乘积的展开 式中不含x2 项,且常数项为-8, ∴ -(3a+4b)=0, -8b=-8, 解得 a=- 4 3 , b=1. ∴ a+b=-43+1=- 1 3. 15. 12.5 [解析] 由题意,知a+b= 16÷2=8,ab=15.75.∴ (a+b)2= 64,即a2+2ab+b2=64.∴ a2+b2= 64-2ab=32.5.∵ S1=(6-b)2, S3=(6-a)2,S2=[b-(6-a)]2= (a+b-6)2,∴ 涂色部分的面积,即 S1+S2+S3=(6-b)2+(a+b- 6)2+(6-a)2=36-12b+b2+(8- 6)2+36-12a+a2=a2+b2-12b- 12a+76=a2+b2-12(b+a)+76= 32.5-12×8+76=12.5. 三、 16. 原式=[x2-4xy+4y2- (4x2 -y2)-5y2]÷ -12x = (x2-4xy+4y2-4x2+y2-5y2)÷ -12x = (- 3x2 - 4xy)÷ -12x =6x+8y. 当x=1,y=- 1 2 时,原式=6×1+ 8× -12 =6-4=2. 17.(1) 1.5×102×1.2×102×0.8× 102=(1.5×1.2×0.8)×(102× 102×102)=1.44×106(cm3). ∴ 每 块 大 理 石 的 体 积 为1.44× 106cm3. (2) (1.2×108)÷(3×104)=(1.2÷ 3)×(108÷104)=0.4×104=4× 103(kg). ∴ 每块大理石约重4×103kg. 18. (1) 892;(82+3×8+1)2. (2) n(n+1)(n+2)(n+3)+1是 n2+3n+1的平方. 假设猜想正确,则n(n+1)(n+ 2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2. ∵ 等式左边=(n2+3n)(n2+3n+ 2)+1=n4+6n3+11n2+6n+1,等 式右边=(n2+3n+1)2=(n2+1)2+ 2·3n·(n2+1)+9n2=n4+2n2+ 1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+ 11n2+6n+1,左边=右边, ∴ 猜想正确,即n(n+1)(n+2)(n+ 3)+1是n2+3n+1的平方. 19. (1) a2-4a-12=a2-4a+4- 4-12=(a-2)2-16=(a+2)(a-6). (2) x4 +64y4 =x4 +16x2y2 + 64y4 - 16x2y2 = (x2+8y2)2 - 16x2y2=(x2+8y2)2-(4xy)2= (x2+4xy+8y2)(x2-4xy+8y2). (3) ∵ 2m2-4mn+3n2-8n+ 16=0, ∴ 2m2-4mn+2n2+n2-8n+ 16=0. ∴ 2(m-n)2+(n-4)2=0. ∴ m=n,n=4. ∴ m=4,n=4. 20. (1) 6. (2) ∵ (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,…, ∴ 25+5×24×(-3)+10×23× (-3)2+10×22×(-3)3+5×2× (-3)4 + (-3)5 = [2+(-3)]5 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 76