第15章拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

数学(人教版)八年级上 11 第十五章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 在1 2 ,2 x-1 ,3 x ,x+1 4 ,x x+y 中,分式的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在芯片的制造过程中,需要在芯片表面上沉积各种薄膜层,如金属、 绝缘体和半导体.单位“埃”被用来描述薄膜的厚度.已知1埃= 0.0000000001米,即纳米的十分之一.若“15埃”用科学记数法表 示为1.5×10n 米,则n的值为 ( ) A. 8 B. -8 C. 9 D. -9 3. 下列变形中,错误的是 ( ) A. -a-b a+b =-1 B. 0.5a+b 0.2a-0.3b= 5a+10b 2a-3b C. x2-y2 x2+2xy+y2 =x-yx+y D. m3 m2+m=m+m 2 4. 计算 3n p 2 ÷mn p2 的结果是 ( ) A. 9mn3 p3 B. 3mn3 p3 C. 3n m D. 9n m 5. 如图,小明在化简分式 3n m-2n+ 2m-n 2n-m 的过程中,因为其中一个步 骤的错误,导致化简结果是错误的,小明开始出现错误的一步是 ( ) 原式=3n- (2m-n) m-2n ① =4n-2mm-2n② =2 (2n-m) m-2n ③ =2④ (第5题) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 已知关于x的方程 a2a-x= 1 4 的解是x=-2,则a的值为 ( ) A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 7. 嘉嘉在做题目“先化简,再求值:x-3 x+3- 2x+3 2x+6 ,其中x=1”时,误将 2x+3中2x的系数2漏掉了,则他的计算结果与正确结果 ( ) A. 相等 B. 相差1 8 C. 和为0 D. 积为-1 8. 设m,n为实数,定义如下新运算“☆”:m☆n= n3m-9. 若关于x 的 方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解,则a的值为 ( ) A. 4 B. -3 C. -3或4 D. 3或4 9. 某校组织防灾减灾教育活动,八年级同学进行了两次地震应急演 练,改进撤离方案后,第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多 20%,结果360名同学全部撤离所用的时间比第一次节省了30秒, 则第一次平均每秒撤离的人数为 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 对于分式P=xy ,我们把分式P'=1-y1+x 叫做P 的“伴随分式”.若 分式P1= a-1 a ,分式P2 是P1 的“伴随分式”,分式P3 是P2 的 “伴随分式”,分式P4 是P3 的“伴随分式”……以此类推,分式 P2024等于 ( ) A. 1-a a B. a-1 a C. 1-a 2-a D. a-1 2-a 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 已知a+b a-b= 3 2 ,则a 2-b2 ab = . 12. 化简: x+2 x2-2x- x-1 x2-4x+4 ÷ x-4x2-2x= . 13. 已知 a x+4+ b x-4= 8x x2-16 ,则ab的算术平方根是 . 14. 一个容器内装有1升水,按照如下方法把水倒出:第1次倒出12 升 水,第2次倒出的水量是12 升的1 3 ,第3次倒出的水量是13 升的 1 4 ,第4次倒出的水量是14 升的1 5 ,…,第n次倒出的水量是1n 升 的 1 n+1. 按照这种倒水的方法,n次倒出的水量共为 升. 15. 已知xyz=1,x+y+z=2,x2+y2+z2=16,则 1 xy+2z+ 1 yz+2x+ 1 zx+2y= . 三、 解答题(共55分) 16. (8分)先化简,再求值:1-x-3x-2÷x+2- 5 x-2 ,其中x 是满足 0≤x≤3的整数. 17. (10分)已知不等式组 2x-a<1, x-2b>3 的解集为-1<x<1,且关于y 的方程2-ay 1+by+1= m 1+by 的解为正数,求m 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 18. (10分)定义:若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分 式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”. 如:x+1 x-1= x-1+2 x-1 = x-1 x-1+ 2 x-1=1+ 2 x-1 ,a 2-2a+3 a-1 = (a-1)2+2 a-1 =a-1+ 2 a-1 ,则x+1 x-1 和a 2-2a+3 a-1 都是“和谐分式”. (1) 有下列各式:① x+1 x ;② 2+x 2 ;③ x+2 x+1 ;④ y2+1 y2 .其中,属于 “和谐分式”的是 (填序号). (2) 将“和谐分式”x 2+6x-3 x-1 化成一个整式与一个分子为常数的 分式的和的形式:x 2+6x-3 x-1 = . (3) 已知方程组 x+my=11, x+3m=2y 有正整数解,求整数m 的值. 19. (13分)有四个家庭利用假期相约一起开着两辆车去北京游玩,其 中商务面包车为领队,小轿车紧随其后,四个家庭同时出发,当商 务面包车行驶了200km时,发现小轿车只行驶了180km.若商务 面包车的行驶速度比小轿车快10km/h. (1) 小轿车、商务面包车的速度分别为多少? (2) 他们约定好在离出发地300km的地方碰头,小轿车为了追上 商务面包车,于是马上提速,两辆车正好同时到达,则小轿车提速 多少? 20. (14分)元旦前夕,某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市 场,就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件,面市后果然供不应 求,商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件,所购数量 是第一批购进数量的2倍,但每件的进价贵了4元. (1) 该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件时的进价分别是每件 多少元? (2) 若两批“吉祥龙”挂件每件按相同的标价销售,要使两批“吉祥 龙”挂件全部售完后该商场获利不低于7300元(不考虑其他因 素),且最后的50件“吉祥龙”挂件打八折售出,则每件“吉祥龙”挂 件的标价至少是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 (2-3)5=-1. (3) 当 x =1 时,(x-1)2020 = a1x2020+a2x2019+a3x2018+…+ a2019x2+a2020x+a2021,即a1+a2+ a3+…+a2019+a2020+a2021=0. 当x=0时,(x-1)2020=a1x2020+ a2x2019+a3x2018+…+a2019x2+ a2020x+a2021,即a2021=1. ∴ a1+a2+a3+…+a2019+a2020= 0-1=-1. 第十五章拔尖测评 一、 1. C 2. D 3. D 4. D 5. D 6. B 7. B 8. D [解析] ∵ m☆n= n3m-9 , ∴ x☆x= x3x-9 ,x☆12= 123x-9. ∴ 原方程可化为 ax 3x-9= 12 3x-9+1. 去分母,得ax=12+3x-9.移项、合 并同类项,得(a-3)x=3.∵ 关于x 的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解, ∴ 易得a=3或x=3.当x=3时, 3(a-3)=3,解得a=4.综上所述, a=3或4. 9. C 10. D [解 析] ∵ P1 = a-1 a , ∴ P2= 1-a 1+a-1= 1-a a .∴ P3= 1-a 1+1-a= 1-a 2-a.∴ P4= 1-(2-a) 1+1-a = a-1 2-a.∴ P5= 1-(2-a) 1+(a-1)= a-1 a .∴ P5=P1,P6= P2,….∴ 可得4个分式为一个循环. ∵ 2024÷4=506,∴ P2024=P4= a-1 2-a. 二、 11. 24 5 12. 1 x-2 13. 4 [解析] ∵ a x+4+ b x-4= 8x x2-16 ,∴ a(x-4)+b(x+4) (x+4)(x-4) = 8x x2-16 ,即a(x-4)+b(x+4)=8x. ∴ (a+b)x-4(a-b)=8x. ∴ a+b=8, a-b=0, 解得a=4 , b=4. ∴ ab=4×4= 16,ab的算术平方根是4. 14. n n+1 15. -413 [解析] ∵ x+y+z=2, ∴ 两边平方,得x2+y2+z2+2xy+ 2yz+2xz=4.又∵ x2+y2+z2=16, ∴ xy+yz+xz=-6.∵ z=2-x- y,∴ 1 xy+2z= 1 xy+4-2x-2y= 1 (x-2)(y-2). 同 理,得 1 yz+2x= 1 (y-2)(z-2) , 1 zx+2y= 1 (z-2)(x-2). ∴ 1 xy+2z+ 1 yz+2x + 1 zx+2y = 1 (x-2)(y-2)+ 1 (y-2)(z-2)+ 1 (z-2)(x-2)= (z-2)+(x-2)+(y-2) (x-2)(y-2)(z-2) = x+y+z-6 xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8= 2-6 1+12+8-8=- 4 13. 三、 16. 原 式 = 1 - x-3x-2 ÷ x2-4 x-2- 5 x-2 = 1 - x-3x-2 ÷ x2-9 x-2=1- x-3 x-2 · x-2(x+3)(x-3)= 1- 1x+3= x+3 x+3- 1 x+3= x+2 x+3. ∵ (x+3)(x-3)≠0且x-2≠0, ∴ x≠±3且x≠2. 又∵ x是满足0≤x≤3的整数, ∴ x=1或x=0. ∴ 当x=1时,原式=34 或当x=0 时,原式=23 . 17. 由题意,得不等式组的解集为 2b+3<x<a+12 . ∵ -1<x<1, ∴ 2b+3=-1,a+12 =1 ,解得a=1, b=-2. ∴ 关于y的方程可化为 2-y 1-2y+1= m 1-2y ,解得y= 3-m 3 . ∵ 关于y 的方程 2-y 1-2y+1= m 1-2y 的解为正数, ∴ y>0且y≠ 1 2. ∴ 3-m 3 >0 且3-m 3 ≠ 1 2 ,解得m< 3且m≠32. 18. (1) ①③④. (2) x+7+ 4x-1. (3) 解 方 程 组 x+my=11, x+3m=2y, 得 x=6-3m+ 10m+2 , y=3+ 5 m+2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∵ m 为整数, ∴ 当m+2=±1或±5时,y与x都 是整数. 当m+2=1,即m=-1时,x=19, y=8,符合要求;当m+2=-1,即 m=-3时,x=5,y=-2,不符合要 求;当m+2=5,即m=3时,x=-1, y=4,不符合要求;当m+2=-5,即 m=-7时,x=25,y=2,符合要求. ∴ m=-1或m=-7. 19. (1) 设小轿车的速度为xkm/h, 则商务面包车的速度为(x+10)km/h. 根 据 题 意,得 200 x+10= 180 x ,解 得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 86 x=90. 经检验,x=90是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ x+10=100. ∴ 小轿车的速度为90km/h,商务面 包车的速度为100km/h. (2) 设小轿车提速akm/h. 根据题意,得300-200 100 = 300-180 90+a , 解得a=30. 经检验,a=30是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ 小轿车提速30km/h. 20. (1) 设该商场购进第一批“吉祥 龙”挂件时的进价是每件x 元,则购 进第二批“吉祥龙”挂件时的进价是每 件(x+4)元. 根据题意,得12800 x+4= 6000 x ×2 ,解得 x=60. 经检验,x=60是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ x+4=64. ∴ 该商场购进第一批“吉祥龙”挂件 时的进价是每件60元,购进第二批 “吉祥龙”挂件时的进价是每件64元. (2) 该商场购进第一批“吉祥龙”挂件 的数量是6000÷60=100(件),该商 场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是 12800÷64=200(件). 设每件“吉祥龙”挂件的标价是y 元. 根据题意,得(100+200-50)y+ 50×0.8y-6000-12800≥7300,解 得y≥90. ∴ y的最小值为90. ∴ 每件“吉祥龙”挂件的标价至少是 90元. 期末拔尖测评（一） 一、 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A 6. A 7. D 8. B [解 析] 设 ∠BDE =x, ∠CDF=y.∵ △B'DE 由△BDE 折 叠而成,△C'DF 由△CDF 折叠而 成,∴ ∠B'DE = ∠BDE = x, ∠FDC'=∠CDF=y.∵ DB'恰好平 分∠EDC',∴ ∠B'DE=∠B'DC'= x.∵ ∠EDF =99.5°,∠BDE + ∠B'DE+ ∠B'DC' + ∠C'DF + ∠CDF=180°,∴ 2x+y=99.5°, 3x+2y=180°, 解 得 x=19°, y=61.5°. ∴ ∠EDC'=2x=38°. 9. B 10. D 二、 11. 200 12. 1.5 13. 64° [解 析] ∵ ∠ADB + ∠BDC=180°,∴ ∠ADB=180°- ∠BDC=180°-100°=80°.∵ DE 平 分∠BDC,∴ ∠BDE=12∠BDC= 1 2 ×100°=50°. 在 △ADE 中, ∠ADE=∠ADB+∠BDE=80°+ 50°=130°,∠E=18°,∴ ∠EAD= 180°-∠ADE-∠E=180°-130°- 18°=32°.又 ∵ AE 平 分 ∠BAC, ∴ ∠BAC=2∠EAD=64°. 14. 26° [解析] ∵ ME⊥AB,MF⊥ CD,∴ ∠OEM=∠OFM=90°.在 Rt△OEM 和Rt△OFM 中, OM=OM, ME=MF, ∴ Rt△OEM≌ Rt△OFM.∴ ∠EOM = ∠FOM. ∵ ∠EOM + ∠FOM + ∠AOC= 180°,∴ ∠EOM = ∠FOM = 180°-∠AOC 2 = 180°-52° 2 =64°. ∴ ∠OME=90°-∠EOM=90°- 64°=26°. 15. 2 [解析] 如图,延长BF 交AC 于 点 E.∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠BAF=∠EAF.∵ BF⊥AD, ∴ ∠AFB=∠AFE=90°.∵ AF= AF,∴ △ABF≌△AEF.∴ AE= AB=4.∵ FG∥AB,∴ ∠BAF= ∠AFG.∴ ∠GAF = ∠AFG. ∴ AG=FG.∵ ∠GAF+∠GEF = ∠AFG+∠EFG=90°,∴ ∠GEF= ∠EFG.∴ FG=GE.∴ AG=FG= GE.∴ FG=12AE=2. (第15题) 三、 16. (1) A=x 2+x x-4÷ x2-1 x2-8x+16= x(x+1) x-4 · (x-4)2 (x+1)(x-1)= x2-4x x-1 . (2) ∵ A+B=1, ∴ x2-4x x-1 + x2-2m 1-x =1. ∴ x2-4x-(x2-2m)=x-1,解得 x=2m+15 . ∵ 分式方程的解是非负数, ∴ 易得x≥0且x≠±1,x≠4. ∴ 2m+1 5 ≥0 且2m+1 5 ≠ ±1 , 2m+1 5 ≠4 ,解得m≥-12 且m≠2, m≠-3,m≠192. ∴ m 的取值范围是m≥-12 且m≠ 2,m≠192. (3) A=x 2-4x x-1 = x2-4x+3-3 x-1 = (x-1)(x-3)-3 x-1 =x-3- 3 x-1. ∵ 分式A 的值为整数, ∴ x-1=±3或±1. ∴ x=4,-2,2,0. ∵ 由题意,易得x≠4,x≠±1, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 96