专题特训(一)三角形内、外角的平分线的夹角探究-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

12 　专题特训（一）　三角形内、外角的平分线的夹角探究 ▶ “答案与解析”见P5 类型一 三角形两内角的平分线的夹角 模型示例:如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB. 结论:∠D=90°+12∠A. 1. 如图,在△ABC 中,BF,CF 分别是∠ABC, ∠ACB 的平分线.若∠F=100°,则∠A 的度 数为 . (第1题) 2. 如图,∠MON=80°,点A,B 分别在射线 OM,ON 上移动,△AOB 的角平分线AC 与 BD 交于点P.随着点A,B 位置的变化, ∠APB 的度数是否会变化? 若不变,请说明 理由;若变化,请求出变化范围. (第2题) 答案讲解 3. (1) 如图①,在△ABC 中,∠A= 60°,∠ABC,∠ACB 的三等分线交 于 点 O1,O2,连 接 O1O2,则 ∠BO2O1的度数为 . (2) 如图②,在△ABC 中,∠ABC 的三等分 线分别与∠ACB 的平分线交于点O1,O2.若 ∠1=115°,∠2=135°,求∠A 的度数. (第3题) 类型二 三角形一内角的平分线与一外角的 平分线的夹角 模型示例:如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,CE 平分△ABC 的外角∠ACM. 结论:∠E=12∠A. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 13 4. 如图,∠ACD 是△ABC 的外角,∠ABC 的 平分 线 与 ∠ACD 的 平 分 线 交 于 点 A1, ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于 点A2……∠An-1BC 的平分线与∠An-1CD 的平分线交于点An.设∠A=α,则∠An 的 度数为 ( ) (第4题) A. α B. α 2 C. α 2n D. α 2n 5. (2023·安顺期末)如图,△ABC 为直角三角 形,∠ACB=90°,AD 为∠CAB 的平分线, 与∠ABC 的平分线BE 交于点E,BG 是 △ABC 的外角平分线,AD 的延长线与BG 相交于点G,则∠ADC 与∠GBF 的度数 和为 ( ) A. 120° B. 135° C. 150° D. 160° (第5题) (第6题) 6. 如图,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线.如果 ∠ABP=20°,∠ACP=50°,那么∠A+∠P 的度数为 . 类型三 三角形两外角的平分线的夹角 模型示例:如图,在△ABC 中,BF,CF 分别平分 △ABC 的外角∠CBP,∠BCQ. 结论:∠F=90°-12∠A. 7. 如图,在△ABC 中,∠C=62°,△ABC 的外 角∠DAB 和∠EBA 的平分线交于点G,则 ∠G 的度数为 . (第7题) 答案讲解 8. (2023·泉州期末)如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交 于点P,△ABC 的外角∠MBC 与 ∠NCB 的平分线交于点Q,延长线段BP, QC 交于点E. (1) 若∠A=30°,求∠BPC 的度数. (2) 探究∠BPC 与∠Q 之间的数量关系,并 说明理由. (3) 在△BQE 中,若一个内角的度数等于另 一个内角度数的3倍,求∠A 的度数. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形 专题特训（一）　三角形内、 外角的平分线的夹角探究　 1. 20° 2. ∠APB 的度数不变. 理由:∵ △AOB 的角平分线AC 与 BD 交于点P, ∴ ∠PAB= 12 ∠OAB ,∠PBA= 1 2∠OBA. ∴ ∠PAB+∠PBA=12∠OAB+ 1 2∠OBA= 1 2 (∠OAB+∠OBA)= 1 2 (180°-∠AOB)=90°-12∠AOB. ∴ ∠APB =180°- (∠PAB + ∠PBA)=180°- 90°-12∠AOB = 90°+12∠AOB. ∵ ∠AOB=80°, ∴ ∠APB=90°+12×80°=130° ,即 随着点A,B 位置的变化,∠APB 的 度数不变,始终为130°. 3. (1) 50°. [解析] ∵ ∠ABC, ∠ACB 的三等分线交于点O1,O2, ∴ ∠O2BC= 2 3∠ABC ,∠O2CB= 2 3∠ACB ,BO1 平分∠O2BC,CO1 平分∠O2CB.∴ 易得 O2O1 平分 ∠BO2C.∴ ∠O2BC+∠O2CB= 2 3 (∠ABC+∠ACB)=23× (180°- ∠A)= 23 × (180°-60°)= 23 × 120°=80°.∴ ∠BO2C =180°- (∠O2BC+∠O2CB)=180°-80°= 100°.∴ ∠BO2O1= 1 2 ∠BO2C= 1 2×100°=50°. (2) ∵ ∠2是△O2O1B 的外角, ∴ ∠2=∠1+∠O1BO2. ∵ ∠1=115°,∠2=135°, ∴ ∠O1BO2=∠2-∠1=135°- 115°=20°. ∵ 由题意,知BO2,BO1是∠ABC的 三等分线, ∴ ∠O1BC = ∠O1BO2 = 20°, ∠ABC=3∠O1BO2=3×20°=60°. ∴ ∠O1CB=180°-∠2-∠O1BC= 180°-135°-20°=25°. ∵ CO1是∠ACB 的平分线, ∴ ∠ACB=2∠O1CB=2×25°= 50°. ∴ ∠A=180°-∠ABC-∠ACB= 180°-60°-50°=70°. 4. D 5. B 6. 90° 7. 59° [解 析] 在 △ABC 中, ∵ ∠C=62°,∴ ∠ABC+∠BAC= 180°-62°=118°.∴ ∠DAB + ∠EBA =180°- ∠BAC+180°- ∠ABC=242°.∵ AG,BG 分别平分 ∠DAB,∠EBA, ∴ ∠BAG + ∠ABG=12∠DAB+ 1 2∠EBA= 1 2 (∠DAB+∠EBA)=12×242°= 121°.∴ ∠G=180°- (∠BAG+ ∠ABG)=180°-121°=59°. 8. (1) ∵ ∠ABC + ∠ACB + ∠A=180°, ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A. ∵ BP,CP 分 别 平 分 ∠ABC, ∠ACB, ∴ ∠PBC= 12 ∠ABC ,∠PCB = 1 2∠ACB. ∴ ∠PBC+∠PCB=12 (∠ABC+ ∠ACB)=12 (180°-∠A)=90°- 1 2∠A. ∵ ∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°, ∴ ∠BPC =180°- (∠PBC + ∠PCB)=180°- 90°-12∠A = 90°+12∠A. ∵ ∠A=30°, ∴ ∠BPC=90°+ 12 ∠A=90°+ 1 2×30°=105°. (2) ∠BPC+∠Q=180°. 理由:∵ 由题意,知BP 平分∠ABC, BQ 平分∠MBC, ∴ ∠PBC= 12 ∠ABC ,∠QBC= 1 2∠MBC. ∴ ∠PBC+∠QBC=12 (∠ABC+ ∠MBC),即∠PBQ=12 (∠ABC+ ∠MBC)=12×180°=90°. 同理,可得∠PCQ=90°. 根据四边形的内角和等于360°,得 ∠PBQ + ∠PCQ + ∠BPC + ∠Q=360°. ∴ ∠BPC+∠Q=180°. (3) 由(1),可知∠BPC=90°+12∠A , 由(2),可知∠BPC+∠Q=180°. ∴ ∠Q=180°- ∠BPC=180°- 90°+12∠A =90°-12∠A. ∵ ∠PBQ=90°, ∴ ∠E=90°-∠Q=90°- 90°- 1 2∠A =12∠A. 在△BQE 中,∠EBQ=90°,∠E= 1 2∠A ,∠Q=90°-12∠A , 若一个内角的度数等于另一个内角度 数的3倍,则有下列四种情况: ① 当∠EBQ=3∠E 时,则90°=3× 1 2∠A , ∴ ∠A=60°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 ② 当∠EBQ=3∠Q 时,则90°= 3× 90°-12∠A , ∴ ∠A=120°. ③ 当 ∠Q =3∠E 时,则 90°- 1 2∠A=3× 1 2∠A , ∴ ∠A=45°. ④ 当∠E=3∠Q 时,则 12 ∠A= 3× 90°-12∠A , ∴ ∠A=135°. 综上所述,∠A 的度数是60°或120° 或45°或135°. 专题特训（二）　三角形 中的数学思想方法 1. A 2. 24° 3. 设∠A=x,则∠C=∠ABC= 3 2x. ∵ BD 是边AC上的高, ∴ ∠ADB=∠CDB=90°. ∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠DBC=90°-∠C=90°-32x. ∵ ∠ABD+∠DBC=∠ABC, ∴ 90°-x+90°-32x= 3 2x ,解得 x=45°. ∴ ∠DBC =90°- ∠C =90°- 3 2x=22.5°. 4. B 5. 360° 6. ∵ ∠AKG = ∠A + ∠B, ∠DHG = ∠C + ∠D,∠FGK = ∠E+∠F,∠AKG,∠DHG,∠FGK 是△GKH 的外角, ∴ ∠AKG+ ∠DHG+ ∠FGK = 360°. ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=360°. 7. A 8. 220° 9. ∵ ∠ABC 和∠ACB 的三等分线 分别交于点E,D,F,G, ∴ ∠CBG = ∠EBG = ∠ABE = 1 3∠ABC ,∠BCF = ∠ECF = ∠ACE=13∠ACB. 在△BCG 中,∠BGC=118°, ∴ ∠CBG+∠BCE=180°-∠BGC. ∴ ∠CBG+2∠BCF=62°①. 在△BCF 中,∠BFC=132°, ∴ ∠BCF+∠CBF=180°-∠BFC. ∴ ∠BCF+2∠CBG=48°②. ①+②,得3∠BCF+3∠CBG= 110°. ∴ ∠A = 180°- (3 ∠BCF + 3∠CBG)=70°. 10. D 11. 80°或40° 12. (1) ∵ ∠BAC=90°,AE⊥BC, ∴ ∠CAF+∠BAF=90°,∠B+ ∠BAF=90°. ∴ ∠CAF=∠B. 由折叠的性质,可知∠B=∠E, ∴ ∠CAF=∠E. ∴ DE∥AC. (2) ① ∵ ∠C = 2 ∠B,∠C + ∠B=90°, ∴ 易得∠C=60°,∠B=30°. ∵ DE⊥BC,∠E=∠B=30°, ∴ ∠BFE=60°. ∵ ∠BFE=∠B+∠BAF, ∴ ∠BAF=30°. 由折叠的性质,可知∠BAD=x°= 1 2∠BAF=15° , ∴ x=15. ② 存在. ∵ ∠BAD=x°, ∴ 易 得 ∠FDE = (120-2x)°, ∠DFE=(2x+30)°. 当∠FDE=∠DFE 时,120-2x= 2x+30,解得x=22.5. 当∠DFE=∠E=30°时,2x+30= 30,解得x=0. ∵ 0<x<60, ∴ 不合题意,舍去. 当∠FDE=∠E=30°时,120-2x= 30,解得x=45. 综上所述,存在x=22.5或45,使得 △DEF 中有两个角相等. 第十一章复习 ［知识体系构建］ (n-2)×180° 360° (n-2)×180° n 360° n ［高频考点突破］ 典例1 D [解析] 设第三边的长为 x.∴ 5-2<x<5+2,即3<x<7. ∵ △ABC 的第三边的长是偶数, ∴ x=4或x=6.∴ 此三角形的周长 为2+5+4=11或2+5+6=13. [跟踪训练] 1. D 典例2 (1) 150°. (2) ∠BDC+∠BAC=2∠BEC. 理由:由题意,得∠BDC=∠BEC+ ∠1+ ∠2①,∠BEC = ∠BAC + ∠ABE+∠ACE②. ∵ BE 平 分 ∠ABD,CE 平 分 ∠ACD, ∴ ∠ABE=∠1,∠ACE=∠2. ① - ②,得 ∠BDC - ∠BEC = ∠BEC-∠BAC. ∴ ∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3) 2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. 理由:∵ ∠1= 13 ∠ABD ,∠2= 1 3∠ACD , ∴ ∠ABE= 23 ∠ABD ,∠ACE= 2 3∠ACD. ∵ 由 题 意,知∠BEC= ∠BAC+ ∠ABE + ∠ACE = ∠BAC + 2 3∠ABD+ 2 3∠ACD① ,∠BDC= ∠BAC+∠ABD+∠ACD②, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6