4.3.1 实数及其分类-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

72 4.3　实　数 第1课时 实数及其分类 ▶ “答案与解析”见P38 1. 在-13 、22 7 、0、-1、0.4、π、2、-3、-6这些数 中,无理数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 无限小数都是无理数 B. 不带根号的数一定是有理数 C. 无理数是无限小数 D. 带根号的数是无理数 3. 我们知道实数和数轴上的点一一对应,如图, 正方形的边长为1,P 是半圆与数轴的交点, 则点P 对应的实数为 ( ) (第3题) A. 2 B. 2+1 C. 2.4 D. 2.5 4. 在25 7 、3.14159、7、-8、32、0.6、0、36、 π 3 中,无理数的个数为 . 5. 有一个数值转换器,其流程如图所示.当输入 x的值为125时,输出y的值是 . (第5题) 6. ★把下列各数填到相应的括号内(填序号): ① 23;② -13 ;③ 3-8;④ 0.54;⑤ 0.13 ∙ ; ⑥ π 9 ;⑦ 0;⑧ - 23;⑨ (7)2; ⑩ 0.2020020002…(相邻两个2之间0的 个数逐次加1). 有理数:{ …}; 无理数:{ …}; 正实数:{ …}; 负实数:{ …}. 7. (易错题)有下列说法:① 实数不是无理数就 是有理数;② 无限小数都是无理数;③ 带根 号的数是无理数;④ 不能除尽的分数是无理 数;⑤ 开方开不尽的数是无理数.其中,正确 的个数是 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图,数轴上点A、B 表示的数分别是1、3, 且B、C 两点到点A 的距离相等,则点C 表 示的数是 ( ) (第8题) A. 1 4 B. 1-3 C. 2-3 D. 3-3 9. 写出所有符合条件的实数: (1) 小于 20的正整数: . (2) 大于- 17且小于 11的整数: . (3) 绝对值小于 18的负整数: . 10. 数轴是一个非常重要的数学工具,揭示了数 与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基 础.如图,面积为5的正方形ABCD 的顶点 A 在数轴上,且点A 表示的数为1.若点E 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 73 在数轴上(点E 在点A 左侧),且AD= AE,则点E 表示的数为 . (第10题) 11. 若 m 是 26的 整 数 部 分,n =3,求 3mn+19的值. 12. 如 图,在 长 方 形 ABCD 中,∠DAE = ∠CBE=45°,AD=1,分别写出长度为有理 数的线段与长度为无理数的线段. (第12题) 13. ★如图,在网格中,每个小正方形的边长都是 1,每个小正方形的顶点叫做格点,以格点为 顶点,在图中画一个三角形,使它的三边长 分别为3、10、13. (第13题) 14. 若x是无理数,(x-2)(x+6)是有理数,则 下列式子中,是有理数的为 ( ) A. x2 B. (x+6)2 C. (x+2)(x-6) D. (x+2)2 答案讲解 15. 阅读下面的材料: 为什么 2不是有理数? 假设2是有理数,则存在两个 互质的正整数m、n,使得 2=nm.∴ 2m2= n2.∵ 2m2是偶数,∴ n2也是偶数.∴ n是 偶数.设n=2t(t是正整数),则n2=4t2,即 4t2=2m2.∴ 2t2=m2.∴ m 也是偶数. ∴ m、n 都是偶数,不互质,与假设矛盾. ∴ 假设错误.∴ 2不是有理数. 请用类似的方法证明3不是有理数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第4章　实　数 运用算术平方根、平方根的 定义求值的思路 正确理解算术平方根和平方 根的定义是解决问题的关键.若已 知一个正数的算术平方根,则这个 正数等于其算术平方根的平方;若 已知一个正数的平方根,则这个正 数等于其任意一个平方根的平方. 根据一个数和它的平方根或算术 平方根的关系列出方程,即可求出 相应字母的值. 13. (1) 1 3 (2) 6 (3) ±1 (4) ±9 14. (1) x=±94. (2) x=7或x=-3. (3) x=112 或x=-712. (4) x=4或x=-72. (5) x=±2. 15. 100 [解析] 根据题意,得a2+ b2+2a-6b+10=0,即a2+2a+1+ b2-6b+9=0,∴ (a+1)2+(b- 3)2=0.∴ a+1=0,b-3=0,解得 a=-1,b=3.∴ 这个数是(a2+ b2)2=(1+9)2=100. 16. (1) ±2;-3;0. (2) 一个数的n(n 是大于1的整 数)次方根的性质: ① 正数的n次方根:当n为偶数时, 有两个n次方根,且它们互为相反数; 当n 为奇数时,有一个n 次方根,且 为正数. ② 0的n次方根为0. ③ 负数的n次方根:当n为偶数时, 没有n 次方根;当n 为奇数时,有一 个n次方根,且为负数. 4.2　立 方 根 1. B 2. B 3. D 4. (1) 3 (2) 4 (3) 64 5. 3 6. (1) -8. (2) 1 4. (3) 0.7. (4) -34. 7. A [解析] ① 3是27的立方根, 原来的说法错误;② 1 16 的算术平方根 是1 4 ,原来的说法错误;③ - 3-8= 2是正确的;④ 16=4,4的平方根 是±2,原来的说法错误;⑤ 9是81的 算术平方根,原来的说法错误.故正确 的有1个. 8. A [解析] 一个正方体木块的体 积是27cm3,将它锯成8个同样大小 的小正方体木块,则每个小正方体木 块的体积为27 8cm 3.∴ 每个小正方体 木块的棱长是3 2cm. 9. D 10. 3 [解析] 由题意,得m+7+ 2m-1=0,解得m=-2.∴ a=(-2+ 7)2=25.∴ a-m=25-(-2)=27, 即a-m 的立方根为3. 11. (1) 3-4 (2) 3 12. 2或1或0 [解析] ∵ 3x-1= x-1,∴ x-1=1或x-1=0或x- 1=-1.∴ x=2或x=1或x=0. ∴ x的值为2或1或0. 13. (1) 根据题意,得2x-1=42, 2x+y+1=25,则2x=17,y=7. ∴ 2x-3y+18=17-3×7+18=14. ∴ 2x-3y+18的立方根是 314. (2) ∵ 2a+b与 c-b互为相反 数,31-3b与 3b+1互为相反数, ∴ 2a+b=0,c-b=0,1-3b+b+ 1=0, 解得a=-12 ,b=1,c=1. 运用算术平方根、立方根的 性质解题 如果两个非负数的算术平方 根的和为0,那么这两个数都是0; 互为相反数的两个数的立方根仍 然互为相反数.解决这类问题时, 我们常常运用这两个性质建立适 当的方程求得待求的数值. 14. ∵ y= x-24+ 24-x-8, ∴ x-24≥0, 24-x≥0. ∴ x=24. ∴ y=-8. ∴ 3x-5y= 364=4. 15. 64 16. (1) 两;右;一. (2) 0.7071;22.36. (3) 被开方数的小数点每向右(左)移 动三 位,其 立 方 根 的 小 数 点 向 右 (左)移动一位. (4) 21.54;-0.4642. 4.3　实　数 第1课时 实数及其分类 1. A 2. C 3. B 4. 3 5. 5 6. ②③④⑤⑦⑧⑨;①⑥⑩;①④⑤ ⑥⑨⑩;②③⑧. 对无理数的概念理解不透彻 导致答案错误 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈,造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫做无理数”这一概念. 在判断一个数是不是无理数时,一 定要根据概念,看它是不是“无限” 且“不循环”的小数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 7. D [解析] ① 实数不是无理数就 是有理数,故①正确;② 无限不循环 小数都是无理数,故②不正确;③ 带 根号的数不一定是无理数,例如: 4是有理数,故③不正确;④ 分数都 是有理数,故④不正确;⑤ 开方开不 尽的数是无理数,故⑤正确.综上所 述,正确的个数是2. 8. C [解析] ∵ 数轴上点A、B 表示 的数分别是1、3,∴ AB= 3-1. ∵ B、C 两点到点A 的距离相等, ∴ AC=AB=3-1.∴ 点C 表示的 数是1-(3-1)=1- 3+1= 2-3. 9. (1) 1、2、3、4 (2) -4、-3、 -2、-1、0、1、2、3 (3) -4、-3、 -2、-1 10. 1-5 [解析] ∵ 正方形的面积 为5,∴ AD = 5.∵ AD =AE, ∴ AE=5.∵ 点A 表示的数为1, 且点E 在点A 左侧,∴ 点E 表示的 数为1-5. 11. ∵ 5< 26<6,m 是 26的整数 部分, ∴ m=5. ∵ n=3, ∴ n=9. ∴ 3mn+19= 35×9+19=4. 12. 长度为有理数的线段:AD、DE、 CE、BC、DC、AB; 长度为无理数的线段:AE、BE. 13. 画法不唯一,如图所示. (第13题) 画边长为无理数的三角形 解答这类问题时,往往先运用 勾股定理将斜边长为所求无理数 的直角三角形的斜边画出来,再通 过平移的方法将三边首尾顺次相 接,最后画出符合题意的三角形. 一般地,这样的三角形的形状是唯 一的,但位置不唯一. 14. D [解析] (x-2)(x+6)= x2+4x-12,∵ x 是无理数,∴ 4x 是无理数.又∵ x2+4x-12是有理 数,∴ x2+4x 是有理数.∴ 选项中, 只有(x+2)2=x2+4x+4是有 理数. 15. 假设 3是有理数,则存在两个互 质的正整数m、n,使得 3=nm. ∴ 3m2=n2. ∵ 3m2是3的倍数, ∴ n2也是3的倍数. ∴ n是3的倍数. 设n=3t(t是正整数),则n2=9t2,即 9t2=3m2. ∴ 3t2=m2. ∴ m 也是3的倍数. ∴ m、n都是3的倍数,不互质,与假 设矛盾. ∴ 假设错误. ∴ 3不是有理数. 第2课时 实数的运算 1. B 2. A 3. B 4. (1) - 2 (2) 10-2 10-2 5. (1) 2 (2) 7 (3) -6<0<5<π 6. (1) 在数轴上标出-a、-b、-c的 位置如图所示. c<-a<-b<b<a<-c. (2) 由各个数在数轴上的位置,可知 a+1>0,c-b<0,b-1<0,c- 2a<0, ∴ |a+1|-|c-b|-|b-1|+|c- 2a|=a+1-b+c-1+b-c+ 2a=3a. (3) ∵ 表示数b的点与表示数-1的 点的距离和表示数c的点与表示数 -1的点的距离相等, ∴ b+1=-c-1. ∴ b+c=-2. 又∵ a+b+c=0, ∴ a=-b-c=2. ∴ 2(b+2c)-a(a-1)-(c-b)= 2b+4c-a2+a-c+b=-a2+a+ 3b+3c=-4+2+(-6)=-8. (第6题) 7. B 8. C [解析] 由题意,得m=-2+ 2>0.∴ |m+1|-(m-6)=m+1- m+6=7. 9. 2 [解析] ∵ x-5+y≥0, 5-x-y≥0,∴ x-5+y=5- x-y=0.∴ |a+3b-5|+|b-2a+ 3|=0.∵ |a+3b-5|≥0,|b-2a+ 3|≥0,∴ a+3b-5=0, b-2a+3=0, 解 得 a=2, b=1. ∴ ab=2×1=2. 10. 0≤t≤1 [解析] ∵ [-3t+2, t-1,-1]min 的 结 果 为 -1, ∴ -3t+2≥-1, t-1≥-1. ∴ 0≤t≤1. 11. 2 [解析] ∵ 2< 3,∴ 2★ 3= 3.∵ 7> 3,∴ 7★(2★ 3)= 7★ 3= (7)2-(3)2= 4=2. 12. 2a-c [解析] ∵ b<a<0<c, ∴ a-c<0,a-b>0,b-c<0. ∴ c2- (a-c)2+ 3(a-b)3- |b-c|=c+(a-c)+(a-b)+(b- c)=2a-c. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93