专题特训(四)全等三角形中的动态问题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

专题特训（四）　全等 三角形中的动态问题 1. (1) ∵ CD 为边AB 上的高, ∴ CD⊥AB,即∠ADC=90°. ∴ ∠A+∠ACD=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠BCD+∠ACD=90°. ∴ ∠A=∠BCD. (2) 当CF=AB 时,点E 移动了6s 或1s. 理由:如图,当点E 在射线BC上移动 时,过点E 作EF⊥BC,交直线CD 于点F,则∠CEF=90°. ∵ ∠A=∠BCD,∠BCD=∠ECF, ∴ ∠A=∠ECF. 在△CFE 和△ABC中, ∠CEF=∠ACB=90°, ∠ECF=∠A, CF=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CFE≌△ABC(AAS). ∴ CE=AC=7cm. ∴ BE=BC+CE=12cm. ∴ 点E 移动了12÷2=6(s). 当点E'在射线CB 上移动时,过点E' 作E'F'⊥BC,交直线CD 于点F'. 同理,可得△CF'E'≌△ABC(AAS). ∴ CE'=AC=7cm. ∴ BE'=CE'-BC=2cm. ∴ 点E'移动了2÷2=1(s). 综上所述,当CF=AB 时,点E 移动 了6s或1s. (第1题) 2. (1) 在△ABC和△EDC中, AC=EC, ∠ACB=∠ECD, BC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△EDC(SAS). ∴ ∠A=∠E. ∴ AB∥DE. (2) 当0≤t≤4时,AP=2tcm. 当4<t≤8时,BP=(2t-8)cm,此时 AP=AB-BP=(16-2t)cm. ∴ 当0≤t≤4时,线段AP 的长为 2tcm;当4<t≤8时,线段AP 的长 为(16-2t)cm. (3) ∵ △ABC≌△EDC, ∴ AB=ED=8cm,∠A=∠E. 根据题意,得DQ=tcm, ∴ EQ=(8-t)cm. 当线段PQ 经过点C时, 在△ACP 和△ECQ 中, ∠A=∠E, AC=EC, ∠ACP=∠ECQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACP≌△ECQ(ASA). ∴ AP=EQ. 当0≤t≤4时,2t=8-t,解得t=83 ; 当4<t≤8时,16-2t=8-t,解得 t=8. 综上所述,当线段PQ 经过点C 时,t 的值为8 3 或8. 3. (1) ① ∵ ∠ACB=90°,AD⊥ MN,BE⊥MN, ∴ ∠ACD+∠ECB=90°,∠ADC= ∠CEB=90°. ∴ ∠DAC+∠ACD=90°. ∴ ∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB(AAS). ② ∵ △ADC≌△CEB, ∴ CD=BE,AD=CE. ∴ DE=CE+CD=AD+BE. (2) △ADC≌△CEB 成立,DE= AD+BE 不成立. 理由:∵ ∠ACB=90°,AD⊥MN, BE⊥MN, ∴ ∠ACD+∠ECB=90°,∠ADC= ∠CEB=90°. ∴ ∠DAC+∠ACD=90°. ∴ ∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB(AAS). ∴ CD=BE,AD=CE. ∴ DE=CE-CD=AD-BE. ∴ △ADC ≌ △CEB 成 立,DE = AD+BE 不成立. 4. (1) ① 如图①,连接BF. ∵ 易知△ABC≌△DBE, ∴ BC=BE,AC=DE. ∵ ∠ACB=∠DEB=90°, ∴ ∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BFC和Rt△BFE 中, BF=BF, BC=BE, ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE(HL). ∴ CF=EF. ② ∵ CF=EF,AF+CF=AC, ∴ AF+EF=AC=DE. (2) (1)中的两个结论成立. 理由:如图②,连接BF. ∵ △ABC≌△DBE, ∴ BC=BE,AC=DE,∠ACB= ∠DEB=90°. ∴ ∠BEF=90°. 在Rt△BCF 和Rt△BEF 中, BF=BF, BC=BE, ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). ∴ CF=EF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 ∴ AF+EF=AF+CF=AC=DE. ∴ (1)中的两个结论成立. (3) AF=DE+EF. 如图③,连接BF. ∵ △ABC≌△DBE, ∴ BC=BE,AC=DE. ∵ ∠ACB=∠DEB=90°, ∴ ∠BCF=∠BEF=90°. 在Rt△BCF 和Rt△BEF 中, BF=BF, BC=BE, ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). ∴ CF=EF. ∴ AF=AC+CF=DE+EF. (第4题) 12.3　角的平分线的性质 1. B 2. C 3. B 4. 15 5. (1) ∵ ∠D=90°, ∴ AD⊥DE. ∵ EA 平分∠DEF, 又∵ AF⊥EF, ∴ AF=AD. (2) ∵ BE⊥AC, ∴ ∠AFB=90°. 在Rt△ABF 和Rt△ACD 中, AB=AC, AF=AD, ∴ Rt△ABF≌Rt△ACD(HL). ∴ BF=CD=7. ∵ DE=3, ∴ CE=CD-DE=7-3=4. 6. C 7. D 8. 54° [解析] 如图,过点 P 作 PF⊥BA,交BA 的延长线于点F, PN⊥BD 于点N,PM⊥AC 于点M. 设∠PCD=x°.∵ CP 平分∠ACD, ∴ ∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN. ∴ ∠ACD=∠ACP+∠PCD=2x°. ∵ BP 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABP= ∠PBC,PF=PN.∴ PF=PM.又 ∵ PF⊥BA,PM⊥AC,∴ AP 平分 ∠FAC. ∴ ∠FAP = ∠CAP. ∵ ∠BPC= 36°, ∴ ∠ABP = ∠PBC = x°- 36°.∴ ∠BAC= ∠ACD - ∠ABC =2x°- (x°- 36°)-(x°-36°)=72°.∴ ∠CAF= 180°-72°=108°.∴ ∠FAP = ∠CAP=12∠CAF=54°. (第8题) 9. 10 [解析] 如 图,过 点 P 作 PH⊥MN 于点H,PC⊥OA 于点C, PD⊥OB 于点D,连接PO.∵ MP 平 分 ∠AMN,NP 平 分 ∠MNB, ∴ PC=PH,PD=PH.∴ PC= PD.∵ △PMN 的面积=12MN · PH =6,MN =4,∴ PH =3. ∴ PC=PD=3.∵ △PMN 的面积 是 6,△OMN 的 面 积 是 9, ∴ △POM+△PON =6+9=15. ∴ 1 2OM ·PC+12ON ·PD=15. ∴ (OM+ON)×3=15×2.∴ OM+ ON=10,即OM+ON 的值是10. (第9题) 10. (1) 延长AB 至点M,使AE= ME,连接CM. ∵ CE⊥AB, ∴ ∠AEC=∠MEC=90°. 在△ACE 和△MCE 中, AE=ME, ∠AEC=∠MEC, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△MCE(SAS). ∴ AC=MC,∠CAE=∠CME. ∵ AC平分∠BAD, ∴ ∠DAC=∠CAE. ∴ ∠DAC=∠BMC. ∵ ∠ADC+∠ABC=180°,∠ABC+ ∠CBM=180°, ∴ ∠ADC=∠CBM. 在△ADC和△MBC中, ∠ADC=∠MBC, ∠DAC=∠BMC, AC=MC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△MBC(AAS). ∴ AD=MB. ∴ AM=2AE=AB+BM=AB+ AD,即AB+AD=2AE. (2) 延长AB 至点N,使BN=AD, 连接CN. ∵ AB+AD=2AE=AB+BN= AN, ∴ 易得AE=NE. 又∵ CE⊥AN, ∴ 同 理 (1),得 AC = NC, ∠CAE=∠CNE. ∵ AC平分∠BAD, ∴ ∠DAC=∠CAE. ∴ ∠DAC=∠BNC. 在△ADC和△NBC中, AD=NB, ∠DAC=∠BNC, AC=NC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△NBC(SAS). ∴ CD=CB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 32 　　　　专题特训（四）　全等三角形中的动态问题 ▶ “答案与解析”见P13 类型一 单动点与全等三角形 1. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC= 7cm,BC=5cm,CD 为边AB 上的高,点E 从点B 出发,在直线BC 上以2cm/s的速度 移动. (1) 求证:∠A=∠BCD. (2) 过点E 作BC 的垂线,交直线CD 于点 F,当CF=AB 时,点E 移动了多长时间? 请给出结论并说明理由. (第1题) 答案讲解 类型二 双动点与全等三角形 2. 如图,AE 与BD 相交于点C,AC= EC,BC=DC,AB=8cm,点P 从 点A 出发,沿A→B→A 以2cm/s 的速度运动,点Q 从点D 出发,沿D→E 以 1cm/s的速度运动,P,Q 两点同时出发,当 点P 到达点A 时,P,Q 两点同时停止运动, 设点P 的运动时间为ts. (1) 求证:AB∥DE. (2) 写出线段AP 的长(用含t的式子表示). (3) 连接PQ,当线段PQ 经过点C 时,求t 的值. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 33 类型三 线动与全等三角形 3. 在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点C,且AD⊥MN 于点D,BE⊥ MN 于点E. (1) 当直线MN 绕点C 旋转到如图①所示的 位置时,求证: ① △ADC≌△CEB. ② DE=AD+BE. (2) 当直线MN 绕点C 旋转到如图②所示的 位置时,问题(1)中的结论还成立吗? 请判断 并说明理由. (第3题) 答案讲解 类型四 形动与全等三角形 4. (2023·随州期中)将两个全等的直 角三角形ABC,DBE 按如图①所示 的方式摆放.其中,∠ACB=∠DEB= 90°,∠A=∠D=30°,点E 落在AB 上,DE 所在的直线交AC 所在的直线于点F. (1) 求证: ① CF=EF. ② AF+EF=DE. (2) 若将图①中的△DBE 绕点B 按顺时针 方向旋转α,且0°<α<60°,其他条件不变,如 图②.请你判断(1)中的两个结论是否成立, 并说明理由. (3) 若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方 向旋转β,且60°<β<180°,其他条件不变,如 图③.请你写出此时AF,EF 与DE 之间的 数量关系,并加以证明. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形