专题特训(十一)分式的化简与求值-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

104 　　　　　专题特训（十一）　分式的化简与求值 ▶ “答案与解析”见P45 类型一 分式的运算 1. 计算: (1) (2024·大连一模) aa2-b2- 1a+b ÷ b a2-2ab+b2. (2) a+1- 3a-1 ÷a 2+4a+4 a-1 . (3) a2-4 a ÷ 5a-4 a -a-1 . (4) x+4 x2+3x÷ 7 x+3-x+3 . 类型二 化简分式,直接代入求值 2. 若a-3b=0,则 aa-b- a+b a-b 的值为 ( ) A. 3 2 B. -32 C. 1 2 D. -12 3. (2023· 常 德)先化简,再求值:x+3x2-4÷ 2-x+1x+2 ,其中x=5. 类型三 灵活变形,整体代入求值 4. 已知 a2-3a-2=0,则 1 - 4a+1 ÷ a2-6a+9 a+1 ·1 a= . 5. 已知a+2b ab = 1 2 ,则4a+8b ab - 3ab 2a+4b 的值为 . 答案讲解 6. 若x2-3x+1=0,则 x 2 x4+x2+1 的 值为 . 7. 已知a2+a-1=0,求式子 aa-1-1 ÷ a3-a a2-2a+1 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 105 8. (2023· 菏 泽)先化简,再求值: 3xx-y+ x x+y ÷ xx2-y2,其中x,y 满足2x+y- 3=0. 类型四 对有条件的分式化简求值 9. ★(2023· 黄 石)先 化 简 2m-3+1 ÷ 2m-2 m2-6m+9 ,然后从1,2,3,4中选择一个合 适的数作为m 的值代入求值. 10. (2023· 广 安)先 化 简 a 2 a+1-a+1 ÷ a2-1 a2+2a+1 ,再从-2<a<3的范围内选择 一个适当的整数作为a的值,代入求值. 答案讲解 类型五 取倒数变形求分式的值 11. (2023·巴中期末)阅读材料: 已知 x x2+1= 1 3 ,求 x 2 x4+1 的值. 解:由已知条件,可得x≠0,则x 2+1 x =3 ,即 x+1x=3. ∵ x4+1 x2 =x 2+1x2=x+ 1 x 2 -2=32- 2=7, ∴ x2 x4+1= 1 7. 上面材料中的解法叫做“倒数法”,请你利用 “倒数法”解答下列题目: (1) 已 知 x x2-3x+1= 1 2 ,求 x 2 x4+x2+1 的值. (2) 已知 xy x+y=3 ,xz x+z= 4 3 ,yz y+z=1 ,求 xyz xy+xz+yz 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十五章　分　式 理由:∵ a=2-4444=(2-4)1111= 1 16 1111 ,b=3-3333=(3-3)1111= 1 27 1111 ,c=5-2222=(5-2)1111= 1 25 1111 ,1 16> 1 25> 1 27 , ∴ 1 16 1111 > 125 1111 > 127 1111 , 即a>c>b. (2) ∵ (2x+3)x+2021=1, ∴ 2x+3=1或2x+3=-1且x+ 2021为偶数或2x+3≠0且x+ 2021=0,解得x=-1或无解或 x=-2021. ∴ x的值为-1或-2021. 15. (1) a2+a-2=7,a-a-1=±5. (2) ∵ ab+a-b=x, ∴ (ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=x2. 又 ∵ (ab-a-b)2 =a2b +a-2b - 2=y2, ∴ x2-y2=4. (3) 由a2-3a+1=0,可知a≠0,则 等式两边同除以a,得a-3+a-1= 0,即a+a-1=3. ∴ a-a-1=±5. 专题特训（十一）　分式的 化简与求值 1. (1) 原 式 = a(a+b)(a-b)- a-b (a+b)(a-b) ÷ b(a-b)2 = b (a+b)(a-b) ·(a-b) 2 b = a-b a+b. (2) 原 式 = (a+1)(a-1)-3 a-1 · a-1 (a+2)2= a2-4 (a+2)2= (a+2)(a-2) (a+2)2 = a-2 a+2. (3) 原 式 = (a+2)(a-2) a ÷ 5a-4-a(a+1) a = (a+2)(a-2) a · a 5a-4-a2-a = (a+2)(a-2) a · a -(a-2)2= a+2 2-a. (4) 原式= x+4x(x+3)÷ 7-(x-3)(x+3) x+3 = x+4 x(x+3)÷ -x2+16 x+3 =- x+4 x(x+3) · x+3 (x+4)(x-4)=- 1 x(x-4)= - 1x2-4x. 2. D 3. 原式= x+3(x-2)(x+2)÷ x+3 x+2= x+3 (x-2)(x+2) ·x+2 x+3= 1 x-2. ∴ 当x=5时,原式= 15-2= 1 3. 4. 1 2 5. -1 6. 1 8 7. 原式 =a- (a-1) a-1 ÷ a(a+1)(a-1) (a-1)2 = 1 a-1 · (a-1)2 a(a+1)(a-1)= 1 a(a+1)= 1 a2+a. ∵ a2+a-1=0, ∴ a2+a=1. ∴ 原式=1. 8. 原 式 =3x 2+3xy+x2-xy (x-y)(x+y) · (x-y)(x+y) x = 2x(2x+y) (x-y)(x+y) · (x-y)(x+y) x =2 (2x+y). ∵ 2x+y-3=0, ∴ 2x+y=3. ∴ 原式=2×3=6. 9. 原 式 =2+m-3m-3 · (m-3) 2 2(m-1)= m-1 m-3 ·(m-3) 2 2(m-1)= m-3 2 . ∵ m-3≠0,m-1≠0, ∴ m≠3,m≠1. ∴ 当m=2时,原式=2-32 =- 1 2 或当m=4时,原式=4-32 = 1 2 . 未对原分式是否有意义 进行判断 解答分式的化简求值类问题 时,选取数值后应注意原分式的分 母不能为零.求解时切忌只观察化 简后的分式,取值时也要注意所取 的值要使原来的分式有意义. 10. 原式=a 2-a2+1 a+1 · (a+1)2 (a+1)(a-1)= 1 a-1. ∵ 易知-2<a<3且a≠±1, ∴ a=0或a=2符合题意. ∴ 当a=0时,原式= 10-1=-1 或 当a=2时,原式= 12-1=1 . 11. (1) 由 x x2-3x+1= 1 2 ,可得x≠ 0,则x 2-3x+1 x =2 ,即x-3+1x= 2,得x+1x=5. ∵ x4+x2+1 x2 =x 2 +1+ 1x2 = x+1x 2 -2+1=52-1=24, ∴ x2 x4+x2+1= 1 24. (2) 由 xy x+y=3 ,可得 xy≠0,则 x+y xy = 1 3 ,即1 y+ 1 x= 1 3. 同理,可得1 z+ 1 x= 3 4 ,1 z+ 1 y=1. ∴ 2 1x+ 1 y+ 1 z =13+34+1,解 得1 x+ 1 y+ 1 z= 25 24. ∵ xy+xz+yz xyz = 1 z+ 1 y+ 1 x= 25 24 , ∴ xyz xy+xz+yz= 24 25. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54