专题特训(三)全等三角形的基本模型-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

∴ AF=BH. ∴ AF-BF=BH-BF,即 AB= FH=4. ∵ EF⊥AB,GH⊥AB, ∴ ∠EFD=∠GHD=90°. 在△EFD 和△GHD 中, ∠EDF=∠GDH, ∠EFD=∠GHD, EF=GH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EFD≌△GHD(AAS). ∴ DF=DH=12FH=2. 第4课时 用“HL”判定 三角形全等 1. C 2. B 3. 59° 4. 7 5. 由题意,得∠ABC=∠ADC=90°. 在Rt△ABC和Rt△CDA 中, AC=CA, BC=DA, ∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ∴ AB=CD. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC, ∴ ∠AEB=∠CFD=90°. 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中, AB=CD, AE=CF, ∴ Rt△ABE≌Rt△CDF(HL). 判定直角三角形全等的四种思路 (1) 若已知条件中有一组斜边 和一组直角边分别对应相等,则用 “HL”判定. (2) 若有一组锐角和一组斜边 分别对应相等,则用“AAS”判定. (3) 若有一组锐角和一组直角 边分别对应相等:① 直角边是锐角 的对边,则用“AAS”判定;② 直角 边是 锐 角 的 邻 边,则 用 “ASA” 判定. (4) 若有两组直角边分别对应 相等,则用“SAS”判定. 6. C 7. 55° 8. 4或8 9. 如图,过B,C两点分别作CA,BA 的垂线,分别交CA,BA 的延长线于 点F,G. 在△ABF 和△ACG 中, ∠F=∠G=90°, ∠FAB=∠GAC, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△ACG(AAS). ∴ BF=CG. 在Rt△BEF 和Rt△CDG 中, BE=CD, BF=CG, ∴ Rt△BEF≌Rt△CDG(HL). ∴ ∠AEB=∠ADC. (第9题) 10. (1) ∵ ∠BAC=∠DAE, ∴ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE,即∠CAE=∠BAD. 在△ACE 和△ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△ABD(SAS). (2) ∵ △ACE≌△ABD, ∴ ∠AEC=∠ADB. ∴ ∠AEF + ∠AEC = ∠AEF + ∠ADB=180°. ∴ ∠DAE+∠DFE=180°. ∵ ∠BFC+∠DFE=180°, ∴ ∠BFC=∠DAE=50°. (3) 如图,连接AF,过点A 作AJ⊥ CF 于点J. ∵ △ACE≌△ABD, ∴ S△ACE=S△ABD,CE=BD. ∵ AJ⊥CE,AH⊥BD, ∴ 1 2CE ·AJ=12BD ·AH. ∴ AJ=AH. 在Rt△AFJ和Rt△AFH 中, AF=AF, AJ=AH, ∴ Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL). ∴ JF=HF. 在Rt△AJE 和Rt△AHD 中, AE=AD, AJ=AH, ∴ Rt△AJE≌Rt△AHD(HL). ∴ JE=HD. ∴ EF+DH=EF+JE=JF=HF. (第10题) 专题特训（三）　全等 三角形的基本模型 1. (1) 选择不唯一,如选择的三个条 件是①②③. (2) ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). 2. ∵ ∠AOD=∠COB, ∴ ∠AOD - ∠BOD = ∠COB - ∠BOD,即∠AOB=∠COD. 在△AOB 和△COD 中, OA=OC, ∠AOB=∠COD, OB=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOB≌△COD(SAS). ∴ AB=CD. 3. 40° 4. (1) ∵ ∠BAD=∠EAC, ∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC + ∠CAD,即∠BAC=∠DAE. ∵ AE∥BC, ∴ ∠EAC=∠C. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∵ ∠EAC=∠E, ∴ ∠C=∠E. 在△ABC和△ADE 中, ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(AAS). (2) ∵ ∠BAE=110°,AE∥BC, ∴ ∠B=180°-∠BAE=70°. ∵ AB=AD, ∴ ∠B=∠ADB=70°. ∴ ∠BAD = 180° - ∠B - ∠ADB=40°. ∴ ∠E=∠BAD=40°. 5. (1) ∵ AB∥CD, ∴ ∠B=∠C. 在△ABE 和△DCF 中, ∠B=∠C, ∠A=∠D, AE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△DCF(AAS). ∴ AB=DC. (2) ∵ ∠B=40°,∠B=∠C, ∴ ∠C=40°. ∵ △ABE≌△DCF, ∴ AB=DC. ∵ AB=CF, ∴ CD=CF. ∴ ∠D =∠CFD = 12 × (180°- 40°)=70°. 6. B [解析] ∵ ∠1=∠ABE+ ∠BAE,∠1=∠BAC,∴ ∠BAC= ∠ABE + ∠BAE.∵ ∠BAC = ∠BAE + ∠CAF,∴ ∠ABE = ∠CAF.∵ ∠1= ∠2,∴ 易 得 ∠AEB = ∠CFA.在 △ABE 和 △CAF 中, ∠AEB=∠CFA, ∠ABE=∠CAF, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CAF(AAS).∴ S△ABE= S△CAF.∴ S△CAF+S△BDE=S△ABE+ S△BDE =S△ABD.∵ CD =2BD, △ABC 的 面 积 为 21,∴ 易 得 S△ABD= 1 3S△ABC =7 ,即△CAF 与 △BDE 的面积之和是7. 7. 2 [解析] 如图,过点E 作EN⊥ BM,垂足为 N.∵ 易知∠AOB= ∠ABE=∠BNE=90°,∴ ∠ABO+ ∠BAO= ∠ABO+ ∠EBN =90°. ∴ ∠BAO = ∠EBN.∵ △ABE, △OBF 均 为 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ AB=BE,BF =BO,∠OBF = ∠FBP=90°.在△ABO 和△BEN 中, ∠AOB=∠BNE, ∠BAO=∠EBN, AB=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌ △BEN(AAS).∴ BO=EN,AO=BN. ∵ BF=BO,∴ BF=EN.在△BPF 和 △NPE 中, ∠FPB=∠EPN, ∠FBP=∠ENP, BF=NE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BPF≌△NPE(AAS).∴ BP= NP=12BN.∵ BN=AO,∴ BP= 1 2AO= 1 2×4=2. (第7题) 8. (1) EF=BE+FD. [解析] 如 图①,延长CB 到点G,使BG=DF, 连 接 AG. ∵ ∠ABE = 90°, ∴ ∠ABG=90°.在△ABG 和△ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠D=90°, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌ △ADF(SAS).∴ AG=AF,∠1= ∠2.∴ 易得∠1+∠3=∠2+∠3= 1 2∠BAD= ∠EAF.∴ ∠EAG = ∠EAF.在 △AEG 和 △AEF 中, AG=AF, ∠EAG=∠EAF, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEG ≌ △AEF(SAS).∴ EG=EF.∵ EG= BE+BG.∴ EF=BE+FD. (2) 问题(1)中的结论EF=BE+FD 仍然成立. 理由:如图②,延长CB 到点G,使 BG=DF,连接AG. ∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABG+ ∠ABC=180°, ∴ ∠ABG=∠D. 在△ABG 和△ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠D, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△ADF(SAS). ∴ AG=AF,∠1=∠2. ∴ 易 得 ∠1+ ∠3= ∠2+ ∠3= 1 2∠BAD=∠EAF. ∴ ∠EAG=∠EAF. 在△AEG 和△AEF 中, AG=AF, ∠EAG=∠EAF, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEG≌△AEF(SAS). ∴ EG=EF. ∵ EG=BE+BG. ∴ EF=BE+FD. (3) EF=BE+FD 或EF=BE-FD 或EF=FD-BE. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 30 　　　　 专题特训（三）　全等三角形的基本模型 ▶ “答案与解析”见P11 类型一 平移模型 1. (2023·衢州)如图,在△ABC 和△DEF 中, 点B,E,C,F 在同一条直线上.有下列四个 条件:① AB=DE;② AC=DF;③ BE= CF;④ ∠ABC=∠DEF. (1) 请选择其中的三个条件,使得△ABC≌ △DEF(写出一种情况即可). (2) 在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF. (第1题) 类型二 轴对称模型 2. 如 图,OA =OC,OB =OD,∠AOD = ∠COB.求证:AB=CD. (第2题) 类型三 共顶点旋转模型 3. 如图,AB⊥AC 于点A,AB=AC,AD⊥AE 于点A,AD=AE.若∠D=35°,∠B=15°, 则∠CAE 的度数为 . (第3题) 4. 如 图,AE ∥BC,AB =AD,∠BAD = ∠EAC=∠E. (1) 求证:△ABC≌△ADE. (2) 若∠BAE=110°,求∠E 的度数. (第4题) 类型四 不共顶点旋转模型 5. 如图,点C,E,F,B 在同一条直线上,点A, D 在 BC 的 异 侧,AB∥CD,AE=DF, ∠A=∠D. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 31 (1) 求证:AB=DC. (2) 若AB=CF,∠B=40°,求∠D 的度数. (第5题) 类型五 一线三等角模型 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AB>BC,点 D 在边BC 上,CD=2BD,点E,F 在线段 AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面 积为21,则△CAF 与△BDE 的面积之和是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 (第6题) (第7题) 答案讲解 7. 如图,AO⊥OM,AO=4,B 为射线 OM 上的一个动点,分别以OB,AB 为直角边,B 为直角顶点,在OM 的 两侧作等腰直角三角形OBF 和ABE,连接 EF 交OM 于点P.当点B 在射线OM 上移 动时,PB 的长为 . 答案讲解 类型六 对角互补且一组邻边相等的半角模型 8. (1) 如图①,在四边形ABCD 中, AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F 分 别 是 边 BC,CD 上 的 点,且 ∠EAF=12∠BAD. 请直接写出线段EF, BE,FD 之间的数量关系: . (2) 如图②,在四边形ABCD 中,AB=AD, ∠B+∠D=180°,E,F 分别是边BC,CD 上 的点,且∠EAF=12∠BAD ,问题(1)中的结 论是否仍然成立? 请判断并说明理由. (3) 在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+ ∠D=180°,E,F 分别是边BC,CD 所在直 线上的点,且∠EAF=12∠BAD. 请直接写 出线段EF,BE,FD 之间的数量关系. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十二章　全等三角形