专题特训(七)等腰三角形中常见辅助线的作法&专题特训(八)构造等腰三角形解题-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

③ 当 BF=DF 时,此时∠FBD= ∠BDF, ∴ x=x+45°,不合题意,舍去. 综上所述,∠FBD=30°或45°. 9. 320 10. (1) 如图①,在AB 上取点G,使 AG=AD,连接CG. ∵ AC平分∠BAD, ∴ ∠DAC=∠GAC. ∵ AD =AG,∠DAC = ∠GAC, AC=AC, ∴ △ADC≌△AGC. ∴ DC=GC,∠ADC=∠AGC. 又∵ ∠B+∠ADC=180°,∠CGE+ ∠AGC=180°, ∴ ∠B=∠CGE. ∴ BC=GC. 又∵ DC=GC, ∴ BC=CD. (2) 如图②,分别延长AD,BC 交于 点H. ∵ 由题意,知BD 平分∠CBA, ∴ ∠DBC=∠ABD. ∵ AD⊥BF 交BF 的延长线于点D, ∴ ∠ADB=∠HDB=90°. ∵ ∠ADB = ∠HDB,BD =BD, ∠DBA=∠DBH, ∴ △ADB≌△HDB. ∴ ∠DAB = ∠DHB,AB =HB, AD=HD. ∴ △ABH 是等腰三角形,2AD= AH. ∵ ∠ACB=90°,AC=BC, ∴ ∠ABC=∠CAB=45°,∠ACH= 90°. ∴ ∠DAB=12× (180°-∠ABC)= 67.5°,∠CBD=∠ABD=22.5°. ∴ ∠HAC=67.5°-45°=22.5°= ∠CBD. ∵ ∠HAC=∠FBC=22.5°,AC= BC,∠ACH=∠BCF, ∴ △ACH≌△BCF. ∴ AH=BF. 又∵ 2AD=AH, ∴ 2AD=BF. (第10题) 专题特训（七）　等腰 三角形中常见辅助线的作法 1. 如图,过点E 作EF⊥AC 于点F, 则∠AFE=90°. ∵ EA=EC, ∴ AF=FC=12AC. ∵ AC=2AB, ∴ 易得AB=AF. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAE=∠FAE. 又∵ AE=AE, ∴ △ABE≌△AFE. ∴ ∠ABE=∠AFE=90°. ∴ EB⊥AB. (第1题) 2. 如图,过点D 作DG∥AF,交BC 于点G,则∠GDE=∠F. 又∵ DE=FE,∠DEG=∠FEC, ∴ △DGE≌△FCE. ∴ GD=CF. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠ACB. ∵ DG∥AF, ∴ ∠ACB=∠BGD. ∴ ∠B=∠BGD. ∴ BD=GD. 又∵ GD=CF, ∴ BD=CF. (第2题) 3. (1) AD=CE. 理由:如图①,过点D 作DP∥BC,交 AB 于点P. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∵ DP∥BC, ∴ ∠APD=∠ABC=60°,∠ADP= ∠ACB=60°. ∴ 易得△APD 是等边三角形. ∴ AP=PD=AD. ∵ BD=DE, ∴ ∠DBC=∠E. ∵ DP∥BC, ∴ ∠PDB=∠DBC. ∴ ∠PDB=∠E. 又∵ ∠BPD=∠A+∠ADP=120°, ∠DCE=∠A+∠ABC=120°, ∴ ∠BPD=∠DCE. 在△BPD 和△DCE 中, ∠BPD=∠DCE, ∠PDB=∠E, BD=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BPD≌△DCE. ∴ PD=CE. ∴ AD=CE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 (2) 成立. 理由:如图②,过点D 作DP∥BC,交 AB 的延长线于点P. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∵ DP∥BC, ∴ ∠APD=∠ABC=60°,∠ADP= ∠ACB=60°. ∴ 易得△APD 是等边三角形. ∴ AP=PD=AD. ∵ ∠DCE=∠ACB=60°, ∴ ∠BPD=∠DCE. ∵ BD=DE, ∴ ∠DBC=∠E. ∵ DP∥BC, ∴ ∠PDB=∠DBC. ∴ ∠PDB=∠E. 在△BPD 和△DCE 中, ∠BPD=∠DCE, ∠PDB=∠E, BD=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BPD≌△DCE. ∴ PD=CE. ∴ AD=CE. (第3题) 4. 如图,延长CE 到点F,使EF= CE,连接FB,则CF=2CE. ∵ CE 是△ABC的中线, ∴ AE=BE. 在△BEF 和△AEC中, BE=AE, ∠BEF=∠AEC, EF=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF≌△AEC. ∴ ∠EBF=∠A,BF=AC. 又∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∴ ∠CBD = ∠A + ∠ACB = ∠EBF+∠ABC=∠CBF. ∵ CB 是△ADC的中线, ∴ AB=BD. 又∵ AB=AC,AC=BF, ∴ BF=BD. 在△CBF 和△CBD 中, CB=CB, ∠CBF=∠CBD, BF=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBF≌△CBD. ∴ CF=CD. ∴ CD=2CE. (第4题) 专题特训（八）　构造 等腰三角形解题 1. 20° [解析] 在DC 上截取DH, 使得DH=BD,连接AH.∵ DH= BD,AD⊥BH,∴ 易得AB=AH. ∴ ∠B=∠AHD.∵ AB+BD = DC,DC=DH+CH,∴ AB+BD= DH+CH.∵ BD=DH,∴ AB= CH.∵ AB=AH,∴ CH =AH. ∴ ∠C=∠HAC.设∠C=∠HAC= x,则∠AHD=∠B=2x.∵ ∠B+ ∠C+∠BAC=180°,∠BAC=120°, ∴ 2x+x+120°=180°,解得x=20°. ∴ ∠C的度数为20°. 2. 如图,在BC 上取点E,使BE= BA,连接DE. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠EBD. 在△ABD 和△EBD 中, AB=EB, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EBD. ∴ ∠A=∠BED=108°. ∴ ∠DEC=180°-∠BED=72°. ∵ AB=AC, ∴ ∠C = ∠ABC = 12 (180°- ∠A)=36°. ∴ ∠CDE=180°-∠C-∠DEC= 72°. ∴ ∠CDE=∠DEC. ∴ CD=CE. ∴ BC=EC+BE=CD+AB. (第2题) 3. (1) ∵ BF⊥AD, ∴ ∠AFB=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ACB=∠AFB. ∵ ∠ADC=∠BDF, ∴ ∠CAD=∠CBE. ∵ AC=BC,∠ACD=∠BCE=90°, ∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD=BE. (2) 如图①,分别延长BF,AC 交于 点E. 由(1),知BE=AD=5. ∵ AD 平分∠BAC,AF⊥BE, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 ∴ 易得∠ABF=∠E. ∴ AB=AE. ∴ △ABE 是等腰三角形. ∴ BF=12BE= 5 2. (3) AC+CD=AM. 理由:如图②,分别延长BF,AC 交于 点E. 由(1),可得△ACD≌△BCE. ∴ CD=CE. ∵ BF⊥AD, ∴ ∠AFE=∠AFM=90°. ∵ 由题意,知AF 平分∠EAM, ∴ ∠EAF=∠MAF. ∴ 易得∠M=∠E. ∴ AM=AE=AC+CE. ∴ AC+CD=AM. (第3题) 4. 如图,延长BE 交AC于点F. ∵ BF⊥AD, ∴ ∠AEB=∠AEF. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAE=∠FAE. 在△ABE 和△AFE 中, ∠AEB=∠AEF, AE=AE, ∠BAE=∠FAE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△AFE. ∴ ∠ABE = ∠AFE,AB =AF, BE=FE. ∴ BE=12BF. ∵ ∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF, ∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C, ∴ ∠C+2∠CBF=3∠C. ∴ ∠CBF=∠C. ∴ BF=CF. ∴ BE=12CF. ∵ CF=AC-AF=AC-AB, ∴ BE=12 (AC-AB). (第4题) 5. 延长DE,AB 交于点F. ∵ AB∥CD, ∴ ∠CDE=∠F. 在△DCE 和△FBE 中, ∠CDE=∠F, ∠DEC=∠FEB, CE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCE≌△FBE. ∴ CD=BF. ∴ AF=AB+BF=AB+CD. ∵ DE 平分∠ADC, ∴ ∠ADE=∠CDE. ∴ ∠F=∠ADE. ∴ AF=AD. ∴ AD=AB+CD. 6. (1) ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠DAC. ∵ AD∥EF, ∴ ∠DAC=∠F,∠BAD=∠FGA. ∴ ∠F=∠FGA. ∴ AG=AF. ∵ CF=6,AG=2, ∴ AC=CF-AF=CF-AG=6- 2=4. (2) 如图,过点C 作CM∥AB,交FE 的延长线于点M. ∵ BG∥CM, ∴ ∠B=∠MCE. ∵ E 是BC的中点, ∴ BE=CE. 在△BEG 和△CEM 中, ∠B=∠MCE, BE=CE, ∠BEG=∠CEM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEG≌△CEM. ∴ BG=CM. ∵ AB∥CM, ∴ ∠FGA=∠M. 由(1),知∠F=∠FGA. ∴ ∠F=∠M. ∴ CF=CM. ∴ BG=CF. (第6题) 7. 在AC上截取AE,使AE=AB,连 接DE. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠EAD. 在△ABD 和△AED 中, AB=AE, ∠BAD=∠EAD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△AED. ∴ ∠B=∠AED,BD=ED. 又∵ ∠B=2∠C, ∴ ∠AED=2∠C. ∵ ∠AED=∠C+∠EDC, ∴ ∠EDC=∠C. ∴ ED=EC. ∴ BD=EC. ∴ AB+BD=AE+EC=AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 利用倍角关系构造 等腰三角形的方法 已知 在△ABC 中,∠ACB= 1 2∠ABC. (1) 如图①,作∠ABC 的 平 分 线 BD,则 可 构 造 等 腰 三 角 形BDC. (2) 如 图 ②,作 ∠BCE = 2∠ACB,交BA 的延长线于点E, 则可构造等腰三角形BCE. (3) 如图③,延长CB 至点D, 使BD=AB,连接AD,则可构造 等腰 三 角 形 ABD 和 等 腰 三 角 形ADC. (4) 如 图 ④,作 ∠BCE = ∠ACB,交AB 的延长线于点E, 则可构造等腰三角形BCE. 13.4　课题学习 最短路径问题 1. A 2. B [解析] 如图,延长DA 到点E, 使 DA=AE,延长 DC 到点F,使 CF=DC,连接EF 交AB 于点N,交 BC于点M,此时,△DMN 的周长最 小.∵ ∠DAN=∠DCM=90°,DA= AE,DC=CF,∴ 易得 DN=EN, DM=FM.∴ ∠E=∠ADN,∠F= ∠CDM.∵ ∠B =58°,∴ 易 得 ∠ADC =122°.设 ∠MDN =α. ∴ ∠ADN + ∠CDM =122°-α. ∴ 易 得 ∠DNM + ∠DMN = 2(122°-α).∴ α+2(122°-α)= 180°,解得α=64°. (第2题) 3. 700 4. 3 5. 如图,A→C→D→B 是他走的最 短路线,点C,D 分别为羊吃草、羊饮 水处. (第5题) 6. C [解析] 如图,连接AP,AH. ∵ AB =AC,H 为 BC 的 中 点, ∴ AH⊥BC.∵ △ABC 的面积是 30,∴ 1 2BC ·AH=30.∵ BC=5, ∴ AH=12.∵ MN 是线段AB 的垂 直平分线,∴ 点B 关于直线MN 的 对称点为A.∴ AP=BP.∴ PB+ PH=PA+PH≥AH.∴ AH 的长 为PB+PH 的最小值.∴ PB+PH 的最小值为12. (第6题) 7. B [解析] 如图,连接CA1,作 直 线l⊥AB 于点B,易得△ABC 与△A1BC1 关于直线l对称.∵ A, B,A1 三 点 在 同 一 条 直 线 上,易 得 ∠ABC = ∠A1BC1 = 60°, ∴ ∠CBC1 =60°.∴ ∠A1BC1 = ∠CBC1.由题意,易得 BA1=BC, ∴ BC1⊥CA1.∴ 易得CD=A1D. ∴ 易得当点D 与点B 重合时,AD+ CD 的值最小,最小值为线段AA1 的 长.∵ 等边三角形ABC 的边长为2, ∴ 易得AA1=4,即AD+CD 的最小 值为4. (第7题) 求线段(和)长的最值问题的 常用方法 (1) 三角形的三边关系,即两 边之和大于第三边,两边之差小于 第三边. (2) 两点之间线段最短. (3) 直线外一点到直线上的点 的所有连线中,垂线段最短. (4) 运用对称的性质作对称 点,如图,在直线l上找一点,使得 其到A,B 两点的距离之和最短, 可以通过轴对称来确定,即作出其 中一点B 关于直线l的对称点B1, 连接AB1,与直线l的交点P 即为 所求,线段AB1 的长为AP+PB 的最小值.解决实际问题时,首先 把实际问题转化为数学模型,再根 据实际以某条直线为对称轴,构造 对称图形,将有关的线段之和的最 小问题转化成一条线段的长,最后 利用“两点之间线段最短”求解. 8. B [解析] 如图,作点A 关于BC 的对称点A',过点A'作A'E⊥AB 于 点E,交BC于点D,易得AD=A'D. 此时AD+DE 的值最小,为A'E 的 长.∵ ∠ACB=90°,AC=6,BC=8, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 57 　 专题特训（七）　等腰三角形中常见辅助线的作法 ▶ “答案与解析”见P27 类型一 作垂线(或中线、角平分线)法 1. 如图,在△ABC 中,AC=2AB,AD 平分 ∠BAC 交BC 于点D,E 是AD 上一点,且 EA=EC,连接EB.求证:EB⊥AB. (第1题) 类型二 作平行线法 2. 如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是 边AB 和BC 上的点,连接DE 并延长,与 AC 的延长线交于点F.若DE=FE,求证: BD=CF. (第2题) 答案讲解 3. △ABC 是等边三角形,D 为射线 AC 上的一个动点,E 为BC 的延长 线上的一个动点,且BD=DE. (1) 如图①,若点D 在边AC 上,猜想线段 AD 与CE 之间的数量关系,并说明理由. (2) 如图②,若点D 在AC 的延长线上,其他 条件不变,则(1)中的结论是否仍成立? 请说 明理由. (第3题) 答案讲解 类型三 倍长中线法 4. 如图,CE,CB分别是△ABC,△ADC 的中线,且AB=AC.求证:CD= 2CE. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十三章　轴 对 称 58 　　　　　专题特训（八）　构造等腰三角形解题 ▶ “答案与解析”见P28 类型一 用“截长补短法”构造等腰三角形 1. 如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD⊥BC 于点D,且AB+BD=DC,则∠C 的度数为 . (第1题) 2. 如图,在△ABC 中,∠A=108°,AB=AC, BD 平分∠ABC,交AC 于点D.求证:BC= CD+AB. (第2题) 类型二 用角平分线和垂线构造等腰三角形 3. 在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 边BC 上的一个动点,连接AD,过点B 作 BF⊥AD,交AD 的延长线于点F. (1) 如图①,分别延长AC,BF 交于点E,求 证:AD=BE. (2) 如图②,若AD 平分∠BAC,AD=5,求 BF 的长. (3) 如图③,M 是FB 的延长线上的一点, AD 平分∠MAC,试探究AC,CD,AM 之间 的数量关系,并说明理由. (第3题) 答案讲解 4. 如图,在△ABC 中,∠ABC=3∠C, AD 平分∠BAC,BE⊥AD 于点E. 求证:BE=12 (AC-AB). (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 59 答案讲解 类型三 用“延长法”构造等腰三角形 5. 如图,AB∥CD,DE 平分∠ADC 交 BC 于点E,BE=CE.求证:AD= AB+CD. (第5题) 类型四 用角平分线和平行线构造等腰三角形 6. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC 交BC 于点D,E 是边BC 的中点,过点E 作EF∥ AD,交AB 于点G,交CA 的延长线于点F. (1) 若CF=6,AG=2,求AC 的长. (2) 求证:BG=CF. (第6题) 答案讲解 类型五 用倍角关系构造等腰三角形 7. ★如 图,在 △ABC 中,AD 平 分 ∠BAC,∠B=2∠C.求证:AB+ BD=AC. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十三章　轴 对 称