2.5.3 直角三角形斜边上的中线的性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

∴ DM=BD. ∴ ∠DMB=∠B. ∴ ∠B=∠ACB. ∴ AB=AC. ∴ △ABC为等腰三角形. 11. 如图,过点E 作EF∥BC,交AC 于点F. ∵ △ABC为等边三角形,边长为6, ∴ ∠A= ∠ABC= ∠ACB =60°, BC=6. ∵ EF∥BC, ∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE= ∠ACB=60°. ∴ △AEF 为等边三角形. ∴ AE=EF. ∵ ∠DBE=180°-∠ABC=120°, ∠EFC=180°-∠AFE=120°, ∴ ∠DBE=∠EFC. ∵ ED=EC, ∴ ∠D=∠ECD. ∵ ∠DEB=60°- ∠D,∠ECF = 60°-∠ECD, ∴ ∠DEB=∠ECF. 在△DBE 和△EFC中, ∠DBE=∠EFC, ∠DEB=∠ECF, DE=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DBE≌△EFC. ∴ DB=EF=AE=2. ∴ CD=BC+DB=6+2=8. (第11题) 12. 7 [解析] 如图,在AC 上截取 CE=CB,连接DE.∵ ∠ACB 的平 分线CD 交AB 于点D,∴ ∠BCD= ∠ECD.在 △CBD 和 △CED 中, CB=CE, ∠BCD=∠ECD, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBD ≌ △CED.∴ BD=ED,∠B=∠CED. ∵ ∠B=2∠A,∴ ∠CED=2∠A= ∠A+∠ADE.∴ ∠A=∠ADE. ∴ AE=ED.∴ AE=BD.∴ BD= AC-CE=AC-BC=16-9=7. (第12题) 13. (1) 角平分线上的点到角两边的 距离相等. (2) 如图①,过点D 作DE⊥BA,交 BA 的延长线于点E,DF⊥BC 于 点F. ∵ BD 平 分 ∠EBF,DE ⊥BE, DF⊥BF, ∴ DE=DF,∠DEA=∠DFC=90°. ∵ ∠BAD+∠C=180°,∠BAD+ ∠DAE=180°, ∴ ∠DAE=∠C. 在△DEA 和△DFC中, ∠DEA=∠DFC, ∠DAE=∠C, DE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEA≌△DFC. ∴ AD=CD. (3) 如图②,在BC上截取BK=BD, 连接DK. ∵ AB=AC,∠A=100°, ∴ ∠ABC=∠C=40°. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠DBK=12∠ABC=20°. ∵ BK=BD, ∴ ∠BKD=∠BDK=80°. ∴ ∠A+∠BKD=180°. 同(2),易得AD=DK. ∵ ∠BKD=∠C+∠KDC, ∴ ∠KDC=40°=∠C. ∴ DK=CK. ∴ AD=DK=CK. ∴ BD+AD=BK+CK=BC. (第13题) 第3课时 直角三角形 斜边上的中线的性质 1. C 2. C 3. 8 4. 3 5. (1) 如图,连接DF. ∵ AD 是边BC上的高, ∴ ∠ADB=90°. ∵ F 是AB 的中点, ∴ DF=12AB=BF. ∵ DC=BF, ∴ DC=DF. ∵ E 是CF 的中点, ∴ DE⊥CF. (2) ∵ DC=DF, ∴ ∠DCF=∠DFC. ∴ ∠FDB = ∠DFC + ∠DCF = 2∠DCF. ∵ DF=BF, ∴ ∠FDB=∠B. ∴ ∠B=2∠BCF. (第5题) 6. B [解析] 如图,连接CM、CN. ∵ ∠ACB=90°,AB=10,DE=4, M、N 分 别 是 DE、AB 的 中 点, ∴ CN=12AB=5 ,CM=12DE=2. 当点C、M、N 在同一条直线上时, MN 的长取最小值,∴ MN 长的最小 值为5-2=3. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 7. D [解析] ∵ 在△ABC 中,AD 和BE 是高,∴ ∠ADB=∠AEB= ∠CEB=90°.∵ F 是AB 的中点, ∴ FD = 12 AB ,FE = 12 AB. ∴ FD=FE.故①正确.∵ ∠CBE= ∠BAD,∠CBE + ∠ACB =90°, ∠BAD+∠ABC=90°,∴ ∠ABC= ∠ACB.∵ AD⊥BC,∴ 易得BC= 2CD,∠BAD = ∠CAD = ∠CBE. ∵ ∠ABE = 45°,∠AEB = 90°, ∴ △ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形. ∴ AE=BE.在 △AEH 和 △BEC 中, ∠AEH=∠BEC, AE=BE, ∠EAH=∠EBC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEH≌ △BEC.∴ AH=BC=2CD.故②正 确.∵ △AEH≌△BEC,∴ EH = EC.∵ ∠CEB=90°,∴ △CEH 是等 腰直角三角形.∴ ∠EHC=45°.故④ 正确.∵ F 是AB 的中点,BD=CD, ∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.故③正 确.综上所述,正确的有4个. 8. 50° 9. 14 10. 4 11. (1) ∵ CF⊥AB,BE⊥AC, ∴ ∠CFB=∠CEB=90°. ∵ M 是BC的中点, ∴ BM=FM=12BC ,CM=EM= 1 2BC. ∴ FM=EM. ∵ N 是EF 的中点, ∴ MN⊥EF. (2) ∵ ∠A=80°, ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 100°. ∵ BM=FM,CM=EM, ∴ ∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM. ∴ ∠BFM+∠CEM=100°. ∴ ∠FMB + ∠EMC = 360°- (∠ABC + ∠ACB + ∠BFM + ∠CEM)=160°. ∴ ∠EMF =180°- (∠FMB + ∠EMC)=20°. 12. (1) ∵ PM⊥OA, ∴ ∠OMP=90°. ∵ D 是OP 的中点, ∴ DM=12OP=DO. ∴ ∠DMO=∠DOM. ∴ ∠MDP=2∠MOP. 同理,可得∠NDP=2∠NOP. ∴ ∠MDN =∠MDP+∠NDP= 2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON. (2) ∠MDN=2∠MON. 理由:∵ PM⊥OA, ∴ ∠OMP=90°. ∵ D 是OP 的中点, ∴ DM=12OP=DO. ∴ ∠DMO=∠DOM. ∴ ∠MDP=2∠MOP. 同理,可得∠NDP=2∠NOP. ∴ ∠MDN =∠NDP-∠MDP= 2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON. 13. 45° [解析] 如图,连接 CM. ∵ ∠ACB=90°,M 是AB 的中点, ∴ CM=12AB ,AM=BM=12AB. ∵ CE=CF=12AB ,∴ CE=CF= MC.∴ ∠1= ∠E,∠2= ∠F. ∵ ∠1+∠E=∠4,∠2+∠F=∠3, ∴ ∠1 = 12∠4 ,∠2 = 12∠3. ∴ ∠1+∠2=12 (∠4+∠3)=12× 90°=45°,即∠EMF=45°. (第13题) 14. (1) ∵ DE⊥AB, ∴ ∠DEB=90°. ∵ F 为BD 的中点, ∴ EF=12BD=5. (2) △DEF、△BEF、△DCF、△BCF、 △CEF 是等腰三角形. (3) ∠A=∠CEF. ∵ ∠DEB=90°,∠ACB=90°,F 为 BD 的中点, ∴ FE=FB=FC. ∴ ∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE, ∠FCB=∠FBC. ∴ ∠EFD =2∠EBF,∠CFD = 2∠FBC. ∴ ∠CEF=12× (180°-∠CFE)= 1 2× (180°-∠EFD-∠CFD)= 1 2× (180°-2∠EBF-2∠FBC)= 90°-∠EBF-∠FBC. ∵ ∠A =90°- ∠ABC =90°- ∠EBF-∠FBC, ∴ ∠A=∠CEF. 专题特训（四）　等腰 三角形中的分类讨论 1. B 2. A [解 析] ∵ AB =AC, ∴ ∠B= ∠C=40°.∴ ∠BAC= 180°-∠B-∠C=100°.∵ ∠BAD= 20°,∴ ∠CAD=∠BAC-∠BAD= 80°.分三种情况讨论:① 当AD=AE 时, ∴ ∠ADE = ∠AED = 180°-∠CAD 2 =50°.∴ ∠EDC = ∠AED-∠C=10°.② 当AD=DE 时,∴ ∠DAE = ∠DEA =80°. ∴ ∠EDC= ∠AED - ∠C=40°. ③ 当 AE =DE 时,∴ ∠EAD = ∠ADE=80°.∴ ∠AED=180°- ∠EAD-∠ADE=20°.∵ ∠C= 40°,∴ ∠AED<∠C,不成立.综上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 42 第3课时 直角三角形斜边上的中线的性质 ▶ “答案与解析”见P22 1. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,点E 在AC 上,且AE=BE,连接 CD 交BE 于点F.若∠A=25°,则∠DFE 的 度数为 ( ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,∠C=∠B,AD⊥BC,垂 足为D,DE∥AB,交AC 于点E.若DE+ DC=4.5,则AC+BC 的值为 ( ) A. 7.5 B. 8 C. 9 D. 9.5 (第3题) 3. 如 图, 在 △ABC 中, ∠ACB=90°,CD 是边AB 上的中线,且CD+AB= 12,则AB 的长为 . (第4题) 4. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,P 是BD 的中点.若AD=6,则CP 的长为 . 5. 如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的高,CF 是边AB 上的中线,DC=BF,E 是CF 的中 点.求证: (1) DE⊥CF. (2) ∠B=2∠BCF. (第5题) 6. 如 图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=10, AC=8,BC=6,线段DE 的两个端点D、E 分别在边AC、BC 上滑动,且DE=4.若M、 N 分别是DE、AB 的中点,则MN 长的最小 值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 (第6题) (第7题) 7. (易错题)如图,在△ABC 中,AD 和BE 是 高,∠ABE=45°,F 是AB 的中点,AD 与 FE、BE 分 别 交 于 点 G、H,∠CBE = ∠BAD.有下列结论:① FD=FE;② AH= 2CD;③ S△ABC=4S△ADF;④ 连接 HC,则 ∠EHC=45°.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠C= 20°,D 为斜边BC 的中点,连接AD,AE⊥ BC 于点E,则∠DAE 的度数为 . (第8题) 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=8, AF⊥BC 于点F,BE⊥AC 于点E,且D 是 AB 的中点,则△DEF 的周长是 . (第9题) (第10题) 10. 如图,在△ABC 中,D 是BC 上的一点, AB=AD,E、F 分别是AC、BD 的中点, EF=2,则AC 的长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 43 11. 如图,在锐角三角形ABC 中,CF⊥AB, BE⊥AC,垂足分别为F、E,连接EF,M、 N 分别是BC、EF 的中点,连接MN、EM、 FM. (1) 求证:MN⊥EF. (2) 若∠A=80°,求∠EMF 的度数. (第11题) 答案讲解 12. (1) 如图①,P 是∠AOB 内部的任 意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足 分别是M、N,D 是OP 的中点,连 接DM、DN.求证:∠MDN=2∠MON. (2) 如图②,P 是∠AOB 外部的任意一点, PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M、N,D 是OP 的中点,连接DM、DN,则∠MDN 与∠MON 有何数量关系? 请说明理由. (第12题) 13. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,M 是AB 的中点,E、F 分别是AC、BC 延长线上的 点,且CE=CF=12AB ,则∠EMF 的度数 为 . (第13题) 14. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在边AC 上(不与点A、C 重合),DE⊥AB 于点E,连接BD,F 为BD 的中点,连接 EF、CF、CE. (1) 若BD=10,求EF 的长. (2) 写出图中的所有等腰三角形. (3) 试猜想∠A 与∠CEF 的关系并证明. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形