专题特训(二)三角形中的数学思想方法-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（人教版2012）

14 　　　　专题特训（二）　三角形中的数学思想方法 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 方程思想 1. 如图,在△ABC 中,∠A=∠ACB,CD 是 △ACB 的角平分线,CE 是△ABC 的高.若 ∠DCE=48°,则∠ACB 的度数为 ( ) A. 28° B. 29° C. 100° D. 110° (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,D 是BC 上一点,∠1= ∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,则∠DAC 的度 数为 . 3. 如图,在△ABC 中,∠C=∠ABC=32∠A , BD 是边AC 上的高.求∠DBC 的度数. (第3题) 类型二 转化思想 4. (2023·绵阳期末)如图,∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F 的度数为 ( ) (第4题) A. 240° B. 360° C. 540° D. 720° 5. 如图,∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+ ∠F 的度数为 . (第5题) 6. 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F 的度数. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级上 15 类型三 整体思想 7. 如图,将一张四边形纸片ABCD 沿MN 折 叠,使点A,D 分别落在点A1,D1处.若∠1+ ∠2=130°,则∠B+∠C 的度数为 ( ) A. 115° B. 130° C. 135° D. 150° (第7题) (第8题) 8. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB, AC上.如果∠A=40°,那么∠1+∠2的度数为 . 答案讲解 9. 如 图,在 △ABC 中,∠ABC 和 ∠ACB 的三等分线分别交于点E, D,F,G.若 ∠BFC = 132°, ∠BGC=118°,求∠A 的度数. (第9题) 类型四 分类讨论思想 10. (2023·锦州期末)已知△ABC 的面积为 24,AD 是边BC 上的高.若AD=4,CD= 5,则BD 的长为 ( ) A. 1 B. 1或11 C. 7 D. 7或17 11. (2022·哈尔滨)在△ABC 中,AD 为边BC 上的高,∠B=30°,∠CAD=20°,则∠BAC 的度数为 . 答案讲解 12. 在△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 上一点,将△ABD 沿AD 翻折 后得到△AED,边AE 交射线BC 于点F. (1) 如图①,当AE⊥BC时,求证:DE∥AC. (2) 若∠C=2∠B,∠BAD=x°(0<x< 60). ① 如图②,当DE⊥BC 时,求x的值. ② 是否存在x的值,使得△DEF 中有两个 角相等? 若存在,求出x的值;若不存在,请 说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十一章　三 角 形 ② 当∠EBQ=3∠Q 时,则90°= 3× 90°-12∠A , ∴ ∠A=120°. ③ 当 ∠Q =3∠E 时,则 90°- 1 2∠A=3× 1 2∠A , ∴ ∠A=45°. ④ 当∠E=3∠Q 时,则 12 ∠A= 3× 90°-12∠A , ∴ ∠A=135°. 综上所述,∠A 的度数是60°或120° 或45°或135°. 专题特训（二）　三角形 中的数学思想方法 1. A 2. 24° 3. 设∠A=x,则∠C=∠ABC= 3 2x. ∵ BD 是边AC上的高, ∴ ∠ADB=∠CDB=90°. ∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠DBC=90°-∠C=90°-32x. ∵ ∠ABD+∠DBC=∠ABC, ∴ 90°-x+90°-32x= 3 2x ,解得 x=45°. ∴ ∠DBC =90°- ∠C =90°- 3 2x=22.5°. 4. B 5. 360° 6. ∵ ∠AKG = ∠A + ∠B, ∠DHG = ∠C + ∠D,∠FGK = ∠E+∠F,∠AKG,∠DHG,∠FGK 是△GKH 的外角, ∴ ∠AKG+ ∠DHG+ ∠FGK = 360°. ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F=360°. 7. A 8. 220° 9. ∵ ∠ABC 和∠ACB 的三等分线 分别交于点E,D,F,G, ∴ ∠CBG = ∠EBG = ∠ABE = 1 3∠ABC ,∠BCF = ∠ECF = ∠ACE=13∠ACB. 在△BCG 中,∠BGC=118°, ∴ ∠CBG+∠BCE=180°-∠BGC. ∴ ∠CBG+2∠BCF=62°①. 在△BCF 中,∠BFC=132°, ∴ ∠BCF+∠CBF=180°-∠BFC. ∴ ∠BCF+2∠CBG=48°②. ①+②,得3∠BCF+3∠CBG= 110°. ∴ ∠A = 180°- (3 ∠BCF + 3∠CBG)=70°. 10. D 11. 80°或40° 12. (1) ∵ ∠BAC=90°,AE⊥BC, ∴ ∠CAF+∠BAF=90°,∠B+ ∠BAF=90°. ∴ ∠CAF=∠B. 由折叠的性质,可知∠B=∠E, ∴ ∠CAF=∠E. ∴ DE∥AC. (2) ① ∵ ∠C = 2 ∠B,∠C + ∠B=90°, ∴ 易得∠C=60°,∠B=30°. ∵ DE⊥BC,∠E=∠B=30°, ∴ ∠BFE=60°. ∵ ∠BFE=∠B+∠BAF, ∴ ∠BAF=30°. 由折叠的性质,可知∠BAD=x°= 1 2∠BAF=15° , ∴ x=15. ② 存在. ∵ ∠BAD=x°, ∴ 易 得 ∠FDE = (120-2x)°, ∠DFE=(2x+30)°. 当∠FDE=∠DFE 时,120-2x= 2x+30,解得x=22.5. 当∠DFE=∠E=30°时,2x+30= 30,解得x=0. ∵ 0<x<60, ∴ 不合题意,舍去. 当∠FDE=∠E=30°时,120-2x= 30,解得x=45. 综上所述,存在x=22.5或45,使得 △DEF 中有两个角相等. 第十一章复习 ［知识体系构建］ (n-2)×180° 360° (n-2)×180° n 360° n ［高频考点突破］ 典例1 D [解析] 设第三边的长为 x.∴ 5-2<x<5+2,即3<x<7. ∵ △ABC 的第三边的长是偶数, ∴ x=4或x=6.∴ 此三角形的周长 为2+5+4=11或2+5+6=13. [跟踪训练] 1. D 典例2 (1) 150°. (2) ∠BDC+∠BAC=2∠BEC. 理由:由题意,得∠BDC=∠BEC+ ∠1+ ∠2①,∠BEC = ∠BAC + ∠ABE+∠ACE②. ∵ BE 平 分 ∠ABD,CE 平 分 ∠ACD, ∴ ∠ABE=∠1,∠ACE=∠2. ① - ②,得 ∠BDC - ∠BEC = ∠BEC-∠BAC. ∴ ∠BDC+∠BAC=2∠BEC. (3) 2∠BDC+∠BAC=3∠BEC. 理由:∵ ∠1= 13 ∠ABD ,∠2= 1 3∠ACD , ∴ ∠ABE= 23 ∠ABD ,∠ACE= 2 3∠ACD. ∵ 由 题 意,知∠BEC= ∠BAC+ ∠ABE + ∠ACE = ∠BAC + 2 3∠ABD+ 2 3∠ACD① ,∠BDC= ∠BAC+∠ABD+∠ACD②, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6