2.5.2 等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

40 第2课时 等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定 ▶ “答案与解析”见P21 1. 如图,△ABC 是等边三角形,AD 为中线,E 为AB 上一点,且AD=AE,则∠EDB 的度 数为 ( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° (第1题) (第2题) 2. (2023·丽水)如图,在△ABC 中,AC 的垂直 平分线交BC 于点D,交AC 于点E,∠B= ∠ADB.若AB=4,则DC 的长是 . 3. 如图,O 是等边三角形ABC 内一点,D 是线 段BO 的延长线上一点,且OD=OA,连接 AD.若∠AOB=120°,则∠BDC= . (第3题) (第4题) 4. 如图,△ABC 是等边三角形,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 上一点,且AD=BE=CF,则 △DEF 的形状是 . 5. 如图,在等边三角形ABC 中,D 为BC 的延 长线上一点,E 为CA 的延长线上一点,且 AE=CD.求证:BE=AD. (第5题) 6. 如图,点D 在射线BC 上运动,∠ABC=40°, 当△ABD 为等腰三角形时,∠A 的度数为 ( ) (第6题) A. 20°或40°或70° B. 40°或100° C. 40°或70°或100° D. 100°或70°或40°或20° (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平 分线交于点F,过点F 作DE∥BC,交AB 于 点D,交AC 于点E.有下列结论:① △BDF 和△CEF 都是等腰三角形;② DE=BD+ CE;③ △ADE 的周长=AB+AC;④ BF= CF.其中,一定正确的是 ( ) A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ① 8. 如图,六边形ABCDEF 的六个角的度数都 是120°,边长AB=1cm,BC=3cm,CD= 3cm,DE=2cm,则这个六边形的周长是 cm. (第8题) (第9题) 9. 如图,等边三角形ABC 的边长为4,P 为边 AB 上一点,PE⊥AC 于点E,Q 为BC 的延 长线上一点,PA=QC,PQ 交AC 于点D,则 DE 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 41 10. 如图,在△ABC 中,D 是边AB 上一点,在 AC 的延长线上取点E,使EC=BD,连接 DE 交BC 于点F.若 DF=EF,求证: △ABC 为等腰三角形. (第10题) 11. 如图,在等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,点D 在线段CB 的延长线上,且ED= EC.若△ABC 的边长为6,AE=2,求CD 的长. (第11题) 12. 如图,在△ABC 中,∠B=2∠A,∠ACB 的 平分线CD 交AB 于点D.若 AC=16, CB=9,则BD 的长为 . (第12题) 答案讲解 13. 在四边形ABCD 中,∠BAD=α, ∠C=180°-α,BD 平分∠ABC. (1) 如图①,若α=90°,则根据教材 中的一条重要性质可直接得到AD=CD. 这条性质是 . (2) 如图②,求证:AD=CD. (3) 如图③,在等腰三角形ABC 中,∠A= 100°,BD 平分∠ABC,求证:BD+AD=BC. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形 述,原等腰三角形的底角度数为36° 或45°. ① ② (第12题) 13. (1) ∵ CD⊥AD, ∴ ∠ADC=90°. ∴ ∠ACD+∠A=90°. ∵ CE 平分∠BCD, ∴ ∠BCE=∠DCE. ∵ AB=BC, ∴ ∠A=∠ACB. ∴ ∠ACD + ∠A =2∠ACB + 2∠BCE=90°. ∴ ∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°. (2) ∵ FH⊥AC, ∴ ∠AHE=∠FHC=90°. 由(1),得∠ACE=45°, ∴ ∠HEC=45°=∠ACE. ∴ HE=HC. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠EDF=90°. ∴ ∠AHE=∠EDF. ∵ ∠AEH=∠FED, ∴ ∠A=∠F. 在△AHE 和△FHC中, ∠A=∠F, ∠AHE=∠FHC, HE=HC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHE≌△FHC. ∴ AE=FC. 第2课时 等腰三角形的判定、 等边三角形的性质与判定 1. A 2. 4 3. 60° 4. 等边三角形 5. ∵ △ABC为等边三角形, ∴ AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°. ∴ ∠EAB=∠DCA=120°. 在△EAB 和△DCA 中, AE=CD, ∠EAB=∠DCA, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAB≌△DCA. ∴ BE=AD. 6. C 7. A [解 析] ∵ DE ∥BC, ∴ ∠DFB= ∠FBC, ∠EFC = ∠FCB.∵ BF 是∠ABC 的平分线, CF 是∠ACB 的平分线,∴ ∠FBC= ∠DBF, ∠FCE = ∠FCB. ∴ ∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF. ∴ △BDF和△CEF 都是等腰三角形, 即BD=DF,FE=CE.∴ ①正确. ∴ DE =DF +FE =BD +CE. ∴ ②正 确.∴ △ADE 的 周 长 = AD+AE+DE=AD+AE+BD+ CE=AB+AC.∴ ③正确.∵ 现有条 件无法证明BF=CF,∴ ④不一定正 确.综上所述,一定正确的是①②③. 8. 15 [解析] 如图,分别作边AB、 CD、EF 的延长线和反向延长线,使 它们 交 于 点 G、H、P.∵ 六 边 形 ABCDEF 的六个角的度数都是120°, ∴ 六边形ABCDEF 的每一个外角的 度 数 都 是 60°.∴ 易 得 △APF、 △BGC、△DHE、△GHP 都是等边 三角形.∴ PA=AF=PF,BG= GC=BC=3cm,DH=DE=EH= 2cm,PG=GH=PH.∴ GH=3+ 3+2=8(cm).∴ FA=PA=PG- AB-BG=8-1-3=4(cm).∴ EF= PH-PF-EH=8-4-2=2(cm). ∴ 这个六边形的周长是1+3+3+ 2+2+4=15(cm). (第8题) 9. 2 [解析] 如图,过点P 作PF∥ BC,交AC于点F.∵ △ABC 是等边 三角形,∴ ∠A=∠B=∠ACB= 60°.∵ PF ∥BC,∴ ∠PFD = ∠QCD,∠APF = ∠B = 60°, ∠AFP=∠ACB=60°.∴ △APF 是 等边 三 角 形.∴ AP=PF=AF. ∵ PE⊥AC,∴ AE=EF.∵ AP= PF,AP =QC,∴ PF =QC.在 △PFD 和 △QCD 中, ∠PFD=∠QCD, ∠PDF=∠QDC, PF=QC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PFD ≌ △QCD.∴ FD=CD.∵ AE=EF, ∴ EF+FD=AE+CD.∴ DE= AE+CD = 12AC.∵ AC =4, ∴ DE=12×4=2. (第9题) 10. 过点 D 作DM∥AC,交BC 于 点M. ∴ ∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E. 在△DMF 和△ECF 中, ∠FDM=∠E, DF=EF, ∠DFM=∠EFC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DMF≌△ECF. ∴ DM=EC. ∵ EC=BD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∴ DM=BD. ∴ ∠DMB=∠B. ∴ ∠B=∠ACB. ∴ AB=AC. ∴ △ABC为等腰三角形. 11. 如图,过点E 作EF∥BC,交AC 于点F. ∵ △ABC为等边三角形,边长为6, ∴ ∠A= ∠ABC= ∠ACB =60°, BC=6. ∵ EF∥BC, ∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE= ∠ACB=60°. ∴ △AEF 为等边三角形. ∴ AE=EF. ∵ ∠DBE=180°-∠ABC=120°, ∠EFC=180°-∠AFE=120°, ∴ ∠DBE=∠EFC. ∵ ED=EC, ∴ ∠D=∠ECD. ∵ ∠DEB=60°- ∠D,∠ECF = 60°-∠ECD, ∴ ∠DEB=∠ECF. 在△DBE 和△EFC中, ∠DBE=∠EFC, ∠DEB=∠ECF, DE=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DBE≌△EFC. ∴ DB=EF=AE=2. ∴ CD=BC+DB=6+2=8. (第11题) 12. 7 [解析] 如图,在AC 上截取 CE=CB,连接DE.∵ ∠ACB 的平 分线CD 交AB 于点D,∴ ∠BCD= ∠ECD.在 △CBD 和 △CED 中, CB=CE, ∠BCD=∠ECD, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBD ≌ △CED.∴ BD=ED,∠B=∠CED. ∵ ∠B=2∠A,∴ ∠CED=2∠A= ∠A+∠ADE.∴ ∠A=∠ADE. ∴ AE=ED.∴ AE=BD.∴ BD= AC-CE=AC-BC=16-9=7. (第12题) 13. (1) 角平分线上的点到角两边的 距离相等. (2) 如图①,过点D 作DE⊥BA,交 BA 的延长线于点E,DF⊥BC 于 点F. ∵ BD 平 分 ∠EBF,DE ⊥BE, DF⊥BF, ∴ DE=DF,∠DEA=∠DFC=90°. ∵ ∠BAD+∠C=180°,∠BAD+ ∠DAE=180°, ∴ ∠DAE=∠C. 在△DEA 和△DFC中, ∠DEA=∠DFC, ∠DAE=∠C, DE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEA≌△DFC. ∴ AD=CD. (3) 如图②,在BC上截取BK=BD, 连接DK. ∵ AB=AC,∠A=100°, ∴ ∠ABC=∠C=40°. ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠DBK=12∠ABC=20°. ∵ BK=BD, ∴ ∠BKD=∠BDK=80°. ∴ ∠A+∠BKD=180°. 同(2),易得AD=DK. ∵ ∠BKD=∠C+∠KDC, ∴ ∠KDC=40°=∠C. ∴ DK=CK. ∴ AD=DK=CK. ∴ BD+AD=BK+CK=BC. (第13题) 第3课时 直角三角形 斜边上的中线的性质 1. C 2. C 3. 8 4. 3 5. (1) 如图,连接DF. ∵ AD 是边BC上的高, ∴ ∠ADB=90°. ∵ F 是AB 的中点, ∴ DF=12AB=BF. ∵ DC=BF, ∴ DC=DF. ∵ E 是CF 的中点, ∴ DE⊥CF. (2) ∵ DC=DF, ∴ ∠DCF=∠DFC. ∴ ∠FDB = ∠DFC + ∠DCF = 2∠DCF. ∵ DF=BF, ∴ ∠FDB=∠B. ∴ ∠B=2∠BCF. (第5题) 6. B [解析] 如图,连接CM、CN. ∵ ∠ACB=90°,AB=10,DE=4, M、N 分 别 是 DE、AB 的 中 点, ∴ CN=12AB=5 ,CM=12DE=2. 当点C、M、N 在同一条直线上时, MN 的长取最小值,∴ MN 长的最小 值为5-2=3. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22